収束の積分テスト

数学において、積分収束検定は、単調項の無限級数の収束を検定するために使用される手法である。これはコリン・マクローリンとオーギュスタン＝ルイ・コーシーによって開発され、マクローリン・コーシー検定とも呼ばれる。

整数 Nと、無限区間[ N ,∞)上で単調減少する関数fを考える。すると、無限級数は

${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$

実数に収束するのは、不定積分

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

は有限です。特に、積分が発散する場合、級数も 発散します。

仮積分が有限であれば、証明は下限と上限も与える。

無限級数の場合。

関数が増加する場合、関数は減少し、上記の定理が適用されることに注意してください。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle -f(x)}$

多くの教科書では関数が正であることを要求しているが^{[1] [2] [3]}、この条件は実際に必要ではない。なぜなら、が負で減少すると、とが発散するからである。^{[4] [より良い情報源が必要]}${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

証明では比較テストを使用し、項を区間とにわたってそれぞれの積分と比較します。 ${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [n-1,n)}$${\displaystyle [n,n+1)}$

単調関数はほぼどこでも連続である。これを示すために、 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle D=\{x\in [N,\infty )\mid f{\text{ is discontinuous at }}x\}}$

任意の に対して、の密度により が存在するので、となります。 ${\displaystyle x\in D}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle c(x)\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle c(x)\in \left[\lim _{y\downarrow x}f(y),\lim _{y\uparrow x}f(y)\right]}$

この集合には、が で不連続である場合に限り、開いた 空でない区間が含まれることに注意する。 は、列挙において最小のインデックスを持ち、上記の性質を満たす有理数として一意に識別することができる。は単調であるため、これは入射写像を定義し、したがって可算である。従って、 はほとんどどこでも連続である。これはリーマン積分可能性にとって十分である。^[5]${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {Q} }$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c:D\to \mathbb {Q} ,x\mapsto c(x)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$

fは単調減少関数な ので、

${\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )}$

そして

${\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].}$

したがって、すべての整数n ≥ Nに対して、

そして、すべての整数n ≥ N + 1に対して、

Nからより大きな整数Mまでのすべてのnについて合計すると、（2） から次の式が得られます。

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)}$

そして（３）

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=N}^{M}f(n)&=f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}f(n)\\&\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}\\&=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.\end{aligned}}}$

これら2つの推定値を組み合わせると、

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

Mを無限大に近づけると、( 1 )の境界と結果は次のようになる。

調和級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

は発散します。なぜなら、自然対数、その不定理、および微積分の基本定理を用いると、

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .}$

一方、このシリーズ

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}}$

（リーマンゼータ関数参照）は、べき乗則により、ε > 0の任意の値に対して収束する。

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\,dn=\left.-{\frac {1}{\varepsilon n^{\varepsilon }}}\right|_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}\left(1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}\right)\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.}$

（１）から上限推定値を得る

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},}$

これはリーマンゼータ関数の特定の値のいくつかと比較することができます。

上記の調和級数の例から、 f ( n )が1/ nよりも速く0に減少するが、 1/ n ^{1+ ε}よりも遅くなる単調な数列が存在するかどうかという疑問が生じる。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty }$

あらゆるε > 0に対して、 f ( n )の対応する級数が依然として発散するかどうかを調べます。そのような数列が見つかったら、 f ( n )が1/ nの役割を果たして同様の質問をすることができます。このようにして、無限級数の発散と収束の境界線を調べることができます。

積分収束テストを用いると、任意の自然数 kに対して、級数

依然として発散する（k = 1のときに素数の逆数の和が発散するという証明を参照）が、

はε > 0のすべてにおいて収束する。ここでln _{k は}、再帰的に定義 される自然対数のk倍の合成を表す。

${\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}}$

さらに、N _{k は}、 k倍の構成が明確に定義され、ln _k ( N _k ) ≥ 1 となるような最小の自然数を表します。つまり 、

${\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k}$

テトレーションまたはクヌースの上矢印表記法を使用します。

積分テストを用いて級数（ ４ ）の発散を見るには、連鎖律を繰り返し適用することで

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},}$

したがって

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .}$

級数（５ ）の収束を見るには、べき乗則、連鎖律、および上記の結果 により、

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},}$

したがって

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty }$

そして（１ ）は（ ５ ）の無限級数の上界を与える。

• 収束テスト
• 収束（数学）
• 直接比較テスト
• 優勢収束定理
• オイラー・マクローリンの公式
• 限界比較テスト
• 単調収束定理

• ノップ、コンラッド、「無限列と級数」、ドーバー出版、ニューヨーク、1956年。(§ 3.3) ISBN  0-486-60153-6
• Whittaker, ET、Watson, GN、「A Course in Modern Analysis」、第4版、ケンブリッジ大学出版局、1963年。(§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3 
• フェレイラ、ハイメ・カンポス、エド・カルーステ・グルベンキアン、1987 年、 ISBN 972-31-0179-3