リーマン面上の微分形式

数学において、リーマン面上の微分形式は、滑らかな多様体上の微分形式の一般理論の重要な特殊なケースであり、リーマン面上 の共形構造が、リーマン計量を指定せずに1 形式(または微分)上のホッジスター作用素を本質的に定義するという事実によって区別されます。これにより、ヒルベルト空間手法を使用して、リーマン面上の関数論を研究し、特に、指定された特異点を持つ調和微分と正則微分を構築することができます。これらの方法は、ヒルベルト (1909) がディリクレ原理への変分アプローチで初めて使用し、リーマンが提案した議論を厳密なものにしました。後に、ワイル (1940) が直交射影の方法を使用して直接的なアプローチを見つけました。これは、楕円微分作用素とソボレフ空間の現代理論の前身です。これらの手法は、もともと均一化定理と平面リーマン面へのその一般化を証明するために適用されました。その後、彼らはホッジ (1941) の調和積分の解析的基礎を提供しました。この記事では、リーマン構造の選択に依存しないリーマン面上の微分形式に関する一般的な結果について説明します。

リーマン面上のホッジ星は1次元形式上で局所公式によって定義される。

${\displaystyle \displaystyle {\star (p\,dx+q\,dy)=-q\,dx+p\,dy.}}$

これは、座標の 正則変換に対して不変であるため、明確に定義されています。

実際、z = x + iyがw = u + ivの関数として正則であれば、コーシー・リーマン方程式 によりx _u = y _vおよびy _u = − x _vとなる。新しい座標では

${\displaystyle \displaystyle {p\,dx+q\,dy=(px_{u}+qy_{u})du+(px_{v}+qy_{v})dv=p_{1}du+q_{1}dv,}}$

となることによって

${\displaystyle -q_{1}\,du+p_{1}\,dv=-(px_{v}+qy_{v})du+(px_{u}+qy_{u})dv=-q(x_{u}du+x_{v}dv)+p(y_{u}du+y_{v}dv)=-q\,dx+p\,dy,}$

主張された不変性を証明する。^[1]

1形式の場合、ω ₁ = p ₁ dx + q ₁ dyおよびω ₂ = p ₂ dx + q ₂ dyであることに注意する。

${\displaystyle \displaystyle {\omega _{1}\wedge \star \omega _{2}=(p_{1}p_{2}+q_{1}q_{2})\,dx\wedge dy=\omega _{2}\wedge \star \omega _{1}.}}$

特にω = p dx + q dyの場合 には

${\displaystyle \displaystyle {\omega \wedge \star \omega =(p^{2}+q^{2})\,dx\wedge dy.}}$

標準座標では

${\displaystyle \star dz=-idz,\,\,\star d{\overline {z}}=id{\overline {z}}.}$

また、

${\displaystyle {\partial \over \partial z}={1 \over 2}\left({\partial \over \partial x}-i{\partial \over \partial y}\right),\,\,\,{\partial \over \partial {\overline {z}}}={1 \over 2}\left({\partial \over \partial x}+i{\partial \over \partial y}\right),}$

となることによって

${\displaystyle df=f_{z}\,dz+f_{\overline {z}}\,d{\overline {z}}=\partial f+{\bar {\partial }}f.}$

分解は局所座標の選択に依存しません。成分のみを持つ 1 形式は(1,0) 形式と呼ばれ、成分のみを持つ 1 形式は (0,1) 形式と呼ばれます。演算子 と演算子はドルボー演算子と呼ばれます。 ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$${\displaystyle dz}$${\displaystyle d{\overline {z}}}$${\displaystyle \partial}$${\displaystyle {\overline {\partial}}}$

すると、

${\displaystyle \star df=-i\partial f+i{\bar {\partial }}f.}$

ドルボー演算子は同様に1次元形式および2次元形式上ではゼロとして定義できる。それらは以下の性質を持つ。

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.}$

リーマン面上では、ポアンカレの補題は、すべての閉じた 1 形式または 2 形式は局所的に正確であることを述べています。^[2]したがって、ωがdω = 0の滑らかな 1 形式である場合、与えられた点のいくつかの開近傍には、その近傍でω = dfとなるような滑らかな関数fが存在します。また、任意の滑らかな 2 形式 Ω に対して、与えられた点のいくつかの開近傍で定義された滑らかな 1 形式ωが存在し、その近傍でΩ = dωとなります。

ω = p dx + q dyが( a , b ) × ( c , d )上の閉じた 1 形式である場合、p _y = q _xです。ω = dfの場合、p = f _xかつq = f _yです。

${\displaystyle \displaystyle {g(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt,}}$

となるので、g _x = p となる。すると、h = f − g はh _x = 0かつh _y = q − g _{y を}満たす。ここで右辺はxについて偏微分が0 なのでxに依存しない。したがって

${\displaystyle \displaystyle {h(x,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds-g(a,y)=\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds,}}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle \displaystyle {f(x,y)=\int _{a}^{x}p(t,y)\,dt+\int _{c}^{y}q(a,s)\,ds.}}$

同様に、Ω = r dx ∧ dyのとき、Ω = d ( f dx + g dy )で、g _x − f _y = rとなる。したがって、解はf = 0で与えられ、

${\displaystyle \displaystyle {g(x,y)=\int _{a}^{x}r(t,y)\,dt.}}$

コンパクトなサポートを持つ微分形式についてコメントします。ω がコンパクトなサポートを持つ場合、つまり、 a < a ₁ < b ₁ < bかつc < c ₁ < d ₁ < dであるより小さな長方形( a ₁ , b ₁ ) × ( c ₁ , d ₁ )の外側で消える場合、解f ( x , y )についても同じことが当てはまります。したがって、1 形式のポアンカレの補題は、コンパクトなサポートのこの追加条件で成り立ちます。

2形式についても同様のことが言えますが、解法にはいくつかの選択肢があるため、選択にはもう少し注意が必要です。^[3]

実際、 Ω が( a , b ) × ( c , d )上でコンパクトな台を持ち、さらに∬ Ω = 0ならば、Ω = dωとなり、 ωは( a , b ) × ( c , d )上でのコンパクトな台の 1 形式となります。実際、 Ω は、a < a ₁ < b ₁ < bかつc < c ₁ < d ₁ < dである、より小さな長方形( a ₁ , b ₁ ) × ( c ₁ , d ₁ )上で台を持たなければなりません。したがって、r ( x , y ) は、x ≤ a ₁またはx ≥ b ₁およびy ≤ c ₁またはy ≥ d ₁に対してゼロになります。h ( y ) を ( c ₁ , d ₁ )上でサポートされている滑らかな関数とし、∫^dc
_​ h ( t ) dt = 1とする。k ( x ) = ∫とおく。^dc
_​ r ( x , y ) dy : ( a ₁ , b ₁ )でサポートされている滑らかな関数です。したがって、 R ( x , y ) = r ( x , y ) − k ( x ) h ( y )は滑らかで、 ( a ₁ , b ₁ ) × ( c ₁ , d ₁ )でサポートされています。これは、次の式を満たします。^dc
_​ R ( x , y ) dy ≡ 0。最後に設定

${\displaystyle P(x,y)=\int _{c}^{y}R(x,y)dy,\,\,\,\,Q(x,y)=h(y)\int _{a}^{x}k(s)\,ds.}$

PとQ は両方とも滑らかで( a ₁ , b ₁ ) × ( c ₁ , d ₁ )でサポートされ、 P _y = RかつQ _x ( x , y ) = k ( x ) h ( y )です。したがって、ω = − P dx + Q dy は( a ₁ , b ₁ ) × ( c ₁ , d ₁ )でサポートされる滑らかな 1 形式であり、

${\displaystyle d\omega =(Q_{x}+P_{y})\,dx\wedge dy=r\,dx\wedge dy=\Omega .}$

Ω がリーマン面X上の連続 2 次元コンパクト台である場合、その台K は有限個の座標チャートU _iで覆われ、 Kの近傍でΣ χ _i = 1となるようなコンパクト台を持つ滑らかな非負関数の1 χ _iの分割が存在する。このとき、 Ω の積分は次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {\int _{X}\Omega =\sum \int _{X}\chi _{i}\Omega =\sum \int _{U_{i}}\chi _{i}\Omega ,}}$

