ポイントワイズ

数学では、修飾子pointwise は、ある関数の各値を考慮することによって特定のプロパティが定義されていることを示すために使用されます。重要なクラスの pointwise 概念は、 pointwise 演算、つまり定義域内の各ポイントに対して関数値に個別に演算を適用することによって関数に対して定義される演算です。重要な関係も pointwise で定義できます。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f.}$

集合Y上の二項演算o : Y × Y → Yは、XからYへのすべての関数の集合X → Y上の演算O :( X → Y )×( X → Y )→( X → Y )に点ごとに持ち上げることができる。2つの関数f ₁ : X → Yとf ₂ : X → Yが与えられたとき、関数O ( f ₁ , f ₂ ): X → Yを次のように定義 する。

一般的に、oとO は同じ記号で表されます。単項演算oや他の項の演算にも同様の定義が使用されます。^[要出典]

同じ定義域と共定義域を持つ2 つの関数の各点の加算は次のように定義されます。 ${\displaystyle f+g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x).}$

点ごとの積または点ごとの乗算は次のようになります。

${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).}$

スカラーとの点積は通常、スカラー項を先にして書きます。したがって、 がスカラーのときは次のようになります。 ${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle (\lambda \cdot f)(x)=\lambda \cdot f(x).}$

点単位ではない関数の演算の例としては、畳み込みがあります。

点演算は、共役法則、可換法則、分配法則などの特性を、共域上の対応する演算から継承します。 が 何らかの代数構造である場合、のキャリア集合へのすべての関数の集合は、同様の方法で同じタイプの代数構造に変換できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

成分ごとの演算は通常、ベクトルに対して定義されます。ここで、ベクトルは、何らかの自然数と何らかの体に対する集合の要素です。任意のベクトルの - 番目の成分を と表記すると、成分ごとの加算は となります。 ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle (u+v)_{i}=u_{i}+v_{i}}$

行列に対して成分ごとの演算を定義できます。行列の加算は成分ごとの演算ですが、行列の乗算は成分ごとの演算ではありません。 ${\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}}$

タプルは関数とみなすことができ、ベクトルはタプルです。したがって、任意のベクトルはとなる関数に対応し、ベクトルに対する任意の成分ごとの演算は、それらのベクトルに対応する関数に対する点ごとの演算です。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle f:n\to K}$${\displaystyle f(i)=v_{i}}$

順序論では、関数の点ごとの半順序を定義するのが一般的です。A、B の posetでは、関数A → Bの集合は、 (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x )の場合にはf ≤ gと定義することで順序付けることができます。点ごとの順序は、基礎となる poset のいくつかの特性も継承します。たとえば、 A と B が連続格子である場合、点ごとの順序を持​​つ関数A → Bの集合も連続格子です。 ^[1]関数の点ごとの順序を使用すると、たとえば、他の重要な概念を簡潔に定義できます。^[2]

• poset P上の閉包演算子 cは、 P上の単調かつべき等な自己写像(つまり、射影演算子)であり、id _A ≤ cという追加の特性を持ちます。ここで、id は恒等関数です。
• 同様に、射影演算子k は、 k ≤ id _Aの場合にのみカーネル演算子と呼ばれます。

無限の点ごとの関係の例としては、関数の点ごとの収束が挙げられます。関数の 列は、 X内の各xに対して、関数fに点 ごと に収束します。$${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$$$${\displaystyle f_{n}:X\longrightarrow Y}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$

順序理論の例:

• TS Blyth、「Lattices and Ordered Algebraic Structures」、Springer、2005年、ISBN  1-85233-905-5。
• G. Gierz、KH Hofmann、K. Keimel、JD Lawson、M. Mislove、DS Scott : Continuous Lattices and Domains、ケンブリッジ大学出版局、2003 年。

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