因果構造

もし${\displaystyle \,(M,g)}$ローレンツ多様体（計量の場合）${\displaystyle g}$多様体上${\displaystyle M}$）すると、多様体の各点における非ゼロの接線ベクトルは、互いに素な3つのタイプに分類できる。接線ベクトル${\displaystyle X}$は：

• 時間的もし${\displaystyle \,g(X,X)<0}$
• nullまたはlightlike の場合${\displaystyle \,g(X,X)=0}$
• 宇宙のような${\displaystyle \,g(X,X)>0}$

ここでは、${\displaystyle (-,+,+,+,\cdots )}$計量シグネチャ。接線ベクトルがヌルまたは時間的である場合、非空間的であると言います。

正準ローレンツ多様体はミンコフスキー時空であり、${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$そして${\displaystyle g}$は平坦なミンコフスキー計量です。接線ベクトルの名前はこのモデルの物理学に由来します。接空間もまた であるため、ミンコフスキー時空内の点間の因果関係は特に単純な形をとります。$\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$したがって、接線ベクトルは空間内の点と同一視できる。4次元ベクトル${\displaystyle X=(t,r)}$のサインに従って分類される${\displaystyle g(X,X)=-c^{2}t^{2}+\|r\|^{2}}$、 どこ$\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{3}}$は3次元空間におけるデカルト座標であり、${\displaystyle c}$は普遍的な速度制限を表す定数であり、${\displaystyle t}$は時間です。計量の不変性により、空間内の任意のベクトルの分類は、ローレンツ変換によって関連付けられるすべての参照系で同じになります（ただし、原点が移動する可能性があるため、一般的なポアンカレ変換では同じにはなりません）。

各ポイントで${\displaystyle M}$点の接空間における時間的接ベクトルは、2つのクラスに分類できる。そのためには、まず時間的接ベクトルのペア間の同値関係を定義する。

もし${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$2 つの時間的接線ベクトルが点にある場合、次のように言います。${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$同等である（${\displaystyle X\sim Y}$） もし${\displaystyle \,g(X,Y)<0}$。

すると、その点におけるすべての時間的接線ベクトルを含む2つの同値類が存在する。これらの同値類のうち一方を（任意に）未来方向、他方を過去方向と呼ぶことができる。物理的には、未来方向と過去方向の時間的ベクトルの2つのクラスという指定は、その点における時間の矢印の選択に対応する。未来方向と過去方向という指定は、連続性によって、その点におけるヌルベクトルにも拡張できる。

ローレンツ多様体は、非空間的なベクトルに対して、多様体全体にわたって未来方向と過去方向の連続的な指定を行うことができる場合、時間方向付け可能である^{[ 1 ] 。}

道​​${\displaystyle M}$連続マップ​${\displaystyle \mu$ :\Sigma \to M} ただし${\displaystyle \Sigma }$は非退化区間（つまり、複数の点を含む連結集合）である。${\displaystyle \mathbb {R} }$滑らかな経路は${\displaystyle \mu }$適切な回数微分可能（通常${\displaystyle C^{\infty }}$）、そして正則な経路はゼロでない導関数を持つ。

曲線​​${\displaystyle M}$はパスの画像、より正確には再パラメータ化によって関連付けられたパスの同値類、すなわち同相写像または微分同相写像である。${\displaystyle \Sigma }$。 いつ${\displaystyle M}$時間方向付け可能であり、パラメータの変化が厳密に単調増加関数であることが要求される場合、曲線は方向付けられます。

滑らかで規則的な曲線（または経路）${\displaystyle M}$接線ベクトルによって分類できます。このような曲線は

• 曲線上のすべての点で接線ベクトルが時間的である場合、時間的（または時間的）である。世界線とも呼ばれる。^{[ 2 ]}
• 曲線上のすべての点で接線ベクトルがゼロの場合は、ゼロとなる。
• 曲線上のすべての点で接線ベクトルが空間的である場合、空間的である。
• 曲線上のすべての点で接線ベクトルが時間的またはゼロである場合、因果的（または非空間的）である。

規則性と非退化性の要件${\displaystyle \Sigma }$閉じた因果曲線（例えば、一点からなる曲線など）が、すべての時空で自動的に許容されないようにする。

多様体が時間方向付け可能である場合、非空間的な曲線は、時間に対する向きに応じてさらに分類することができる。

時系列、ゼロまたは因果関係の曲線${\displaystyle M}$は

• 曲線上のすべての点において、接線ベクトルが未来方向である場合、それは未来方向である。
• 曲線上のすべての点において、接線ベクトルが過去方向である場合、過去方向である。