ここで、 U _i上の積分は、ローカル座標で通常の定義を持ちます。積分は、ここでの選択とは無関係です。

Ω が局所表現f ( x , y ) dx ∧ dy を持つ場合、|Ω| は密度 | f ( x , y )| dx ∧ dyであり、これは明確に定義され、|∫ _X Ω| ≤ ∫ _X |Ω| を満たす。Ω が非負の連続密度で、必ずしもコンパクトな台を持つとは限らない場合、その積分は次のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle {\int _{X}\Omega =\sup _{0\leq \psi \leq 1,\,\psi \in C_{c}(X)}\int _{X}\psi \Omega .}}$

Ω が任意の連続 2 形式である場合、∫ _X |Ω| < ∞ であれば積分可能です。この場合、∫ _X |Ω| = lim ∫ _X ψ _n |Ω| であれば、∫ _{X Ω は lim ∫ X} ψ _n Ωと定義できます。積分可能な連続 2 形式は、ノルム ||Ω|| ₁ = ∫ _X |Ω|を持つ複素ノルム空間を形成します。

ω がリーマン面X 上の 1 形式であり、γ ( t ) がa ≤ t ≤ bに対してX内の滑らかな経路である場合、写像γ は[ a , b ] 上の1 形式γ ∗ ω を誘導します。 ωのγに沿った積分は次のように定義されます。

${\displaystyle \displaystyle {\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}\gamma ^{*}\omega .}}$

この定義は、経路を有限個の滑らかな線分に分割することで、区分的に滑らかな経路γに拡張される。局所座標では、 ω = p dx + q dyかつγ ( t ) = ( x ( t ), y ( t ))の場合、

${\displaystyle \displaystyle {\gamma ^{*}\omega =p(\gamma (t)){\dot {x}}(t)\,dt+q(\gamma (t)){\dot {y}}(t)\,dt,}}$

となることによって

${\displaystyle \displaystyle {\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}p(\gamma (t)){\dot {x}}(t)\,dt+q(\gamma (t)){\dot {y}}(t)\,dt.}}$

1形式ω が連結な開集合U上で正確であり、U上の滑らかな関数f（定数を除いて一意）に対してω = dfであり、 γ ( t )、a ≤ t ≤ bがU上の滑らかなパスである場合、

${\displaystyle \displaystyle {\int _{\gamma }\omega =\int _{a}^{b}d(f(\gamma (t))=f(\gamma (b))-f(\gamma (a)).}}$

これは曲線の端点におけるfの値の差にのみ依存するため、 fの選択とは無関係です。ポアンカレの補題により、すべての閉じた 1 形式は局所的に正確であるため、 ∫ _γ ω をこの種の差の合計として計算し、閉じた 1 形式の積分を連続パスに拡張することができます。

モノドロミー定理。ωが閉じた1形式であれば、積分∫γω_は 任意の連続パスγ ( t ), a≤t≤bに拡張でき、端点を固定したパスの任意のホモトピーに対して不変となる。 ^[4]

実際、 γの像はコンパクトであるため、有限個の連結開集合U _iで覆うことができ、各開集合上のωは、定数を除いて一意であるU _i上の滑らかな関数f _iに対してdf _iと書くことができる。^[5] [ a , b ]は、 t ₀ = aおよびt _n = bである有限個の閉区間K _i = [ t _{i −1} , t _i ]に分割され、 γ ( K _i ) ⊂ U _iとなると仮定できる。上記から、γが区分的に滑らかであれば、

${\displaystyle \displaystyle {\int _{\gamma }\omega =\sum \int _{\gamma |_{K_{i}}}\omega =\sum \int _{K_{i}}d(f_{i}\circ \gamma )=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(\gamma (t_{i}))-f_{i}(\gamma (t_{i-1}))=f_{n}(\gamma (b))-f_{1}(\gamma (b))+\sum _{i=1}^{n-1}[f_{i}(\gamma (t_{i}))-f_{i+1}(\gamma (t_{i}))].}}$

ここで、γ ( t _i ) は開集合U _i ∩ U _{i +1}に存在するため、連結開成分V _iに存在する。差g _i = f _i − f _{i −1は}dg _i = 0 を満たすため、 γとは独立な定数c _iとなる。したがって、

${\displaystyle \displaystyle {\int _{\gamma }\omega =f_{n}(\gamma (b))-f_{1}(\gamma (a))+\sum _{i=1}^{n-1}c_{i}.}}$

右辺の式は、γ が[ a , b ]上で連続している場合にも意味を成し、 ∫ _γ ω を定義するために使用できます。定義は選択に依存しません。曲線γは、すべてのiに対してδ ( K _i ) ⊂ U _iとなるほど近い区分的に滑らかな曲線δで一様に近似できます。すると、上の式は∫ _δ ωに等しくなり、積分はδの選択に依存しないことがわかります。同じ議論から、定義は端点を固定する小さなホモトピーでも不変であることが示されています。コンパクト性により、端点を固定する任意のホモトピーでも不変です。

_{同じ議論から、}閉じた連続ループ間のホモトピーは、閉じた 1 形式上の積分には変化がないことがわかります。∫ γ df = f ( γ ( b )) − f ( γ ( a )) なので、閉じたループ上の正確な形式の積分はゼロになります。逆に、任意の閉じたループ上の閉じた 1 形式 ωの積分がゼロになる場合、1 形式は正確でなければなりません。

実際、関数f ( z )は、点w を固定し、 wからzへの任意のパスδをとり、 f ( z ) = ∫ _δ ωと設定することで、 X上で定義できます。この仮定は、 f がパスに依存しないことを意味します。df = ωを確認するには、これを局所的に確認するだけで十分です。z _{0 を固定し、} wからz ₀へのパスδ _{1をとります。} z _{0 の}近くでは、ポアンカレの補題により、z ₀の近傍で定義された滑らかな関数gに対してω = dg が成立します。δ _{2 が}z _0からzへのパスである場合、f ( z ) = ∫ _{δ 1} ω + ∫ _{δ 2} ω = ∫ _{δ 1} ω + g ( z ) − g ( z ₀ )となり、z _{0の近くで}f はgと定数だけ異なります。したがって、z ₀の近くではdf = dg = ωです。

閉じた1形式が正確であるためには、任意の部分的に滑らかな、あるいは連続なジョルダン曲線の周りの積分がゼロになる必要がある。^[6]

実際、積分は正確な形式ではゼロになることが既にわかっているので、すべての区分的に滑らかな閉じたジョルダン曲線γについて∫ _γ ω = 0であれば、すべての閉じた連続曲線γについて∫ _γ ω = 0であることを示すだけで十分です。γを閉じた連続曲線とします。 γの像は、ω が正確である有限個の開曲線で覆うことができ、このデータを使用してγ上の積分を定義できます。次に、曲線上の連続する分割点の間の滑らかな線分でγ を再帰的に置き換えて、結果として得られる曲線δ が有限個の交点のみを持ち、これらの各曲線を2回だけ通過するようにします。この曲線は、有限個の区分的に滑らかなジョルダン曲線の重ね合わせとして分解できます。これらの各曲線の積分はゼロなので、それらの合計、つまりδ上の積分もゼロです。構成により、δ上の積分はγ上の積分に等しくなり、したがってゼロになります。

上記の議論は、連続ジョルダン曲線γ ( t )_が与えられたとき、導関数がゼロになるところのない 単純な滑らかなジョルダン曲線γi ( t )の有限集合が存在し、

${\displaystyle \int _{\gamma }\omega =\sum _{i}\int _{\gamma _{i}}\omega }$

任意の閉じた1形式ωに対して。^[7]したがって、閉じた形式の正確さを確認するには、任意の正則な閉曲線、つまりどこにも微分が消えない単純な滑らかなジョルダン曲線の周りの積分が消えることを示すだけで十分です。

