デデキントゼータ関数

数学において、代数体Kのデデキントゼータ関数（一般に ζ _K ( s ) と表記される）は、リーマンゼータ関数（ Kが有理数体Qの場合に得られる）の一般化である。これはディリクレ級数として定義でき、オイラー積展開を持ち、関数方程式を満たし、 s = 1に単極のみを持つ複素平面C上の有理型関数への解析接続を持ち 、その値はKの算術データをエンコードする。拡張されたリーマン予想によれば、ζ _K ( s ) = 0 かつ 0 < Re( s ) < 1 の場合、 Re( s ) = 1/2 となる。

デデキントのゼータ関数は、ピーター グスタフ ルジューヌ ディリクレの『Vorlesungen uber Zahlentheorie』の補足でそれを紹介したリチャード デデキントにちなんで命名されました。^[1]

Kを代数体とする。そのデデキントゼータ関数は、実部Re( s )>1の複素数 sに対してディリクレ級数 によって初めて定義される。

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{(N_{K/\mathbf {Q} } (I))^{s}}}}$

ここで、I はKの整数環O _Kの非ゼロイデアルを通って変動し、N _{K / Q} ( I ) はIの絶対ノルムを表します（これはO _KにおけるIのインデックス[ O _K  :  I ]または同等の商環O _K  /  Iの濃度に等しい）。この和は、実部Re( s ) > 1であるすべての複素数sに対して絶対収束します。 K  =  Qの場合、この定義はリーマンゼータ関数の定義に簡約されます。

のデデキントゼータ関数は、の非ゼロ素イデアルすべての積であるオイラー積を持つ。${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-N_{K/\mathbf {Q} }({\mathfrak {p}})^{-s}}},{\text{ Re}}(s)>1 の場合。}$

これは、 におけるイデアルの素因数分解の一意性を解析的に表現したものです。はゼロ以外の場合です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>1,\ \zeta _{K}(s)}$

エーリッヒ・ヘッケは、ζ _K ( s ) が、 s  = 1の 1 つの単純な極を除く複素平面のすべての点で解析的である有理型関数への解析接続を持つことを初めて証明しました。その極での留数は解析類数公式によって与えられ、 Kの単位群と類群の不変量を含む重要な算術データで構成されます。

デデキントゼータ関数は、sと 1 −  sにおける値を関係付ける関数方程式を満たす。具体的には、 Δ _{K を}Kの判別式、r ₁（またはr _{2 ）を}Kの実数位数（または複素数位数）とし、

${\displaystyle \Gamma _{\mathbf {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)}$

そして

${\displaystyle \Gamma _{\mathbf {C} }(s)=(2\pi )^{-s}\Gamma (s)}$

ここでΓ( s )はガンマ関数である。すると、関数

${\displaystyle \Lambda _{K}(s)=\left|\Delta _{K}\right|^{s/2}\Gamma _{\mathbf {R} }(s)^{r_{1} }\Gamma _{\mathbf {C} }(s)^{r_{2}}\zeta _{K}(s)\qquad \Xi _{K}(s)={\tfrac {1}{2}}(s^{2}+{\tfrac {1}{4}})\Lambda _{K}({\tfrac {1}{ 2}}+は)}$

関数方程式を満たす

${\displaystyle \Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s).\qquad \Xi _{K}(-s)=\Xi _{K}(s)\;}$

リーマンゼータ関数と同様に、デデキントゼータ関数の整数における値は、（少なくとも推測上は）体Kの重要な算術データをエンコードします。たとえば、解析類数公式は、s  = 1における留数を、 Kの類数 h ( K ) 、Kの調節因子R ( K ) 、 Kの 1 の根の数w ( K )、 Kの絶対判別式、およびKの実数および複素数の位数に関連付けます。別の例は、s  = 0 で、零点を持ち、その位数rはO _Kの単位群の階数に等しく、主要項は次のように与えられます。

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow 0}s^{-r}\zeta _{K}(s)=-{\frac {h(K)R(K)}{w(K)}}.}$

