2cos(2pi/n)の最小多項式

整数論では、単位根の実部は、最小多項式によって互いに関連している。最小多項式の根は、単位根の実部の2倍であり、単位根の実部は、と互いに素である。${\displaystyle 2\cos(2\pi /n).}$${\displaystyle \cos \left(2k\pi /n\right)}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n.}$

整数 に対して、の最小多項式は、 となる最小次数の非ゼロ単項式です。 ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \Psi_{n}(x)}$${\displaystyle 2\cos(2\pi /n)}$${\displaystyle \Psi _{n}\!\left(2\cos(2\pi /n)\right)=0}$

任意のnに対して、多項式は単項式であり、整数係数を持ち、整数 および有理数に対して既約です。そのすべての根は実数です。つまり、と互いに素であり、 または のいずれかである実数です。これらの根は、 の原始n乗根の実部の2 倍です。と互いに素である整数の数は、オイラーのトーティエント関数によって与えられます。したがって、の次数はに対して であり、に対して であることがわかります。${\displaystyle \Psi_{n}(x)}$${\displaystyle 2\cos \left(2k\pi /n\right)}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle 1\leq k<n}$${\displaystyle k=n=1.}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi (n);}$${\displaystyle \Psi_{n}(x)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n=1,2}$${\displaystyle \varphi (n)/2}$${\displaystyle n\geq 3.}$

最初の2つの多項式は、${\displaystyle \Psi_{1}(x)=x-2}$${\displaystyle \Psi_{2}(x)=x+2.}$

多項式は、根がすべて実数で巡回ガロア群を持つ既約多項式の典型的な例です。 ${\displaystyle \Psi_{n}(x)}$

最初のいくつかの多項式は ${\displaystyle \Psi_{n}(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{1}(x)&=x-2\\\Psi _{2}(x)&=x+2\\\Psi _{3}(x)&=x+1\\\Psi _{4}(x)&=x\\\Psi _{5}(x)&=x^{2}+x-1\\\Psi _{6}(x)&=x-1\\\Psi _{7}(x)&=x^{3}+x^{2}-2x-1\\\Psi _{8}(x)&=x^{2}-2\\\Psi _{9}(x)&=x^{3}-3x+1\\\Psi _{10}(x)&=x^{2}-x-1\\\Psi _{11}(x)&=x^{5}+x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+3x+1\\\Psi _{12}(x)&=x^{2}-3\\\Psi _{13}(x)&=x^{6}+x^{5}-5x^{4}-4x^{3}+6x^{2}+3x-1\\\Psi _{14}(x)&=x^{3}-x^{2}-2x+1\\\Psi _{15}(x)&=x^{4}-x^{3}-4x^{2}+4x+1\\\Psi _{16}(x)&=x^{4}-4x^{2}+2\\\Psi _{17}(x)&=x^{8}+x^{7}-7x^{6}-6x^{5}+15x^{4}+10x^{3}-10x^{2}-4x+1\\\Psi _{18}(x)&=x^{3}-3x-1\\\Psi _{19}(x)&=x^{9}+x^{8}-8x^{7}-7x^{6}+21x^{5}+15x^{4}-20x^{3}-10x^{2}+5x+1\\\Psi _{20}(x)&=x^{4}-5x^{2}+5\end{aligned}}}$

が奇数の素数である場合、多項式はパスカルの三角形を通る「ジグザグ経路」に沿った二項係数で表すことができます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \Psi_{n}(x)}$

パッティングと ${\displaystyle n=2m+1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{n}(x):&={\binom {m}{0}}x^{m}+{\binom {m-1}{0}}x^{m-1}-{\binom {m-1}{1}}x^{m-2}-{\binom {m-2}{1}}x^{m-3}+{\binom {m-2}{2}}x^{m-4}+{\binom {m-3}{2}}x^{m-5}--++\cdots \\&=\sum _{k=0}^{m}(-1)^{\lfloor k/2\rfloor }{\binom {m-\lfloor (k+1)/2\rfloor }{\lfloor k/2\rfloor }}x^{m-k}\\&={\binom {m}{m}}x^{m}+{\binom {m-1}{m-1}}x^{m-1}-{\binom {m-1}{m-2}}x^{m-2}-{\binom {m-2}{m-3}}x^{m-3}+{\binom {m-2}{m-4}}x^{m-4}+{\binom {m-3}{m-5}}x^{m-5}--++\cdots \\&=\sum _{k=0}^{m}(-1)^{\lfloor (m-k)/2\rfloor }{\binom {\lfloor (m+k)/2\rfloor }{k}}x^{k},\end{aligned}}}$

すると素数についてはとなります。 ${\displaystyle \Psi _{p}(x)=\chi _{p}(x)}$${\displaystyle p}$

が奇数だが素数でない場合、同じ多項式 は、予想どおり、約分可能であり、式 によって反映される円分多項式の構造に対応して、の約数（それ自体を含む ）すべてについて の積になることがわかります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \chi _{n}(x)}$ ${\displaystyle \Phi _{d}(x)}$${\displaystyle \prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x)=x^{n}-1}$${\displaystyle \Psi _{d}(x)}$${\displaystyle d>1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \prod _{d\mid n \atop d>1}\Psi _{d}(x)=\chi _{n}(x).}$