同じ方法により、リーマン面上の任意の連続ループは、どこでも導関数がゼロではない滑らかなループにホモトピックであることが示されます。

U が複素平面上の境界が区分的に滑らかな曲線からなる有界領域であり、ω がUの閉包の近傍で定義された 1 形式である場合、グリーン・ストークスの公式は次のように表される。

${\displaystyle \int _{\partial U}\omega =\int _{U}d\omega .}$

特にωがC上のコンパクト台の1形式であれば、

${\displaystyle \int _{\bf {C}}d\omega =0,}$

この式はωの台を含む大きな円板にも適用できるからである。^[8]

同様の公式はリーマン面X上でも成り立ち、単位分割を用いた古典的な公式から導くことができる。^[9]したがって、U ⊂ Xがコンパクトな閉包と区分的に滑らかな境界∂ Uを持つ連結領域であり、ωがUの閉包の近傍で定義された1形式である場合、グリーン・ストークスの公式は次のように述べる。

${\displaystyle \displaystyle {\int _{\partial U}\omega =\int _{U}d\omega .}}$

さらに、ωがX上のコンパクトサポートの1形式であれば、

${\displaystyle \int _{X}d\omega =0.}$

2番目の式を証明するには、 ωのサポートをカバーする座標チャートでサポートされている1の分割ψ _{i を}取ります。すると、平面の結果により、 ∫ _X dω = Σ ∫ _X d ( ψ _i ω ) = 0 となります。同様に、最初の式を証明するには、次のことを示せば十分です。

${\displaystyle \displaystyle {\int _{\partial U}\psi \omega =\int _{U}d(\psi \omega )}}$

ψ が何らかの座標パッチでコンパクトに支えられた滑らかな関数である場合。座標パッチが境界曲線を避けている場合は、上記の 2 番目の式により両辺が消えます。それ以外の場合は、座標パッチが円板であり、その境界が曲線を 2 点で横切ると想定できます。同じことは、 ψのサポートを含むわずかに小さい円板にも当てはまります。小さい円板の境界の一部を追加して曲線をジョルダン曲線に完成させると、式は平面グリーン・ストークスの式に簡約されます。

グリーン・ストークスの公式は、Δ f = − d ∗ dfと定義される関数のラプラシアンの随伴関係を意味します。これは、局所座標で次の式で表される2次元形式を与えます。

${\displaystyle \Delta f=\left(-{\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}-{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}\right)\,dx\wedge dy.}$

そして、fとgが滑らかでUの閉包がコンパクトで あれば

${\displaystyle \int _{U}f\Delta g-g\Delta f=\int _{\partial U}g{\star df}-f{\star dg}.}$

さらに、fまたはgがコンパクトな台を持つ場合、

${\displaystyle \int _{X}f\Delta g=\int _{X}g\Delta f.}$

定理。γがリーマン面X上の連続ジョルダン曲線である場合 、コンパクト台を持つ滑らかな閉1形式αが存在し、X上の任意の滑らかな閉1形式ω_に対して∫γω = ∫Xω∧αが成り立つ。[ ₁₀ ] [ ^{11 ]}

γが正則な閉曲線であるときにこれを証明すれば十分である。逆関数定理により、γの像の管状近傍、すなわち、環状部S ¹ × (−1, 1)のXへの滑らかな微分同相写像Γ( t , s )が存在し、 Γ( t , 0) = γ ( t )となる。第 2 因子上のバンプ関数を使用して、コンパクトな台を持つ非負関数gを構築することができ、g はγから滑らかで、 γの小さな近傍に台を持ち、γの十分に小さな近傍ではs < 0に対して 0 に等しく、 s ≥ 0に対して 1に等しい。したがって、g はγ を横切るジャンプ不連続を持ちますが、その微分dg はコンパクトな台で滑らかです。しかし、α = − dgとすると、グリーンの公式を円環γ × [0, ε ]に適用すると、

${\displaystyle \int _{X}\omega \wedge \alpha =\int _{X}dg\wedge \omega =\int _{\gamma \times (0,\varepsilon )}dg\wedge \omega =\int _{\gamma \times (0,\varepsilon )}d(g\omega )=\int _{\gamma }\omega .}$

系1.閉じた滑らかな1形式ωが正確であるためには、コンパクト台を持つ滑らかな1形式αすべてに対して∫Xω∧α = 0が 成立する必要がある。_[ ^12]

実際、 ωが正確であれば、滑らかなfに対してdf の形をとるので、グリーンの定理により∫ _X ω ∧ α = ∫ _X df ∧ α = ∫ _X d ( f α ) = 0 となります。逆に、コンパクトな台のすべての滑らかな 1 形式αに対して∫ _X ω ∧ α = 0の場合、ジョルダン曲線と 1 形式間の双対性は、任意の閉じたジョルダン曲線の周りのωの積分が 0 であることを意味し、したがってω は正確です。

系 2. γ がリーマン面X上の連続閉曲線である場合、 X上の任意の閉じた滑らかな 1 形式ωに対して∫ _γ ω = ∫ _X ω ∧ αとなるようなコンパクトな台を持つ滑らかな閉じた 1 形式αが存在する。形式αは、正確な形式を追加するまで一意であり、 γの像の任意の開近傍で台を持つと見なすことができる。

実際、γ は区分的に滑らかな閉曲線δに同型なので、∫ _γ ω = ∫ _δ ωです。一方、∫ _δ ω = Σ ∫ _{δ i} ωとなる区分的に滑らかなジョルダン曲線δ _{i は}有限個存在します。したがって、 δ _iの結果はγの結果を意味します。βが同じ特性を持つ別の形式である場合、差α − β は、すべての閉じた滑らかな 1 形式ωに対して∫ _X ω ∧ ( α − β ) = 0 を満たします。したがって、系 1 により差は正確です。最後に、U がγの像の任意の近傍である場合、最初の主張をγとXの代わりにγとUに適用することで最後の結果が導かれます。

リーマン面Xにおける2つ_の閉曲線γ1、γ2の交差数は_、式^{[13] [14]によって解析的に定義できる。}

${\displaystyle I(\gamma _{1},\gamma _{2})=\int _{X}\alpha _{1}\wedge \alpha _{2},}$

ここで、α ₁とα _{2 は、} γ ₁とγ ₂に対応するコンパクトな台の滑らかな 1 形式です。定義から、I ( γ ₁、γ ₂ ) = − I ( γ ₂、γ ₁ )となります。α _{i は、 γ i}の像の近傍に台を持つことができるため、 γ 1とγ ₂が互いに素であれば、 I ( γ ₁、γ ₂ ) = 0 となります。定義により、 これはγ ₁とγ ₂のホモトピー類のみに依存します_。

より一般的には、交差数は常に整数であり、2つの曲線が交差する回数を数える。ある点での交差は、局所正則パラメータz = x + iyに対して、 d γ ₁ ∧ d γ _2がdx ∧ dy = −i/2 dz ∧ d zと同じ符号を持つか反対の符号を持つかによって、正の交差か負の交差かになる。^[15]

実際、ホモトピー不変性により、導関数がどこにも消えない滑らかなジョルダン曲線についてこれをチェックするだけで十分です。α _{1 は、 γ 1}の像の近傍でコンパクト台fがγ 1の左側近くで 0 に等しく、 γ 1 の右側近くで 1 に等しいα ₁ df_を取り、γ ₁の像を滑らかにすることで定義できます。次に、 γ ₂ ( t ) と γ ₁の交点がt = t ₁、...、t _mで発生する場合、

${\displaystyle I(\gamma _{1},\gamma _{2})=\int _{\gamma _{2}}\alpha _{1}=\int _{\gamma _{2}}df=\sum f\circ \gamma _{2}(t_{i}+)-f\circ \gamma _{2}(t_{i}-).}$

