二次方程式

代数的整数論において、二次体とは、有理数上の2次代数体です。 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

このような二次体はすべて、が、および とは異なる（一意に定義された）平方自由整数であるようなものである。 の場合、対応する二次体は実二次体と呼ばれ、 の場合は、それが実数体のサブフィールドであるかどうかに応じて、虚二次体または複素二次体と呼ばれる。 ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle d>0}$${\displaystyle d<0}$

二次体は、当初は二元二次形式の理論の一部として、非常に深く研究されてきました。未解決の問題がいくつか残っています。類数問題は特に重要です。

非零の平方自由整数 について、が を法としてと合同な場合、二次式体の判別式は となり、そうでない場合は となります。たとえば、が の場合、 はガウス有理数体であり、判別式は となります。このような区別をする理由は、の整数環が最初のケースでは によって生成され、 2 番目のケースで は によって生成されるためです。${\displaystyle d}$${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 4d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle K}$${\displaystyle -4}$${\displaystyle K}$${\displaystyle (1+{\sqrt {d}})/2}$${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

二次体の判別式の集合は、まさに基本判別式の集合です（ただし、 は基本判別式ではあるが、二次体の判別式ではないため、 は除きます）。 ${\displaystyle 1}$

任意の素数は、二次体の整数環にイデアルを生じる。ガロア拡大における素イデアルの分解の一般理論に従えば、これは^{[1]である可能性がある。}${\displaystyle p}$${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle p}$不活性である

${\displaystyle (p)}$は第一の理想です。

商環は、を元とする有限体です。${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p^{2}}}$

${\displaystyle p}$ 分割

${\displaystyle (p)}$は の 2 つの異なる素イデアルの積です。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

商環は積です。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p}\times \mathbf {F} _{p}}$

${\displaystyle p}$分岐している

${\displaystyle (p)}$は の素イデアルの平方です。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

商環にはゼロでない冪零元が含まれます。

3 番目のケースは、判別式 が を割り切る場合にのみ発生します。最初と 2 番目のケースは、クロネッカー記号がそれぞれとに等しい場合に発生します。たとえば、が を割り切れない奇数の素数である場合、が を法とする平方と合同である場合に限り、 が割り切れます。最初の 2 つのケースは、ある意味では、が素数を通過するときに発生する可能性が等しく、チェボタレフの密度定理を参照してください。^[2]${\displaystyle p}$${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (D/p)}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle D}$${\displaystyle p}$${\displaystyle D}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

二次の相互法則は、二次体における素数の分解挙動が（ここで は体判別式） を法としてのみ依存することを意味します。${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

二次体拡大の類群の決定は、類群の有限性のため、ミンコフスキーの境界とクロネッカー記号を使用して行うことができます。^[3]二次体は判別式を持つ ため、ミンコフスキーの境界は^[4]です。${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ $${\displaystyle \Delta _{K}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}};\end{cases}}}$$$${\displaystyle M_{K}={\begin{cases}2{\sqrt {|\Delta |}}/\pi &d<0\\{\sqrt {|\Delta |}}/2&d>0.\end{cases}}}$$

そして、イデアル類群は、ノルムが 未満の素イデアルによって生成されます。これは、 の素数に対するイデアルの分解を見ることで行うことができます。ここで、 ^{[1] 72 ページこれらの分解は}、デデキント・クンマーの定理を使用して見つけることができます。 ${\displaystyle M_{K}}$${\displaystyle (p)}$${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$${\displaystyle |p|<M_{k}.}$

二次体の構成の古典的な例は、奇数の素数を持つ原始th 根によって生成される円分体の内部で一意の二次体を取ることです。一意性はガロア理論の結果であり、上のガロア群には指数の一意の部分群があります。ガウス周期で説明したように、二次体の判別式はに対して、に対してです。これは、十分な分岐理論からも予測できます。実際、は円分体で分岐する唯一の素数であるため、は二次体の判別式を割り切れる唯一の素数です。これにより、それぞれの場合で 「他の」判別式とが排除されます。${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=4n+1}$${\displaystyle -p}$${\displaystyle p=4n+3}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle -4p}$${\displaystyle 4p}$

他の円分体を取ると、それらは追加の- 捩れを持つガロア群を持つので、少なくとも 3 つの二次体を含みます。一般に、体判別式の二次体は、単位の - 乗根の円分体の部分体として得られます。これは、二次体の導体がその判別式の絶対値であるという事実、つまり導体判別式公式の特別なケースを表します。 ${\displaystyle 2}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$

次の表は、2 次体の小さな判別式のいくつかの順序を示しています。代数体の最大順序は整数の環であり、最大順序の判別式は体の判別式です。非最大順序の判別式は、対応する最大順序の判別式と、非最大順序の基底を最大順序の基底で表す行列の行列式の 2 乗の積です。これらの判別式はすべて、代数体判別式 § 定義 の式で定義できます。

実二次整数環の場合、一意因数分解の失敗を測る理想類数はOEIS A003649 で与えられ、虚数の場合は OEIS A000924 で与えられます。

これらの例のいくつかは、Artin 著「Algebra (第 2 版)」の §13.8 に記載されています。

• Buell, Duncan (1989)、バイナリ二次形式：古典理論と現代計算、Springer-Verlag、ISBN 0-387-97037-1第6章。
• サミュエル、ピエール（1972）、代数的数論（ハードカバー版）、パリ/ボストン：ヘルマン/ホートンミフリン社、ISBN 978-0-901-66506-5
  • サミュエル、ピエール（2008）、代数的数論（ペーパーバック版）、ドーバー、ISBN 978-0-486-46666-8
• スチュワート、IN ; トール、DO (1979)、代数的数論、チャップマン＆ホール、ISBN 0-412-13840-9第3.1章。

• Weisstein、Eric W.「二次形式フィールド」。MathWorld。
• 「二次体」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]