これは、が の既約因数とまったく同じであることを意味し、の次数がわかれば、任意の奇数 に対してを簡単に得ることができます。たとえば、 ${\displaystyle \Psi _{d}(x)}$${\displaystyle \chi _{n}(x)}$${\displaystyle \Psi _{d}(x)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\varphi (d)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{15}(x)&=x^{7}+x^{6}-6x^{5}-5x^{4}+10x^{3}+6x^{2}-4x-1\\&=(x+1)(x^{2}+x-1)(x^{4}-x^{3}-4x^{2}+4x+1)\\&=\Psi _{3}(x)\cdot \Psi _{5}(x)\cdot \Psi _{15}(x).\end{aligned}}}$

チェビシェフ多項式による以下の式と上記の奇数に対する積の式から、偶数に対する式を導くことができる。${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \prod _{d\mid n \atop d>1}\Psi _{d}(x)={\Big (}\chi _{n+1}(x)+\chi _{n-1}(x){\Big )}.}$

これとは独立に、が偶数素数冪である場合、再帰について次式が成り立ちます（OEIS :A158982を参照）。 ${\displaystyle n=2^{k}}$${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle \Psi _{2^{k+1}}(x)=(\Psi _{2^{k}}(x))^{2}-2}$、

から始まります。 ${\displaystyle \Psi _{4}(x)=x}$

の根は で与えられ、^[1]であり、 である。は単項式なので、 ${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)}$${\displaystyle 1\leq k<{\frac {n}{2}}}$${\displaystyle \gcd(k,n)=1}$${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$

${\displaystyle \Psi _{n}(x)=\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}1\leq k<{\frac {n}{2}}\\\gcd(k,n)=1\end{array}}\left(x-2\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)\right).}$

この結果と関数が 偶数であるという事実を組み合わせると、任意の正の整数と任意の整数に対して が代数的整数であることがわかります。 ${\displaystyle \cos(x)}$${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

正の整数 に対して、 をの原始- 乗根とします。このとき、 の最小多項式は-乗円分多項式で与えられます。 であるため、との関係は で与えられます。この関係は、Lehmer によって証明された次の恒等式で示され、任意の非ゼロ複素数に対して成立します。^[2]${\displaystyle n}$${\displaystyle \zeta _{n}=\exp \left({\frac {2\pi i}{n}}\right)=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)+\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)i}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \zeta _{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$${\displaystyle \zeta _{n}^{-1}=\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)-\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)i}$${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$${\displaystyle \zeta _{n}}$${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)=\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \Psi _{n}\left(z+z^{-1}\right)=z^{-{\frac {\varphi (n)}{2}}}\Phi _{n}(z)}$

1993年、ワトキンスとツァイトリンは、と第1種チェビシェフ多項式の間に次の関係を確立した。 ^[1]${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$

が奇数の場合、^{[検証が必要]}${\displaystyle n=2s+1}$

${\displaystyle \prod _{d\mid n}\Psi _{d}(2x)=2(T_{s+1}(x)-T_{s}(x)),}$

が偶数の場合、 ${\displaystyle n=2s}$

${\displaystyle \prod _{d\mid n}\Psi _{d}(2x)=2(T_{s+1}(x)-T_{s-1}(x)).}$

が のべき乗である場合、さらに直接的に^{[3]が成り立ちます。}${\displaystyle n}$${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \Psi _{2^{k+1}}(2x)=2T_{2^{k-1}}(x).}$

定数係数の絶対値は次のように決定できる。^[4]${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$

${\displaystyle |\Psi _{n}(0)|={\begin{cases}0&{\text{if}}\ n=4,\\2&{\text{if}}\ n=2^{k},k\geq 0,k\neq 2,\\p&{\text{if}}\ n=4p^{k},k\geq 1,p>2\ {\text{prime,}}\\1&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

代数体 とは、円分体の最大の実数部分体である。が の整数環を表す場合、 となる。言い換えれば、集合 はの整基底である。これを考慮すると、代数体 の判別式は多項式 の判別式に等しく、つまり^{[5]となる。}${\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} \left(\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K_{n}}}$${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K_{n}}=\mathbb {Z} \left[\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}\right]}$ ${\displaystyle \left\{1,\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1},\ldots ,\left(\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}\right)^{{\frac {\varphi (n)}{2}}-1}\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K_{n}}}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle \Psi _{n}(x)}$

${\displaystyle D_{K_{n}}={\begin{cases}2^{(m-1)2^{m-2}-1}&{\text{if}}\ n=2^{m},m>2,\\p^{(mp^{m}-(m+1)p^{m-1}-1)/2}&{\text{if}}\ n=p^{m}\ {\text{or}}\ 2p^{m},p>2\ {\text{prime}},\\\left(\prod _{i=1}^{\omega (n)}p_{i}^{e_{i}-1/(p_{i}-1)}\right)^{\frac {\varphi (n)}{2}}&{\text{if}}\ \omega (n)>1,k\neq 2p^{m}.\end{cases}}}$