ジャンプf ∘ γ ₂ ( t _i +) − f ∘ γ ₂ ( t _i −)は正の交差の場合は+ 1、負の交差の場合は-1なので、必要な結果が得られます。

正則1 形式ωは、局所座標で式f ( z ) dzで表され、 f が 正則である形式です。dω = 0となるため、任意の正則 1 形式は閉じています。さらに、 ∗ dz = − i dzであるため、 ω は ∗ ω = − iωを満たす必要があります。これら 2 つの条件は正則 1 形式を特徴付けます。 ω が閉じている場合、局所的には、あるgに対してdgと書くことができます。条件 ∗ dg = i dgにより となるため、g は正則になり、 dg = g '( z ) dzとなるため、 ω は正則になります。 ${\displaystyle dg=\partial _{z}g\,dz+\partial _{\overline {z}}g\,d{\overline {z}},}$ ${\displaystyle \partial _{\overline {z}}g=0}$

ω = f dz を正則 1 形式とします。ω = ω 1 + iω 2 と書き、ω 1と_ω 2は_実数です。すると_、 dω 1 ₌ 0かつ_dω 2 = _{0となり、∗} ω = − iωなので、∗ ω ₁ = ω ₂です。したがってd ∗ ω ₁ = 0 です。このプロセスは明らかに逆順にすることができ、d ω ₁ = 0 かつd ∗ ω ₁ = 0 を満たす正則 1 形式と実 1 形式 ω ₁の間には 1 対 1 の対応があります。この対応では、ω _1はωの実部であり、ω はω = ω ₁ + i ∗ ω ₁で与えられます。このような形式 ω _1は調和 1 形式と呼ばれます。定義により、ω ₁が調和である場合、かつその場合に限り、∗ ω ₁が調和です。

正則1形式は局所的にはdfの形を持ち、 fは正則関数であり、正則関数の実部は調和関数なので、調和1形式は局所的にはdhの形を持ち、 hは調和関数である。逆に、ω1が局所的にこのように書ける場合、_d ∗ ω1 = _d ∗ dh = ( h xx ₊ h yy ₎ dx ∧ dyとなり、hは調和関数となる。^[16]

注意:調和関数と 1 形式の定義は本質的であり、基礎となるリーマン面の構造のみに依存します。ただし、リーマン面上で共形計量が選択されると、dの随伴d *を定義し、ホッジスター演算を関数と 2 形式に拡張できます。ホッジラプラシアンはk形式上で ∆ _k = dd * + d * dとして定義でき、関数fまたは 1 形式ω が調和関数となるのは、ホッジラプラシアンによって消滅する場合、つまり ∆ ₀ f = 0 または ∆ ₁ ω = 0 の場合のみです。ただし、計量構造は、単連結または平面リーマン面の均一化への適用には必要ありません。

T ²上のソボレフ空間の理論はBers, John & Schechter (1979) に見出すことができ、この説明は Warner (1983) や Griffiths & Harris (1994) などの後のいくつかの教科書で踏襲されている。これは、ラプラシアン–∂ ² /∂ x ² –∂ ² /∂ y 2の固有関数展開にすぎないフーリエ級数を使用して、トーラスC / Z + i Z = R ² / Z ²上の関数理論を研究するための解析的枠組みを提供する。ここで展開される理論は、基本的にトーラスC / Λ^をカバーし、ここで Λ はC内の格子である。任意のコンパクト リーマン面上のソボレフ空間の対応する理論はあるが、この場合はコンパクト アーベル群T ²上の調和解析に還元されるため初歩的である。ワイルの補題に対する古典的なアプローチでは、非コンパクトアーベル群C = R ^{2上の調和解析、すなわち}フーリエ解析の方法、特に畳み込み演算子とラプラシアンの基本解が用いられる。 ^{[17] [18]}

T ² = {( e ^ix , e ^iy : x , y ∊ [0,2 π )} = R ² / Z ² = C / Λ とし、ここで Λ = Z + i Zとする。 λ = m + i n ≅ ( m , n ) において Λ に対して、e _λ ( x , y ) = e ^{i ( mx + ny )}とする。さらに、D _x = − i ∂/∂ x、D _y = − i ∂/∂ yとする。 α = ( p , q )に対して、全次数 | α | = p + qの微分演算子D ^α =( D _x ) ^p ( D _y ) ^qとする。したがって、D ^α e _λ = λ ^α e _λとし、λ ^α = m ^p n ^qとする。 ( e _λ )は、内積( f , g ) = (2π) ⁻² ∬ f ( x , y ) g ( x , y ) dx dyに対する C( T ² )の正規直交基底を形成するため、(Σ a _λ e _λ , Σ b _μ e _μ ) = Σ a _λ b _λとなります。

fが^C∞ ( T'2 )でkが整数の場合、 ^k番目のソボレフノルムを次のように 定義する。

${\displaystyle \|f\|_{(k)}=\left(\sum |{\widehat {f}}(\lambda )|^{2}(1+|\lambda |^{2})^{k}\right)^{1/2}.}$

関連する内積

${\displaystyle \displaystyle {(f,g)_{(k)}=\sum {\widehat {f}}(\lambda ){\overline {{\widehat {g}}(\lambda )}}(1+|\lambda |^{2})^{k}}}$

C ^∞ ( T ² ) を内積空間にする。H k ( T 2 ) をそのヒルベルト空間完備化とする。これは^、_k番目のソボレフノルムに関する三角多項式空間、つまり有限和 (Σ a λ e λ ) のヒルベルト空間完備化と同義であり、 H k ( T 2 ₎ = _{ Σ a _λ e λ ^: Σ | _a λ _|  2 ( ₁ + ^| λ| ² ) ^k < ∞} で内積が成り立つ。

(Σ a _λ e _λ , Σ b _μ e _μ ) _{( k )} = Σ a _λ b _λ (1 + |λ| ² ) ^k。

_{以下に説明する}ように、交差H∞(T2)=Hk(T2)の要素はT2上の滑らかな関数 ^そのものであり、_和集合^H − ∞(T2)=Hk(T2 )の要素はT2_上の単なる^超関数である^（ R2上^の「周期超^関数」^と呼ばれることもある）。^[19]${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cup }$

以下は、ソボレフ空間の特性の一覧です (網羅的ではありません)。

• 微分可能性とソボレフ空間。 二項定理を用いて(1 + |λ| ² ) ^kを展開すると、k ≥ 0に対してC ^k ( T ² ) ⊂ H _k ( T ² )となる。

${\displaystyle \displaystyle {\|f\|_{(k)}^{2}=\sum _{|\alpha |\leq k}{k \choose \alpha }\|D^{\alpha }f\|^{2}\leq C\cdot \sup _{|\alpha |\leq k}|D^{\alpha }f|^{2}.}}$

• 微分演算子。D α H _k ( T ² ) ⊂ H _{k −|α|} ( T ² ) であり、^D α^はH _k ( T ² )からH _{k −|α|} ( T ² ) への有界線型写像を定義します。演算子I + Δ はH _{k +2} ( T ² ) からH _k ( T ² ) へのユニタリ写像を定義します。特に、( I + Δ) ^{k は}k ≥ 0 に対してH _k ( T ² ) からH _{− k} ( T ² )へのユニタリ写像を定義します。

D ^α e _λ = λ ^α e _λおよび |λ ^α |であるため、最初のアサーションが続きます。 ≤ |λ| ^|α| ≤ (1 + |λ| ² ) ^|α|/2。I + Δ は 1 + |λ| による乗算として機能するため、2 番目のアサーションが続きます。 ²上のe _λ。

• 双対性。k ≥ 0の場合、 f、gを( f、g )に送るペアリングは、H _k ( T ² )とH _{− k} ( T ² )の間に双対性を確立します。

これは、 ( f , g ) = (( I + Δ) ^k f , g ) _{(− k )}であるため、( I + Δ) ^{k が}これら2つの空間間のユニタリ写像を確立するという事実を言い換えたものである。

• 乗算演算子。hが滑らかな関数である場合、 hによる乗算はH _k ( T ² )上の連続演算子を定義します。

k ≥ 0の場合、これは || f ||の式から導かれます。²
_{( ) ...}上記とライプニッツの規則。H _{− k} ( T ² ) の連続性は、( f , hg ) = ( h f , g )であるため、双対性によって得られます。

• ソボレフ空間と微分可能性（ソボレフの埋め込み定理）。k ≥ 0の場合、H _{k +2} ( T ² ) ⊂ C ^k ( T ² )かつ sup _{|α|≤ k} | D ^α f | ≤ C _k ⋅ || f || _{( k +2)}が成立します。

