フォン・ミーゼス降伏基準

連続体力学では、最大歪みエネルギー基準（フォン・ミーゼスの降伏基準^[1]とも呼ばれる）は、偏差応力の2番目の不変量が臨界値に達したときに延性材料の降伏が始まると述べています。 ^[2]これは塑性理論の一部であり、主に一部の金属などの延性材料に適用されます。降伏前は、材料の応答は線形弾性、非線形弾性、または粘弾性挙動であると想定できます。 ${\displaystyle J_{2}}$

材料科学および工学では、フォン ミーゼス降伏基準は、フォン ミーゼス応力または等価引張応力によっても定式化されます。これは、コーシー応力テンソルから計算できる応力のスカラー値です。この場合、フォン ミーゼス応力が降伏強度と呼ばれる値に達したときに、材料が降伏し始めると言われます。フォン ミーゼス応力は、単軸引張試験の結果から、複雑な負荷を受けた材料の降伏を予測するために使用されます。フォン ミーゼス応力は、歪みエネルギーが等しい 2 つの応力状態が等しいフォン ミーゼス応力を持つ という特性を満たします。${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

フォン・ミーゼスの降伏条件は、第一応力不変量に依存しないため、金属などの延性材料の塑性変形の解析に適用できます。これは、これらの材料の降伏の開始が応力テンソル の静水力成分に依存しないからです。 ${\displaystyle I_{1}}$

これは1865年にジェームズ・クラーク・マクスウェルによって定式化されたと信じられてきたが、マクスウェルはウィリアム・トムソン（ケルビン卿）への手紙の中で一般的な条件を説明しただけだった。 ^[3] リチャード・エドラー・フォン・ミーゼスは1913年にこれを厳密に定式化した。 ^{[2] [4]} ティトゥス・マクシミリアン・フーバー（1904）は、ポーランド語で書かれた論文で、先人たちのように総ひずみエネルギーではなく、歪みひずみエネルギーに適切に依存することで、この基準をある程度予測していた。 ^{[5] [6] [7]}ハインリッヒ・ヘンキーは1924年にフォン・ミーゼスと同じ基準を独自に定式化した。 ^[8]上記の理由から、この基準は「マクスウェル・フーバー・ヘンキー・フォン・ミーゼス理論」とも呼ばれる。

数学的には、フォン・ミーゼスの降伏基準は次のように表現されます。

${\displaystyle J_{2}=k^{2}\,\!}$

これは、純せん断における材料の降伏応力です。この記事の後半で示すように、降伏の開始時に、純せん断におけるせん断降伏応力の大きさは、単純引張の場合の引張降伏応力の √3 倍低くなります。したがって、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}}$

ここで、 は材料の引張降伏強度です。フォン ミーゼス応力を降伏強度と等しく設定し、上記の式を組み合わせると、フォン ミーゼス降伏基準は次のように表されます。 ${\displaystyle \sigma _{y}}$

${\displaystyle \sigma _{v}=\sigma _{y}={\sqrt {3J_{2}}}}$

または

${\displaystyle \sigma _{v}^{2}=3J_{2}=3k^{2}}$

コーシー応力テンソル成分に置き換えると、 ${\displaystyle J_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{v}}^{2}={\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6\left(\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}+\sigma _{12}^{2}\right)\right]={\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}$、

ここで、は偏差応力と呼ばれます。この式は、降伏面を円筒として定義します (図を参照)。この円筒の降伏曲線、または偏差面との交点は、半径またはの円です。これは、降伏条件が静水圧応力に依存しないことを意味します。 ${\displaystyle s}$${\displaystyle {\sqrt {2}}k}$${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$

一軸応力または単純引張の場合、フォン・ミーゼス条件は単純に次のように簡約される。 ${\displaystyle \sigma _{1}\neq 0,\sigma _{3}=\sigma _{2}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\text{y}}\,\!}$、

これは、引張（または圧縮）降伏強度の定義と一致して、 材料の降伏強度に達すると材料が降伏し始めることを意味します。${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