これらの定義は、因果的（時間的または無）曲線にのみ適用されます。なぜなら、時間的または無的な接線ベクトルのみが時間に関して方向付けされることができるからです。

• 閉じた時間的曲線とは、あらゆる点で未来方向の時間的性質を持つ（あるいはあらゆる点で過去方向の時間的性質を持つ）閉じた曲線のことである。
• 閉じたヌル曲線とは、あらゆる点で未来方向のヌル曲線（またはあらゆる点で過去方向のヌル曲線）である閉じた曲線のことである。
• 閉じたヌル測地線周りのアフィンパラメータの変化率の比のホロノミーは赤方偏移因子である。

点と点の間にはいくつかの因果関係が存在する${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$多様体において${\displaystyle M}$。

• ${\displaystyle x}$時系列的に先行する${\displaystyle y}$（しばしば表記される）${\displaystyle \,x\ll y}$）未来方向の時系列（時間的）曲線が存在する場合${\displaystyle x}$に${\displaystyle y}$。
• ${\displaystyle x}$厳密に因果的に先行する${\displaystyle y}$（しばしば表記される）${\displaystyle x<y}$）未来方向の因果的（非空間的）曲線が存在する場合${\displaystyle x}$に${\displaystyle y}$。
• ${\displaystyle x}$因果的に先行する${\displaystyle y}$（しばしば表記される）${\displaystyle x\prec y}$または${\displaystyle x\leq y}$） もし${\displaystyle x}$厳密に因果的に先行する${\displaystyle y}$または${\displaystyle x=y}$。
• ${\displaystyle x}$ホリスモス${\displaystyle y}$^{[ 3 ]} (しばしば表記される${\displaystyle x\to y}$または${\displaystyle x\nearrow y}$） もし${\displaystyle x=y}$または、未来方向のヌル曲線が存在する${\displaystyle x}$に${\displaystyle y}$^{[ 4 ]} (または同等に、${\displaystyle x\prec y}$そして${\displaystyle x\not \ll y}$暗示する${\displaystyle x\prec y}$（これは定義から自明に導かれる）^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle x\ll y}$、${\displaystyle y\prec z}$暗示する${\displaystyle x\ll z}$^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle x\prec y}$、${\displaystyle y\ll z}$暗示する${\displaystyle x\ll z}$^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle \ll }$、${\displaystyle <}$、${\displaystyle \prec }$推移的である。^{[ 5 ]}${\displaystyle \to }$推移的ではない。因果関係${\displaystyle \prec }$これは、horismos関係の最小の推移的拡張である。${\displaystyle \to }$[ ^{6 ]​}
• ${\displaystyle \prec }$、${\displaystyle \to }$再帰的である^{[ 4 ]}

ある点については${\displaystyle x}$多様体において${\displaystyle M}$^{[ 5 ]}を定義する

• 年代順の未来${\displaystyle x}$、と表記される${\displaystyle \,I^{+}(x)}$すべての点の集合として${\displaystyle y}$で${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle x}$時系列的に先行する${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}}$

• 年代順の過去${\displaystyle x}$、と表記される${\displaystyle \,I^{-}(x)}$すべての点の集合として${\displaystyle y}$で${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle y}$時系列的に先行する${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}}$

我々は同様に定義する

• 因果的未来（絶対的未来とも呼ばれる）${\displaystyle x}$、と表記される${\displaystyle \,J^{+}(x)}$すべての点の集合として${\displaystyle y}$で${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle x}$因果的に先行する${\displaystyle y}$:

${\displaystyle \,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}}$

• 因果的過去（絶対的過去とも呼ばれる）${\displaystyle x}$、と表記される${\displaystyle \,J^{-}(x)}$すべての点の集合として${\displaystyle y}$で${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle y}$因果的に先行する${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}}$

• 未来のヌルコーン${\displaystyle x}$すべての点の集合として${\displaystyle y}$で${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle x\to y}$。
• 過去のヌルコーン${\displaystyle x}$すべての点の集合として${\displaystyle y}$で${\displaystyle M}$そのため${\displaystyle y\to x}$。
• 光円錐​${\displaystyle x}$未来と過去のヌルコーンとして${\displaystyle x}$一緒に。^{[ 7 ]}
• それ以外の場所では、光円錐、因果的未来、または因果的過去に含まれない点として扱われる。^{[ 7 ]}

含まれるポイント${\displaystyle \,I^{+}(x)}$例えば、からアクセスできます${\displaystyle x}$未来方向の時間的曲線によって。${\displaystyle x}$例えば、以下の地点から到達できます。${\displaystyle \,J^{-}(x)}$未来方向の非空間的な曲線によって。

ミンコフスキー時空では、${\displaystyle \,I^{+}(x)}$未来の光円錐の内部は${\displaystyle x}$セット${\displaystyle \,J^{+}(x)}$未来の光円錐全体は${\displaystyle x}$円錐自体も含めて。

これらのセット${\displaystyle \,I^{+}(x),I^{-}(x),J^{+}(x),J^{-}(x)}$ すべての${\displaystyle x}$で${\displaystyle M}$これらはまとめて因果構造と呼ばれます。${\displaystyle M}$。