三角多項式の不等式は包含関係を意味する。k = 0 の不等式は次式から導かれる。

${\displaystyle \sup \left|\sum a_{\lambda }e_{\lambda }\right|\leq \left(\sum (1+|\lambda |^{2})^{-2}\right)^{1/2}\cdot \sum |a_{\lambda }|\leq \left(\sum |a_{\lambda }|^{2}(1+|\lambda |^{2})^{2}\right)^{1/2}=\left(\sum (1+|\lambda |^{2})^{-2}\right)^{1/2}\cdot \left\|\sum a_{\lambda }e_{\lambda }\right\|_{(2)},}$

コーシー・シュワルツの不等式により、最初の項は積分テストにより有限であることが分かる。なぜなら、∬ _C (1 + | z | ² ) ⁻² dx dy = 2π ∫^∞
₀(1 + r ² ) ⁻² r dr < ∞を極座標で表します。一般に |α| ≤ k の場合、D ^αの連続性により|sup D ^α f | ≤ C ₀ || D ^α f || ₂ ≤ C ₀ ⋅ C _α ⋅ || f || _{k +2}が成立します。

• 滑らかな関数。C ∞ ( T ² ) = H _k ( ^{T 2} ) は、すべてのk > 0 に対して、(1 + |λ| ₂ ) ^k | ^a λ |_は0に近づき、|λ|_は∞ に近づきます。つまり、フーリエ係数a _λは「急速に減少」します。${\displaystyle \cap }$

これはソボレフの埋め込み定理の直接的な帰結です。

• 包含写像（レリッヒのコンパクト性定理）。k > jの場合、空間H _k ( T ² )はH _j ( T ² )の部分空間であり、包含H _k ( T ² ) H _j ( T ² ) はコンパクトです。${\displaystyle \rightarrow }$

自然な正規直交基底に関しては、包含写像は (1 + |λ| ² ) ^{−( k − j )/2}の乗算になります。これは、対角要素がゼロに近づく対角行列で与えられるため、コンパクトです。

• 楕円正則性（ワイルの補題）。H _−∞ ( T ² ) = H _k ( T ² )における fとuが ∆ u = f を満たすものとします。また、 T ²における固定された開集合Uから消えるすべての滑らかな関数 ψ に対して、 ψ fが滑らかな関数であるとします。同じことがuについても当てはまります。（したがって、fがUから滑らかであれば、u も滑らかになります。）${\displaystyle \cup }$

ライプニッツの法則により、Δ( ψu ) = (Δ ψ ) u + 2(ψ _x u _x + ψ _y u _y ) + ψ Δ uなので、ψu = ( I + Δ) ⁻¹ [ ψu + (Δ ψ ) u + 2( ψ _x u _x + ψ _y u _y ) + ψf ]となります。 φu が、あるkに対してH _k ( T ² )に含まれ、すべてのφ がUから消えることが分かっている場合、微分すると、 φ u _x と φ u _{y が}H _{k −1} ( T ² )に含まれることがわかります。したがって、角括弧で囲まれた式も H _{k −1} ( T ² ) に含まれます。演算子 ( I + Δ) ^{−1 はこの空間を}H _{k +1} ( T ² )に持ち込むので、 ψ u はH _{k +1} ( T ² )に含まれます。このように続けると、 ψ u はH _k ( T ² ) = C ^∞ ( T ² )に含まれることがわかります。${\displaystyle \cap }$

• 関数のホッジ分解。H 0 ( T ² ) = ∆ H ₂ ( T ² ) ker ∆ およびC ^∞ ( T ² ) = ∆ C ^∞ ( T ² ) _ker ∆。${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \oplus }$

ユニタリ演算子I + Δ を使用してH ₂ ( T ² ) をL ² ( T ² ) = H ₀ ( T ² ) と同一視すると、最初のステートメントは、演算子T = ∆( I + Δ) ^{−1 が}L ² ( T ² ) = im T ker T を満たすことを証明することに簡約されます。この演算子は、固有値 |λ| ² (1 + |λ| ² ) ⁻¹を持つ正規直交基底e _λによって有界、自己随伴、対角化されます。演算子T は核C e ₀ (定数関数) を持ち、 (ker T ) ^⊥ = im Tで、λ ≠ 0 に対してS e _λ = |λ| ⁻² (1 + |λ| ² ) e _λで与えられる有界逆を持ちます。したがって、 im T は閉じている必要があり、したがってL ² ( T ² ) = (ker T ) ^⊥ ker T = im T ker Tです。最後に、_f^がC∞ ( T2 ) 、 gがH2(T2)、hが定数でf = ∆g + ^hならば、ワイルの補題によりgは滑らかでなければならない。[ ^{20 ]} ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$

• ^{T 2}上のホッジ理論。Ω ^k ( T ^{2 ) を 0 ≤} k ≤ 2に対して滑らかなk形式の空間とします。したがって、Ω ⁰ ( T ² ) = C ^∞ ( T ² )、Ω ¹ ( T ² ) = C ^∞ ( T ² ) dx C ^∞ ( T ² ) dy、および Ω ² ( T ² ) = C ^∞ ( T ² ) dx ∧ dyです。ホッジスター演算は、1 形式上で ∗( p dx + q dy ) = − q dx + p dyによって定義されます。この定義は、* f = f dx ∧ dyおよび *( g dx ∧ dy ) = gによって 0 形式と 2 形式に拡張されます。したがって、 k形式上で** = (−1) ^{k です。 Ω k} ( T ² )には、次のように定義される自然な複素内積が存在する。 ${\displaystyle \oplus }$

${\displaystyle \displaystyle {(\alpha ,\beta )=\int _{{\mathbf {T} }^{2}}\alpha \wedge \star {\overline {\beta }}.}}$

δ = −∗ d ∗と定義する。したがって δ は Ω ^k ( T ² ) から Ω ^{k −1} ( T ² ) への消滅関数となる。これは上記の内積に対するdの随伴関数であるため、 δ = d *となる。実際、グリーン・ストークスの公式^{[21]により、}

${\displaystyle \displaystyle {(d\alpha ,\beta )=\int d\alpha \wedge \star {\overline {\beta }}=\int d\alpha \wedge \star {\overline {\beta }}-\int d(\alpha \wedge \star {\overline {\beta }})=(-1)^{\partial \alpha }\int \alpha \wedge d\star {\overline {\beta }}=\int \alpha \wedge \star {\overline {\delta \beta }}=(\alpha ,\delta \beta ).}}$

演算子dおよび δ = d * は、d ² = 0 およびδ ^{2 = 0 を満たします。} k形式のホッジラプラシアンは、 ∆ _k = ( d + d *) ² = dd * + d * dで定義されます。定義から、∆ ₀ f = ∆ fです。さらに、∆ ₁ ( p dx + q dy ) = (∆ p ) dx + (∆ q ) dy  および∆ ₂ ( f dx ∧ dy ) = (∆ f ) dx ∧ dyです。これにより、ホッジ分解を一般化して、1 形式と 2 形式を含めることができます。

• ホッジの定理。Ω k ( T ² ) = ker d ker d ∗ im d im ∗ ^d = ker d ker d * im d im d *。Ω ^k ( T ² )のヒルベルト空間完備化において、im d im ∗ dの直交補集合はker d ker d ∗であり、これは調和k形式、すなわち定数k形式の有限次元空間です。特に Ω ^k ( T ² )では、 ker d / im d = ker d ker d *であり、これは調和k形式の空間です。したがって、T ²のde Rham コホモロジーは調和 (すなわち定数) k形式によって与えられます。 ${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap }$

関数のホッジ分解より、Ω ^k ( T ² ) = ker ∆ _k im ∆ _kです。∆ _k = dd * + d * dなので、 ker ∆ _k = ker d ker d * です。さらに、 im ( dd * + d * d ) ⊊ im d im d * です。 ker d ker d * はこの直和に直交するので、 Ω ^k ( T ² ) = ker d ker d * im d im d * となります。 ker d はker d ker d * im d を含み、 im d * = im ∗ dに直交するので、最後の主張が成り立ちます。${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \oplus }$