等価引張応力または等価フォンミーゼス応力は、単純な一軸引張試験の結果を使用して、多軸荷重条件下での材料の降伏を予測するために使用されます。したがって、次のように定義します。 ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{v}}&={\sqrt {3J_{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+\left(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}}\end{aligned}}\,\!}$

ここで、応力偏差テンソルの成分は次のようになります。 ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)}{3}}\mathbf {I} \,\!}$。

この場合、降伏は、等価応力 が単純引張における材料の降伏強度 に達したときに発生します。 たとえば、両方の試験片が同じ材料であっても、圧縮時の鋼鉄梁の応力状態は、ねじり時の鋼鉄車軸の応力状態とは異なります。 応力状態を完全に表す応力テンソルを考慮すると、応力テンソルには 6 つの独立した成分があるため、この違いは 6 つの自由度で現れます。 したがって、2 つの試験片のどちらが降伏点に近いか、または降伏点に到達したかを判断するのは困難です。 ただし、スカラー フォン ミーゼス応力の値、つまり 1 つの自由度のみに依存するフォン ミーゼス降伏基準を使用すると、この比較は簡単になります。フォン ミーゼス値が大きいほど、材料が降伏点に近いことを意味します。 ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

純粋せん断応力の場合は、、その他の場合は、フォン・ミーゼス条件は次のようになります。 ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}\neq 0}$${\displaystyle \sigma _{ij}=0}$

${\displaystyle \sigma _{12}=k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}\,\!}$。

これは、降伏の開始時に、純粋せん断におけるせん断応力の大きさが、単純引張の場合の降伏応力の1/1000であることを意味します。主応力で表される純粋せん断応力のフォン・ミーゼス降伏基準は、 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle (\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}=2\sigma _{y}^{2}\,\!}$

主平面応力が および の場合、フォン・ミーゼス条件は次のようになります。 ${\displaystyle \sigma _{3}=0}$${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{23}=\sigma _{31}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{2}=3k^{2}=\sigma _{y}^{2}\,\!}$

この方程式は平面上の楕円を表します。 ${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}}$

ヘンキー（1924）は、変形の弾性エネルギーが臨界値に達したときに降伏が始まるというフォン・ミーゼス基準の物理的解釈を提示した。^[6]このため、フォン・ミーゼス基準は最大変形ひずみエネルギー基準としても知られている。これは、と変形の弾性ひずみエネルギーの関係に由来する。 ${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle W_{\text{D}}}$

${\displaystyle W_{\text{D}}={\frac {J_{2}}{2G}}\,\!}$弾性せん断係数を持ちます。${\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\nu )}}\,\!}$

^1937年[9]にアルパド・L・ナダイは、八面体せん断応力が臨界値、すなわち単純引張における降伏時の材料の八面体せん断応力に達したときに降伏が始まると示唆した。この場合、フォン・ミーゼスの降伏条件は、と八面体せん断応力の間に正比例関係が存在することから、最大八面体せん断応力条件としても知られており、定義により 八面体せん断応力は${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\,\!}$

したがって

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\sigma _{\text{y}}\,\!}$

ひずみエネルギー密度は、体積または膨張と歪みの 2 つの要素で構成されます。体積要素は、形状の変化なしに体積の変化を引き起こします。歪み要素は、せん断変形または形状の変化を引き起こします。

上記の式に示されているように、フォン・ミーゼス条件を降伏条件として使用することは、以下の材料特性が等方性であり、せん断降伏強度と引張降伏強度の比が以下の値である場合にのみ正確に適用できます。^[10]

${\displaystyle {\frac {F_{sy}}{F_{ty}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0.577\!}$

この比率を正確に満たす材料は存在しないため、実際には、特定の材料に適した破壊理論を決定するために、エンジニアリングの判断を使用する必要があります。または、トレスカ理論を使用する場合、同じ比率が 1/2 として定義されます。

安全利回り余裕度は次のように表される。

${\displaystyle MS_{\text{yld}}={\frac {F_{y}}{\sigma _{\text{v}}}}-1}$