因果関係の条件

因果条件は、ローレンツ多様体が許容する因果構造の種類に応じて分類したものです。時空の研究では、このような多様体の全体構造に関する数学的定理を証明する上で重要な因果条件の階層が存在します。これらの条件は1970年代後半に収集されました。^{[ 1 ]}

時空における因果律の条件が弱いほど、その時空は非物理的になる。例えば、閉じた時間的曲線を持つ時空は、解釈上の大きな困難を伴う。祖父のパラドックスを参照のこと。

あらゆる物理的な時空は、最も強い因果律条件である大域的双曲性を満たすと考えるのが妥当である。このような時空の場合、一般相対性理論の方程式は、コーシー曲面上の初期値問題として定式化できる。

因果関係の条件には階層があり、それぞれの条件は前の条件よりも厳密に強い。これは「因果関係の梯子」と呼ばれることもある。条件は、弱いものから強いものへと順に以下の通りである。

• 完全に悪質ではない
• 時系列順
• 因果関係
• 区別する
• 強い因果関係
• 安定した因果関係
• 因果的に連続的
• 因果関係が単純
• 全体的に双曲的

ローレンツ多様体に対するこれらの因果条件の定義を以下に示します。${\displaystyle (M,g)}$2つ以上の値が示されている場合は、それらは同等である。

表記法：

• ${\displaystyle p\ll q}$は時間的な関係を表します。
• ${\displaystyle p\prec q}$は因果関係を表します。

（因果構造の定義を参照）${\displaystyle \,I^{+}(x)}$、${\displaystyle \,I^{-}(x)}$そして ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$、${\displaystyle \,J^{-}(x)}$）

• いくつかの点については${\displaystyle p\in M}$我々は持っています${\displaystyle p\not \ll p}$。

• 閉じた時間的（時間的）曲線は存在しない。
• 年代関係は非反射的である。${\displaystyle p\not \ll p}$すべての人々のために${\displaystyle p\in M}$。

• 閉じた因果曲線（非空間的な曲線）は存在しない。
• 両方${\displaystyle p\prec q}$そして${\displaystyle q\prec p}$それから${\displaystyle p=q}$

• すべての地域${\displaystyle U}$の${\displaystyle p\in M}$近隣地域が存在する${\displaystyle V\subset U,p\in V}$いかなる時間的曲線も、そこを二度以上通過することはない。
• すべての地域${\displaystyle U}$の${\displaystyle p\in M}$近隣地域が存在する${\displaystyle V\subset U,p\in V}$それは因果的に凸である${\displaystyle M}$（したがって、${\displaystyle U}$）、つまり各${\displaystyle q,q'}$で${\displaystyle V}$因果曲線${\displaystyle M}$から${\displaystyle q}$に${\displaystyle q'}$完全に含まれていなければならない${\displaystyle U}$。
• アレクサンドロフ位相（すべての点の時系列的な未来と過去によって生成される）は、以下のいずれかの同等の条件を満たす。
  • （a）アレクサンドロフ位相は多様体の位相と等しい。
  • （b）アレクサンドロフ位相はハウスドルフである。

上記で定義した弱い因果律条件のそれぞれについて、計量の任意の小さな摂動によってその条件を破ることができる条件を満たす多様体が存在する。${\displaystyle (M,g)}$以下のいずれかの同等の条件を満たす場合、安定因果関係と呼ばれます。

1. 因果関係は（${\displaystyle C^{0}}$安定: 因果的なローレンツ計量が存在する${\displaystyle g'}$の上${\displaystyle M}$円錐は元のものより厳密に幅が広く、${\displaystyle g}$（つまり、すべての因果ベクトルは${\displaystyle g}$は時間的ベクトルである${\displaystyle g'}$)
2. 時間関数を許容する：連続関数が存在する${\displaystyle t}$これは、因果的（時間的または光的な）曲線上で厳密に増加する。
3. 時間関数を許容する：滑らかな関数が存在する$\displaystyle \tau }$その勾配${\displaystyle \nabla \tau }$時間的であり、過去指向である（特に、$\displaystyle \tau }$（これは時間関数である）。