コンパクトなリーマン面C / Λの場合、ソボレフ空間の理論は、滑らかな 1 形式のヒルベルト空間完備化が、3 つの対直交空間、つまり正確な 1 形式の閉包df、共正確な 1 形式の閉包 ∗ df、および調和 1 形式 (定数 1 形式の 2 次元空間) の和として分解できることを示している。ワイル (1940) の直交射影法は、この分解を任意のリーマン面に一般化することで、ディリクレ原理に対するリーマンのアプローチを健全な基盤の上に置いた。

Xがリーマン面Ωの場合¹
_カップ( X ) はコンパクトな台を持つ連続 1 形式の空間を表す。これは複素内積を許容する。

${\displaystyle \displaystyle {(\alpha ,\beta )=\int _{X}\alpha \wedge \star {\overline {\beta }},}}$

Ωのαとβについて¹
_カップ( X ) 。H をΩ のヒルベルト空間完備化とする。¹
_カップH はトーラス上のソボレフ空間のような測定可能な関数の観点から解釈できるが、ヒルベルト空間と有界線型作用素を含む 基本的な関数解析手法のみを使用して直接研究することができる。

H _{1 を}d Cの閉包とする。^∞
_℃( X ) とH _{2 は∗} d Cの閉包を表す。^∞
_℃( X ) である。( df ,∗ dg ) = ∫ _X df ∧ d g = ∫ _X d ( f d g ) = 0なので、これらは直交部分空間である。H _{0 を}直交補空間 ( H ₁ H ₂ ) ^⊥ = Hと表す。 ${\displaystyle \oplus }$ ^⊥
₁ ${\displaystyle \cap }$ H^⊥
₂^[22 ]

定理（ホッジ−ワイル分解）。H = H 0 _H 1 _H 2。_部分空間H ₀は、X上の平方積分可能な調和 1 形式、つまりdω = 0、d ∗ ω = 0 かつ || ω || ² = ∫ _X ω ∧ ∗ ω < ∞ となる 1 形式ωから構成されます。 ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$

• すべての平方可積分連続 1 形式はHに存在します。

コンパクト ベースの連続 1 形式の空間は、2 乗可積分な連続 1 形式の空間に含まれます。 これらは両方とも、上記の内積の内積空間です。 したがって、任意の 2 乗可積分な連続 1 形式は、コンパクト ベースの連続 1 形式で近似できることを示せば十分です。ωを連続 2 乗可積分 1 形式とします。 したがって、正の密度 Ω = ω ∧ ∗ ωは積分可能であり、 0 ≤ ψ _n ≤ 1を満たす コンパクト ベースの連続関数ψ _nが存在し、 ∫ _X ψ _n Ω は ∫ _X Ω = || ω || ²に近づきます。φ _n = 1 − (1 − ψ _n ) ^{1/2 を}、 0 ≤ φ _n ≤ 1を満たすコンパクト ベースの連続関数とします。 すると、ω _n = φ _n ⋅ ω はHで ω に近づきます。これは || ω − ω _n || ² = ∫ _X (1 − ψ _n ) Ω は 0 になる傾向があります。

• HのωがCc ( X )の任意のψに対してψ⋅ωが連続するようなものである場合、ωは2乗可積分な連続1形式である_。

乗算演算子m ( φ ) は、C _c ( X )の φと Ω の αに対して、 m ( φ ) α = φ ⋅ αで与えられることに注意してください。¹
_カップ( X ) は || m (φ)α|| ≤ ||φ|| _∞ ||α|| を満たします。ここで ||φ|| _∞ = sup |φ| です。したがって、m (φ) は、演算子ノルム || m (φ)|| ≤ ||φ|| _∞を持つ有界線型演算子を定義します。これは、同じ演算子ノルムを持つH上の有界線型演算子に連続的に拡張されます。コンパクト閉包を持つすべての開集合Uに対して、 U上で φ ≅ 1 で 0 ≤ φ ≤ 1 のコンパクト ベースの連続関数 φ が存在します。すると、 φ ⋅ ω はU上で連続なので、 U上で一意の連続形式 ω _Uを定義します。V がU と交差する別の開集合である場合、U V上でω _U = ω _{V が}成立します。実際、z がU Vに含まれ、 ψ がC _c ( U V ) ⊂ C _c ( X )に含まれ、zの近くでψ = 1である場合、 ψ ⋅ ω _U = ψ ⋅ ω = ψ ⋅ ω _Vとなり、zの近くでω _U = ω _Vとなります。したがって、 ω _Uをパッチすると、 X上で連続 1 形式 ω ₀が得られます。構築により、C _c ( X )内のすべてのψに対してψ ⋅ ω = ψ ⋅ ω _{0 が}成立します。特に、0 ≤ φ ≤ 1 のC _c ( X )内のφに対して、 ∫ φ ⋅ ω ₀ ∧ ∗ ω ₀ = || φ ^1/2 ⋅ ω ₀ || ² = || φ ^1/2 ⋅ ω || ² ≤ ||ω|| ²。したがって、 ω ₀ ∧ ∗ ω ₀は積分可能であり、したがって ω _{0 は平方積分可能であるため、} Hの元となる。一方、 ω はΩ のω _{nで近似できる。} ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \cap }$ ¹
_カップ( X ) の ψ _{n を}C _c ( X )でとる。ただし0 ≤ ψ _n ≤ 1で、 ψ _n ⋅ ω _n = ω _nとする。実数値連続関数は格子演算の下で閉じているので、さらに ∫ ψ²
_位 ω ₀ ∧ ∗ ω ₀、したがって ∫ ψ _n ω ₀ ∧ ∗ ω ₀は || に増加します。ω ₀ || ^２．しかし、その後 ||ψ _n ⋅ ω − ω||そして ||ψ _n ⋅ ω ₀ − ω ₀ || ψ _n ⋅ ω = ψ _n ⋅ ω ₀なので、これはω = ω ₀であることを示しています。

• すべての平方積分可能な調和1形式 ω はH ₀に存在します。

これは、ω がHに属し、コンパクトな台の滑らかな関数fに対して、 ( df ,ω) = ∫ _X df ∧ ∗ω = −∫ _X f d ∗ω = 0かつ(∗ df ,ω) = ∫ _X df ∧ ω = − ∫ _X f d ω = 0であるため、即時に得られます。

• H ₀のすべての要素は、平方積分可能な調和 1 形式で与えられます。

ω をH ₀の元とし、Xのp を固定すると、XのチャートUがp を含むものとし、これはf (0) = pとなる円板D ⊂ T ²への写像fによって等角同値となる。Ω からの同一視写像は¹
_カップ( U ) を Ω へ¹
_カップ( D ) および Ω ¹ ( T ² ) への変換はノルムを保存します（定数倍まで）。K をΩ の閉包とします。¹
_カップ( U ) がHに属せば、上の写像はKの等長写像TからH ₀ ( T ² ) dx H ₀ ( T ² ) dyに一意に拡張される。さらに、ψ がCに属せば、 ${\displaystyle \oplus }$ ^∞
_℃( U ) ならば、T m (ψ) = m (ψ ∘ f ) Tとなる。同定写像Tはdおよびホッジスター演算子とも互換性がある。 D _{1 を}T ²内のより小さな同心円とし、 V = f ( V )とする。 C内のφを取る。^∞
_℃( U ) で、V上でφ ≡ 1である。すると、C上のhに対して ( m ( φ ) ω , dh ) = 0 = ( m ( φ ) ω ,∗ dh ) となる。^∞
_℃( V )。したがって、ω ₁ = m ( φ ) ωおよびω ₂ = T ( ω ₁ ) の場合、Cのgについては ( ω ₂ , dg ) = 0 = ( ω ₂ , ∗ dg ) となります。^∞
_℃（D1）。_​

