凸面の好み

経済学において、凸状の選好とは、大まかに言えば「平均は極端よりも優れている」という性質を持ち、通常は消費される様々な商品の量に関して、個人が様々な結果を順序付けることです。この概念は、効用関数を必要とせずに限界効用逓減の概念にほぼ相当します。

実数の「以上」の順序関係と同様に、以下の表記は「少なくとも同等である」（選好満足度において）と翻訳できます。 ${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \succeq}$

同様に、は「より厳密に優れている」（選好満足度において）と翻訳でき、同様に、は「と同等である」（選好満足度において）と翻訳できます。 ${\displaystyle \succ}$${\displaystyle \sim}$

x、y、z を使って3つの消費バンドル（様々な財の様々な数量の組み合わせ）を表します。正式には、消費集合Xの選好関係は、次の場合に 凸と呼ばれます。${\displaystyle \succeq}$

${\displaystyle x,y,z\in X}$ここで、および、${\displaystyle y\succeq x}$${\displaystyle z\succeq x}$

すると、すべての に対して: ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )z\succeq x}$。

つまり、それぞれが 3 番目のバンドルと同等以上であると見なされる任意の 2 つのバンドルの場合、2 つのバンドルの加重平均は、3 番目のバンドルと同等以上であると見なされます。

選好関係が厳密に凸であると言われるのは、 ${\displaystyle \succeq}$

${\displaystyle x,y,z\in X}$ここで、、、および、${\displaystyle y\succeq x}$${\displaystyle z\succeq x}$${\displaystyle y\neq z}$

すると、すべての に対して: ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )z\succ x}$

つまり、それぞれが3番目のバンドルと同等以上であると見なされる2つの異なるバンドルの場合、2つのバンドルの加重平均（各バンドルの正の量を含む）は、3番目のバンドルよりも確実に優れていると見なされます。^{[1] [2]}

xとyを使って2つの消費バンドルを表す。選好関係は、 任意の${\displaystyle \succeq}$

${\displaystyle x,y\in X}$どこ${\displaystyle y\succeq x}$

すると、すべての に対して: ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succeq x}$。

つまり、バンドルyがバンドルxよりも優先される場合、 yとxの任意の組み合わせはxよりも優先されます。^[3]

選好関係が厳密に凸であると言われるのは、

${\displaystyle x,y\in X}$ここで、、および、${\displaystyle y\sim x}$${\displaystyle x\neq y}$

すると、すべての に対して: ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succ x}$。

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succ y}$。

つまり、同等であると見なされる任意の2つのバンドルについては、2つのバンドルの加重平均がこれらのバンドルのそれぞれよりも優れているということです。^[4]

1. 商品の種類が1つしかない場合、弱単調増加する選好関係はいずれも凸関係になります。これは、 の場合、 yとסの加重平均もすべて となるためです。 ${\displaystyle y\geq x}$${\displaystyle \geq x}$

2. 2つの商品タイプ1と2を持つ経済を考えます。次のレオンチェフ効用関数で表される選好関係を考えます。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\min(x_{1},x_{2})}$

この選好関係は凸です。証明: xとyが 2 つの同等のバンドル、つまり であるとします。両方のバンドルの最小数量の商品が同じ場合 (例: 商品 1)、これは を意味します。次に、任意の加重平均には商品 1 の量も同じであるため、任意の加重平均はおよび と同等です。各バンドルの最小商品が異なる場合 (例:だが)、これは を意味します。次にであり、したがって です。この選好関係は凸ですが、厳密には凸ではありません。 ${\displaystyle \min(x_{1},x_{2})=\min(y_{1},y_{2})}$${\displaystyle x_{1}=y_{1}\leq x_{2},y_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}$${\displaystyle y_{1}\geq y_{2}}$${\displaystyle x_{1}=y_{2}\leq x_{2},y_{1}}$${\displaystyle \theta x_{1}+(1-\theta )y_{1}\geq x_{1}}$${\displaystyle \theta x_{2}+(1-\theta )y_{2}\geq y_{2}}$${\displaystyle \theta x+(1-\theta )y\succeq x,y}$

3.線形効用関数によって表される選好関係は凸ですが、厳密には凸ではありません。 のときはいつでも、 のあらゆる凸組み合わせはそれらのいずれとも同等です。 ${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle x,y}$

4. 次式で表される選好関係を考えます。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\max(x_{1},x_{2})}$

この選好関係は凸ではありません。証明: ととします。この場合、両方の効用は 5 です。ただし、凸の組み合わせの効用は 4 なので、両方よりも悪くなります。 ${\displaystyle x=(3,5)}$${\displaystyle y=(5,3)}$${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle 0.5x+0.5y=(4,4)}$

凸型の無差別曲線の集合は凸型の選好を表します。つまり、すべて同じように望まれると見なされるすべてのバンドル（2 つ以上の財）の集合を含む凸型の無差別曲線を考えると、無差別曲線上のものと少なくとも同じくらい望まれると見なされるすべての財のバンドルの集合は凸集合です。

凸型の選好とそれに関連する凸型の無差別写像は、準凹型の効用関数から生じますが、選好の分析には必ずしも必要ではありません。たとえば、一定代替弾性（CES）効用関数は、凸型の相同選好を表します。CES選好は自己双対であり、主CES選好と双対CES選好の両方から、任意の程度の凸性を示す可能性のある無差別曲線のシステムが生成されます。^[5]

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