のために${\displaystyle S}$サブセット​​${\displaystyle M}$^{[ 5 ]}を定義する

${\displaystyle I^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)}$

${\displaystyle J^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)}$

のために${\displaystyle S,T}$2 つのサブセット${\displaystyle M}$定義する

• 年代順の未来${\displaystyle S}$相対的に${\displaystyle T}$、${\displaystyle I^{+}[S;T]}$は、${\displaystyle S}$部分多様体として考えられる${\displaystyle T}$これは、とは全く異なる概念であることに注意してください。${\displaystyle I^{+}[S]\cap T}$これにより、点の集合が得られます。${\displaystyle T}$これは、未来方向のタイムライクな曲線によって到達可能であり、${\displaystyle S}$最初のケースでは、曲線は${\displaystyle T}$2番目のケースではそうではない。ホーキングとエリスの論文を参照のこと。
• 因果的未来${\displaystyle S}$相対的に${\displaystyle T}$、${\displaystyle J^{+}[S;T]}$は、の因果的未来である${\displaystyle S}$部分多様体として考えられる${\displaystyle T}$これは、とは全く異なる概念であることに注意してください。${\displaystyle J^{+}[S]\cap T}$これにより、点の集合が得られます。${\displaystyle T}$これは、未来方向の因果曲線によって到達可能であり、${\displaystyle S}$最初のケースでは、曲線は${\displaystyle T}$2番目のケースではそうではない。ホーキングとエリスの論文を参照のこと。
• 未来集合とは、時間的な未来に関して閉じている集合のことである。
• 過去の集合とは、時間的な過去に関して閉じている集合のことである。
• 分解不可能な過去集合（IP）とは、2つの異なる開過去真部分集合の和集合ではない過去集合のことである。
• 過去のある時点と一致しないIP${\displaystyle M}$これは終端分解不可能な過去集合（TIP）と呼ばれます。
• 適切な分解不可能な過去集合（PIP）とは、TIPではないIPのことである。${\displaystyle I^{-}(x)}$は、真の分解不可能な過去集合（PIP）である。
• 将来のコーシー展開${\displaystyle S}$、${\displaystyle D^{+}(S)}$すべての点の集合${\displaystyle x}$過去のあらゆる方向付けられた拡張不可能な因果曲線が${\displaystyle x}$交差する${\displaystyle S}$少なくとも一度は。過去のコーシー展開についても同様です。コーシー展開は、未来と過去のコーシー展開の和集合です。コーシー展開は決定論の研究にとって重要です。
• サブセット${\displaystyle S\subset M}$存在しない場合は非時系列的である${\displaystyle q,r\in S}$そのため${\displaystyle r\in I^{+}(q)}$または同等に、${\displaystyle S}$は${\displaystyle I^{+}[S]}$。

• コーシー曲面は、コーシー展開が${\displaystyle M}$。
• 距離関数がコーシー曲面によって葉層化できる場合、その距離関数は大域的に双曲的であると言う。
• 年代順序違反集合とは、閉じた時間的曲線が通過する点の集合のことである。
• 因果律違反集合とは、閉じた因果曲線が通過する点の集合のことである。
• 因果律違反集合の境界はコーシー地平線である。コーシー地平線が閉じたヌル測地線によって生成される場合、それぞれのヌル測地線には赤方偏移因子が関連付けられる。
• 因果曲線の場合${\displaystyle \gamma }$因果ダイヤモンドは${\displaystyle J^{+}(\gamma (t_{1}))\cap J^{-}(\gamma (t_{2}))}$（ここでは「曲線」をより広い意味で定義しており、曲線は単なる点の集合である）点${\displaystyle \gamma (t_{1})}$因果関係の過去において${\displaystyle \gamma (t_{2})}$言葉で言うと：粒子の世界線の因果ダイヤモンド${\displaystyle \gamma }$は、ある時点の過去に存在するすべてのイベントの集合です。${\displaystyle \gamma }$そして未来のある時点で${\displaystyle \gamma }$離散バージョンでは、因果ダイヤモンドは、接続するすべての因果パスの集合です。${\displaystyle \gamma (t_{2})}$から${\displaystyle \gamma (t_{1})}$。

ペンローズ（1972）の13ページを参照。

• ある点${\displaystyle x}$は${\displaystyle \,I^{-}(y)}$かつその場合に限り${\displaystyle y}$は${\displaystyle \,I^{+}(x)}$。
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]}$
• ${\displaystyle I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]}$
• ホリスモスは、ヌル測地線合同によって生成される。

位相的性質：

• ${\displaystyle I^{\pm }(x)}$すべてのポイントで利用可能です${\displaystyle x}$で${\displaystyle M}$。
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]}$すべてのサブセットに対して開かれている${\displaystyle S\subset M}$。
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]}$すべてのサブセットについて${\displaystyle S\subset M}$。 ここ${\displaystyle {\overline {S}}}$部分集合の閉包である${\displaystyle S}$。
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }[S]}}}$