関数方程式から、 という結果が得られます。関数方程式と、 Γ( s ) がゼロ以下のすべての整数で無限大であるという事実を組み合わせると、ζ _K ( s ) はすべての負の偶数でゼロになります。K が完全な実数(つまりr ₂  = 0、たとえばQまたは実数二次体)でない限り、すべての負の奇数でもゼロになります。完全な実数の場合、カール・ルートヴィヒ・シーゲルは、 ζ _K ( s ) は負の奇数でゼロ以外の有理数であることを示しました。スティーブン・リヒテンバウムは、Kの代数 K 理論に基づいて、これらの有理数の特定の値を推測しました。 ${\displaystyle r=r_{1}+r_{2}-1}$

K がQのアーベル拡大である場合、そのデデキントゼータ関数はディリクレL関数の積として表すことができます。たとえば、Kが2次体の場合、比

${\displaystyle {\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{\mathbf {Q} }(s)}}}$

はL関数L ( s ,χ)であり、χはディリクレ指標として使用されるヤコビ記号です。2次体のゼータ関数がリーマンゼータ関数と特定のディリクレL関数の積であることは、ガウスの2次相互法則の解析的定式化です。

一般に、K がガロア群Gを持つQのガロア拡大である場合、そのデデキントゼータ関数はGの正規表現のArtin L関数であり、したがってGの既約Artin 表現の Artin L関数によって因数分解されます。

アルティンL関数との関係は、L / Kがガロア拡大の場合、は正則（「割り切る」）であることを示しています。一般的な拡大の場合、結果はL関数のアルティン予想から得られます。^[2]${\displaystyle {\frac {\zeta _{L}(s)}{\zeta _{K}(s)}}}$${\displaystyle \zeta _{K}(s)}$${\displaystyle \zeta _{L}(s)}$

さらに、ζK ( s )は_SpecOKのハッセ・ヴェイユゼータ関数^[3]であり、SpecKのコホモロジーから来るモチーフのモチーフL関数_で^ある[4]。

2 つの体は、同じデデキント ゼータ関数を持つ場合、算術的に同値であると呼ばれます。Wieb Bosma と Bart de Smit (2002) は、ガスマン トリプルを使用して、算術的に同値である非同型体のペアの例をいくつか示しました。特に、これらのペアのいくつかはクラス番号が異なるため、数体のデデキント ゼータ関数ではクラス番号が決定されません。

Perlis (1977) は、有限個を除くすべての素数p が2 つの体で同じ慣性次数を持つ場合のみ、2 つの数体 KとL が算術的に同値であることを示しました。つまり、 がp上にあるK の素イデアルである場合、ほとんどすべてのpに対して、 KとLの組が同じである必要があります。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$${\displaystyle (\dim _{\mathbf {Z} /p}{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}_{i})}$

• Bosma, Wieb; de Smit, Bart (2002)、「On arithmetically equal number fields of small degree」、Kohel, David R.、Fieker, Claus (eds.)、Algorithmic number theory (Sydney, 2002)、Lecture Notes in Comput. Sci.、vol. 2369、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 67–79、doi :10.1007/3-540-45455-1_6、ISBN 978-3-540-43863-2、MR  2041074
• Cohen, Henri (2007)、数論、第2巻：解析的および現代的なツール、Graduate Texts in Mathematics、第240巻、ニューヨーク：Springer、doi：10.1007/978-0-387-49894-2、ISBNのセクション10.5.1 978-0-387-49893-5、MR  2312338
• デニンガー、クリストファー (1994)、「混合動機のL関数」、ヤンセン、ウーヴェにて。クレイマン、スティーブン。Serre、Jean-Pierre (編)、Motives、Part 1、Proceedings of Symposia in Pure Mathematics、vol. 55、アメリカ数学協会、517–525 ページ、ISBN 978-0-8218-1635-6
• Flach, Mathias (2004)、「同変玉川数予想: 概要」、Burns, David、Popescu, Christian、Sands, Jonathan、他編『Stark の予想: 最近の成果と新たな方向性』(PDF)、Contemporary Mathematics、vol. 358、American Mathematical Society、pp. 79–125、ISBN 978-0-8218-3480-0
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• Narkiewicz, Władysław (2004)、「代数的数の基本および解析理論」、Springer Monographs in Mathematics (第3版)、ベルリン: Springer-Verlag、第7章、ISBN 978-3-540-21902-6、MR  2078267
• ペルリス、ロバート（1977）「方程式について」、数論ジャーナル、9（3）：342–360、doi：10.1016/0022-314X（77）90070-1${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\zeta _{K'}(s)}$