ホーキング（1969）^{[ 2 ]}は条件1が2を意味することを証明し、ベルナルとサンチェス（2005）^{[ 3 ]}は2が3を意味することを証明したが、条件3が1を意味することは容易に確認できる。詳細な説明、および平滑化の一般的な問題との関連性については、サンチェス^{[ 4 ]を参照のこと。}

時空は、(a) 区別的であり、(b) 時間的未来が${\displaystyle I^{+}(p)}$そして過去${\displaystyle I^{-}(p)}$点によって連続的に変化する${\displaystyle p}$。

この連続性の意味を形式的に表現する方法はいくつかある。そのうちの1つは、${\displaystyle I^{+}}$そして${\displaystyle I^{-}}$多様体からの集合値関数として${\displaystyle M}$セットへ${\displaystyle \mathbb {P} (M)}$部品の${\displaystyle M}$（つまり、${\displaystyle \mathbb {P} (M)}$は、${\displaystyle M}$) 注意してください。${\displaystyle M}$は位相を備え、 は位相を備えている。${\displaystyle \mathbb {P} (M)}$は次のように定義できます。任意のコンパクト${\displaystyle K\subset M}$、のサブセット${\displaystyle M}$交差しない${\displaystyle K}$サブセットを形成する${\displaystyle \mathbb {P} (M)}$はオープンと定義されるため、これらのオープン集合は必要なトポロジーの基底となります。したがって、条件(b)は、マップが${\displaystyle I^{\pm }:M\rightarrow \mathbb {P} (M)}$位相空間上の写像として連続である。^{[ 5 ]}

時空は、次の条件を満たす場合に因果的に単純であると呼ばれます。(a) 因果的であり、(b)${\displaystyle J^{+}(p)}$そして${\displaystyle J^{-}(p)}$すべての地点で閉鎖されています。

ホーキングとエリス（1973）、ビーム、エーリック、イーズリー（1996）^{[ 6 ]} 、その他は従来、強い因果関係の条件を要求していた。しかし、ベルナルとサンチェス（2007） ^{[ 7 ]}の結果を受けて、より単純な因果関係の条件が定義に用いられるようになった。

• ${\displaystyle \,M}$因果関係があり、すべての集合${\displaystyle J^{+}(x)\cap J^{-}(y)}$（ポイントのため）${\displaystyle x,y\in M}$) はコンパクトです。

ロバート・ゲロッチは^{[ 8 ]}、時空が大域的に双曲的であるのは、コーシー面が存在する場合に限ることを示した。${\displaystyle M}$これはつまり次のことを意味します。

• ${\displaystyle M}$位相的に同等である${\displaystyle \mathbb {R} \times \!\,S}$あるコーシー曲面に対して${\displaystyle S.}$（ここ${\displaystyle \mathbb {R} }$（実数直線を表す）。

さらに、ベルナルとサンチェス（2005）によって得られたグローバルな直交分割も認めており、空間と時間をグローバルに区別できることを示している（非常に一意ではない方法で）。

注目すべきは、円錐を狭めると（つまり、元のメトリックが狭くなると）、はしごのすべてのレベルが保持されるということです。${\displaystyle g}$メトリックに置き換えられます${\displaystyle g'}$その因果ベクトルは、${\displaystyle g}$）、ただし因果的連続性と因果的単純性を除く。ガルシア＝パラドとサンチェスが明確な反例で示したとおりである。^{[ 9 ]}

• SW ホーキング、GFR エリス(1973) 『時空の大規模構造』ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-20016-4。
• SW ホーキング、W. イスラエル(1979)。『一般相対性理論：アインシュタイン生誕100周年記念概観』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-22285-0。
• Minguzzi, E.; Sanchez, M. (2006). "時空の因果的階層". arXiv : gr-qc/0609119v1 .