ω ₂ = a dx + b dyと書き、 aとb はH ₀ ( T ² )にあります。上記の条件は、 ( dω ₁ , ∗ g ) = 0 = ( d ∗ ω ₁ , ∗ g ) を意味します。 ω _{3 が}D ₁でサポートされている滑らかな 1 形式であるdω ₃で∗ g を置き換えると、 D _{1上で ∆ 1} ω ₂ = 0になります。したがって、 D ₁上で∆ a = 0 = ∆ bです。したがって、ワイルの補題により、aとb はD ₁上で調和です。特に、これら 2 つ、したがって ω _2はD ₁上で滑らかであり、D ₁上でdω ₂ = 0 = d ∗ ω ₂です。これらの方程式をXに戻すと、ω _{1 は}V上で滑らかで、dω ₁ = 0 = d ∗ ω _{1 が}V上で成立することがわかります。ω ₁ = m ( φ ) ωであり 、p は任意の点であるため、特にm ( ψ ) ω はC _c ( X )のすべてのψに対して連続であることを意味します。したがって、 ω は連続かつ二乗積分可能です。

しかし、 ω はV上で滑らかで、V上でd ω = 0 = d ∗ω です。 また、 p は任意なので、 ω はX上で滑らかで、X上でd ω = 0 = d ∗ω であり、 ω はX上の調和 1 形式であることを意味します。

ドルボー演算子との公式から、 ${\displaystyle \partial }$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \displaystyle {dC_{c}^{\infty }(X)\oplus *dC_{c}^{\infty }(X)=\partial C_{c}^{\infty }(X)\oplus {\overline {\partial }}C_{c}^{\infty }(X),}}$

ここで、両方の和は直交する。2番目の和の2つの部分空間は、ホッジ∗演算子の± i固有空間に対応する。それらの閉包をH ₃とH ₄で表すと、H⁰
_...= H ₃ ⊕ H _{4であり、これらの部分空間}は複素共役によって交換される。H ₁、H ₂、H ₃、H ₄の滑らかな1形式は簡単な記述を持つ。^[23]

• H ₁の滑らかな 1 形式は、f が滑らかな場合、 df という形式を持ちます。
• H ₂の滑らかな 1 形式は、f が滑らかな場合、∗ df という形式を持ちます。
• H ₃の滑らかな 1 形式は、滑らかなfに対して形式f を持ちます。${\displaystyle \partial }$
• H ₃の滑らかな 1 形式は、滑らかなfに対して形式f を持ちます。${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

実際、Hの分解を考慮すると、⁰
_...およびホッジスター演算に対する不変性を証明するには、これらの主張のうち最初のものを証明すれば十分である。H _{1は複素共役に対して不変なので、α は}H ₁ の滑らかな実数 1 形式であると仮定できる。したがって、これはH _{1における、コンパクト台を持つ滑らかな}f _nを持つ形式df _nの極限である。1 形式 α は、 Cの任意の実数値fに対して、^∞
_℃（X）、

${\displaystyle \int _{X}f\,d\alpha =-\int _{X}df\wedge \alpha =(\alpha ,*df)=0,}$

d α = 0となる。αが正確であることを証明するには、コンパクト台を持つ任意の滑らかな閉実1形式βに対して∫ _X α ∧ ∗β = 0であることを証明すれば十分である。しかし、グリーンの公式により

${\displaystyle \int _{X}\alpha \wedge \star \beta =(\alpha ,\beta )=\lim(df_{n},\beta )=\lim \int _{X}df_{n}\wedge \beta =\lim \int _{X}d(f_{n}\beta )=0.}$

上記の特徴から、次のような結果が直ちに導かれます。

• Hにおける滑らかな1形式α⁰
  _...α = da + ∗ db = ∂f + ∂gとして一意に分解できます。ここで、a、b、f、gは滑らかで、すべての加数は平方積分可能です。

前述のホッジ・ワイル分解と、H ₀の要素は自動的に滑らかになるという事実を組み合わせると、次のことが直ちに分かります。

定理（滑らかなホッジ・ワイル分解）。αが滑らかな2乗可積分1形式であれば、αはα = ω + da + * db = ω + ∂f + ∂ gと一意に表すことができ、 ωは調和関数で2乗可積分であり、a、b、f、gは2乗可積分な微分で滑らかである。^[24]

次の結果は、次のセクションで調和関数とディリクレ原理の観点から再解釈され、単連結な、またはより一般的には平面のリーマン面の 均一化定理を証明するための重要なツールです。

定理。Xがリーマン面であり、P がX上の局所座標zの点である場合、 Pに二重極を持つ唯一の正則微分1形式ωが存在し、 ωの特異部はPの近くではz ⁻² dzであり、他のすべての場所では正則であり、ω はPの近傍の補集合上で平方積分可能であり、 ωの実部はX \ {P}上で正確である。 ^[25]

二重極条件は、正則座標変換z z + az ² + ⋯に対して不変です。 ωの特異部がk > 2でz ^{– k} dzの形をとる2 より大きい次数の極に対しても同様の結果がありますが、この条件は正則座標変換に対して不変ではありません。 ${\displaystyle \mapsto }$

一意性を証明するために、ω ₁とω _{2 が}2 つの解である場合、それらの差ω = ω ₁ − ω _2は、 X \ {P} 上で正確な平方積分可能な正則 1 形式であることに留意してください。したがって、 Pの近くでは、ω = f ( z ) dzで、f はz = 0 の近くで正則です。 X \ {P} 上に、 ω = dg となるような正則関数 g があります。しかし、gはz = 0の近くでfの原始関数と一致しなければならないため、どこでもω = dgとなります。しかし、ω はH ₀ ∩ H ₁ = (0)にあり、つまりω = 0 です。

存在を証明するには、 Cのバンプ関数0 ≤ ψ ≤ 1を取る。^∞
_℃( X ) はPの近傍に| z | < εの形でサポートされ、 P の近くでψ ≡ 1となる。

${\displaystyle \alpha =-d\left({\psi (z) \over z}\right),}$

となるので、α はP の近くでz ^–2 dzに等しく、 Pの近傍で消え、X \ {P} 上で正確です。β = α − i ∗ α 、これはX上の滑らかな (0,1) 形式で、z = 0 の近くで消えます (そこでは (1,0) 形式であるため)、Pのより大きな近傍で消えます。滑らかなホッジ−ワイル分解により、β はβ = ω ₀ + da – i ∗ daと分解でき、 ω _{0 は}調和的で二乗積分可能な (0,1) 形式であり、滑らかで二乗積分可能な微分です。ここで、γ = α – da = ω 0 ₊ i ∗ α − i ∗ da 、 ω = Re γ + i ∗ Re γと設定します。すると α はX \ {P}上で正確です。したがって γ もその実部で、これは ω の実部でもある。P の近くでは、 1 形式 ω は滑らかな (1,0) 形式だけz ^–2 dzと異なる。残っているのは、 ω = 0 がX \ {P} 上で成り立つこと、または Re γ がX \ {P} 上で調和的であるということの証明である。実際、 γ はX \ {P} 上で調和的である。なぜなら、d γ = d α − d ( da ) = 0がX \ {P} 上で成り立つからである。同様に、 γ = ω ₀ + i ∗ α − i ∗ daとω ₀が調和的であるという事実を用いて、 d ∗ γ = 0 が成り立つ。${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

証明の系。 ^[26] Xがリーマン面であり、P がX上の局所座標zの点である場合、 X \ { P }上で調和な唯一の実数値 1 形式δが存在し、 δ – Re z ⁻² dz はz = 0 (点P )の近くで調和であり、 δ はPの近傍の補集合上で二乗積分可能である。さらに、h がX上の任意の実数値滑らかな関数でdhが二乗積分可能でhがPの近くで消える場合、( δ , dh ) = 0 である。

存在は、上でδ = Re γ = Re ωとすれば明らかです。ω = δ + i ∗δ なので、 ω が一意であることは δ が一意であることを意味します。 あるいは、 δ ₁と δ _{2 が}2 つの解である場合、それらの差 η = δ ₁ – δ _{2 は}Pで特異点を持たず、 X \ { P }上で調和的です。 したがって、 Pの近傍で調和的であり、したがってどこでも調和的です。 したがって、 η はH ₀にあります。 しかし、 η はX \ P上で正確であり、したがってX全体で正確であるため、 H ₁にも存在します。 しかし、H ₀ ∩ H ₁ = (0) に存在する必要があるため、 η = 0 です。 最後に、N がhのサポートとY = X \ Nから分離したPの近傍の閉包である場合、 δ| _YはH ₀ ( Y )にあり、 dhは空間H ₁ ( Y )にあるので、

${\displaystyle (\delta ,dh)=\int _{X}\delta \wedge \star dh=\int _{Y}\delta \wedge \star dh=(\delta |_{Y},dh)_{Y}=0.}$

定理。^[27] Xがリーマン面であり、P がX上の局所座標zの点である場合、 X \ { P }上に唯一の実数値調和関数uが存在し、 u ( z ) – Re z ^−1がz = 0 (点P )の近くで調和関数となり、 duがPの近傍の補集合上で二乗積分可能となる。さらに、h がX上の任意の実数値滑らかな関数でdhが二乗積分可能でh がPの近くで消える場合、 ( du , dh )=0 となる。

実際、この結果は前のセクションの定理と系から直接得られます。そこで構築された調和形式 δ は、正則形式 ω = dgの実部です。ここでgは、留数が -1 のPに単極を持つX上の正則関数です。つまり、 z = 0 の近くでg ( z ) = – z ⁻¹ + a ₀ + a ₁ z + a ₂ z ² + ⋯ です。したがって、δ = − duであり、したがって ( du , dh ) = −(δ, dh ) = 0 であるため、 u = - Re g は要求された特性を持つ解を与えます。

この結果はディリクレの原理によって解釈できる。^{[28] [29] [30]} D _Rを、 R > 1であるP (点z = 0) を中心としたパラメトリック円板 | z | < Rとする。α = − d ( ψz ^{−1 ) とし、0 ≤ ψ ≤ 1 は}D = D ₁に支えられたバンプ関数であり、 z = 0の近くでは 1 となる。α ₁ = −χ _D ( z ) Re d ( z ⁻¹ ) とし、χ _{D は}Dの特性関数とする。γ= Re α、γ ₁ = Re α ₁とする。χ _{D は}^{L 2}のバンプ関数で近似できるため、γ ₁ − γ は1 形式 Re Hの実ヒルベルト空間に存在する。同様に、α ₁ − α はHに存在する。ディリクレの原理によれば、距離関数

F ( ξ ) = || γ ₁ − γ – ξ ||

Re H ₁上の γ はRe H ₁内の滑らかな 1 形式 ξ ₀によって最小化されます。実際、 − du は最小化する 1 形式と一致します: γ + ξ ₀ = − du。

ディリクレの原理のこのバージョンは、 duの以前の構成から簡単に演繹できます。定義により、ξ ₀は、実内積空間と見なされるH上の実内積 Re ( η ₁ , η ₂ )に対するγ ₁ – γの Re H ₁への直交射影です。これは、 H上の複素内積に対するα _{1 – α の}H ₁への直交射影 ω ₁の実部と一致します。ホッジスター演算子はH ₁とH _{2 を}入れ替えたH上のユニタリ写像であるため、ω ₂ = ∗ ω _{1は ∗(} α ₁ – α )のH ₂への直交射影です。一方、α は(1,0) 形式である ため、 ∗ α ₁ = − i α _{1です。したがって}

( α ₁ – α ) − i ∗( α ₁ – α ) = ω ₀ + ω ₁ + ω ₂、

ω _kはH _kに含まれます。しかし、左辺は – α + i ∗ α = − βに等しく、βは前のセクションで定義したのとまったく同じなので、これは前の構成と一致します。

リーマン面におけるディリクレの原理に関するさらなる議論は、Hurwitz & Courant (1929)、Ahlfors (1947)、Courant (1950)、Schiffer & Spencer (1954)、Pfluger (1957)、および Ahlfors & Sario (1960) に記載されています。

歴史的注記。ワイル (1913) は、ディリクレの原理を直接証明することによって調和関数uの存在を証明した。ワイル (1940) では、彼は上記の発表で採用された直交射影の方法を提示した。これはシュプリンガー (1957) に倣ったものであるが、T ²上のソボレフ空間の理論を用いて測度論を使用せずに楕円正則性を証明するものであった。解説書ワイル (1955) と小平 (2007) では、両著者とも測度論の結果を参照することを避けており、ワイルがディリクレの原理を介して特異点を持つ調和関数を構成する独自のアプローチに従っている。ワイルの直交射影法では、構成される 1 形式が特異点から離れて滑らかであったり解析的であったりするにもかかわらず、ルベーグの積分理論が 1 形式のヒルベルト空間を測定可能な 1 形式によって実現するために使用されていた。ワイル（1955）の序文で、ワイルは、小平（1949）による直交射影法の高次元への拡張に言及して、次のように書いている。

「小平の研究に影響されて、私は、ディリクレ原理を、私の論文で扱われている本質的に同等の「直交射影法」に置き換えるべきかどうかについて一瞬迷いました。しかし、その理由を説明すると、ここではあまりに的外れになってしまうので、私は古いアプローチに固執しました。」

小平（2007）では、直交射影法について簡単に説明し、ワイルの著作^[31]を参照した後、小平は次のように説明している。

「この本では、当初、直交射影法を使ってディリクレの原理を証明しようと計画していました。しかし、ディリクレの原理の証明のためだけにルベーグ可測性の概念を使うのは嫌だったので、使わなくても済むように書き直しました。」

ヒルベルト空間、 L ^p空間、測度論の方法は、ベルトラミ方程式とタイヒミュラー理論を通じて、リーマン面の非古典的な理論（リーマン面のモジュライ空間の研究）に現れます。

定理。リーマン面XとX上の2つの異なる点AとBが与えられたとき、 X上には2点に単純極を持ち、非零の留数の和が零となる正則1形式が存在し、その1形式は2点の任意の開近傍の補集合上で平方積分可能である。^[32]

証明は、単一の二重極を持つ正則 1 形式に関する結果の証明に似ています。結果は、AとBが近く、パラメトリック ディスク内にあるときに初めて証明されます。実際、これが証明されると、 AとBの間の十分に近い点のチェーンの 1 形式の合計は、中間の特異項が打ち消されるため、必要な 1 形式を提供します。パラメトリック ディスク内のaとbに対応する点の 1 形式を構成するには、1 形式から始めて、前の構成を使用できます。

${\displaystyle \alpha =d\left(\psi (z)\log {z-a \over z-b}\right),}$

これは、局所的には次のような形式となる。

${\displaystyle {dz \over z-a}-{dz \over z-b}.}$

定理（ポアソン方程式）。Ωがリーマン面X上のコンパクトな台の滑らかな 2 形式である場合、Ω は Ω = ∆ fと表すことができます。ここで、f は∫ _X Ω = 0の場合にのみdf平方積分可能な滑らかな関数です 。

実際、Ω は Ω = d α と書くことができ、α はコンパクトなサポートの滑らかな 1 形式です。実際、単位の分割を使用すると、これは長方形上のコンパクトなサポートの滑らかな 2 形式の場合に簡約されます。実際、Ω は、それぞれがパラメトリック長方形でサポートされ、積分が 0 である 2 形式の有限和として書くことができます。これらの 2 形式のそれぞれについて、結果はコンパクトなサポートを持つポアンカレの補題から得られます。α = ω + da + * db と書くと、Ω = d * db = ∆ bとなります。

単連結リーマン面C、D、およびS = C ∪ ∞の場合、リーマン面は、群G = R ²、 SL(2, R ) 、および SU(2) に対して対称空間 G / Kです。 群表現論の方法では、演算子 ∆ はG不変であるため、その基本解はK \ G / K上の関数による右畳み込みによって与えられます。^{[33] [34]}したがって、これらの場合、ポアソン方程式は明示的な積分公式によって解くことができます。 この明示的な解が ∞ で 0 に近づくことは簡単に検証できるため、これらの面の場合、 ∞ で 0 に近づく解fがあります。 Donaldson (2011) は、単連結面に対してこれを直接証明し、それを使用して均一化定理を導出します。^[35]

• 第一種微分
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