グローバルに双曲的な時空

数理物理学において、大域的双曲性とは、時空多様体（すなわちローレンツ多様体）の因果構造に関する特定の条件である。これは、システムの将来の状態が初期条件によって規定される線形波動伝播理論との類推から双曲的と呼ばれる。（波動演算子の先頭記号は双曲面である。）これはアルバート・アインシュタインの一般相対性理論、そしておそらく他の計量重力理論にも関連する。

グローバル双曲性とは、時空をモデル化するローレンツ多様体に対する2つの基本的な物理的制約から成り、どちらも物理的予測可能性と哲学的決定論に関連している。

ゲロッチ(1970)による基本的な分割定理^{[ 3 ]}は、大域的双曲性とコーシー超曲面の存在との等価性を確立しています。さらに、この超曲面を滑らかで空間的なものとして選択できるという証明 (Bernal と Sánchez、2003) ^{[ 4 ]}により、大域的双曲性はアインシュタイン方程式の適切な初期値定式化の存在に適しています。

これは一般相対性理論における自然かつ本質的な条件と考えられています。任意の初期データが与えられた場合、アインシュタイン方程式には一意の最大グローバル双曲解が存在します。実際、ペンローズ^{[ 5 ]}が提唱した強い宇宙検閲仮説は、宇宙には裸の特異点が存在しないため、宇宙はグローバルに双曲的であると仮定しています。注目すべきことに、グローバルに双曲的な時空はベルナル・サンチェスによるグローバル直交分割^{[ 6 ]}も許容し、時空を異なる空間と時間の成分に分解する堅牢で安定した、非常に非一意的な方法を提供します。

大域的双曲性にはいくつかの同等の定義が存在する。Mを境界のない滑らかで連結な時間指向ローレンツ多様体とする。以下の予備的な定義を行う。

• Mは、少なくとも1つの点が存在し、その点を通過する閉じた時間的曲線が存在しない場合に、非完全悪性である。
• Mが因果的であるのは、閉じた因果曲線を持たない場合である。
• Mは、拡張不可能な因果曲線がコンパクト集合に含まれていない場合、非全拘束的である。この性質は因果関係を意味する。
• Mは、任意の点pと、 pの任意の近傍Uに対して、 Uに含まれるpの因果的に凸な近傍Vが存在する場合に、強い因果性を持つという。ここで、因果的凸性とは、 V内の端点を持つ任意の因果曲線がV内に完全に含まれることを意味する。この性質は、完全な拘束ではないことを意味する。
• M内の任意の点pに対して、${\displaystyle J^{+}(p)}$[resp.${\displaystyle J^{-}(p)}$] は、 pから始まる未来方向 [または過去方向] の連続因果曲線によって到達可能な点の集合です。
• Mの部分集合Sが与えられたとき、Sの依存領域は、 M内のすべての点pの集合であり、 pを通るすべての拡張不可能な因果曲線がSと交差する。
• Mの部分集合Sは、時間的曲線がSと 2 回以上交差しない場合に、非時間的である。
• Mのコーシー曲面とは、依存領域がMである閉じた非時系列集合のことである。

以下の条件は同等である。

1. 時空は因果的であり、M内の任意の点pとqのペアに対して、 pからqへの連続的な未来方向の因果曲線の空間はコンパクトである。$\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}$トポロジー。
2. 時空はコーシー面を持つ。
3. 時空は因果的であり、M内の任意の点pとqのペアに対して、部分集合${\displaystyle J^{+}(p)\cap J^{-}(q)}$コンパクトです。
4. 時空は強い因果律を持ち、ダイヤモンドの閉鎖${\displaystyle J^{+}(p)\cap J^{-}(q)}$コンパクトです。

これらの条件のいずれかが満たされる場合、Mはグローバルに双曲的であると言います。Mが境界を持つ滑らかで連結な時間指向ローレンツ多様体である場合、その内部がグローバルに双曲的であれば、 Mはグローバルに双曲的であると言います。

グローバル双曲性の他の同等の特徴付けでは、ローレンツ距離の概念が用いられる。 ${\displaystyle d(p,q):=\sup _{\gamma }l(\gamma )}$至高者がすべての${\displaystyle C^{1}}$点を結ぶ因果曲線（慣例として、そのような曲線が存在しない場合は d=0 とする）。

• 強い因果関係を持つ時空${\displaystyle d}$は、元の計量の共形クラス内のすべての計量選択に対して有限値をとる。^{[ 7 ]}
• 非完全な監禁時空で、${\displaystyle d}$は、元の計量の共形クラス内のあらゆる計量選択に対して連続である。

共形クラスの観点から同様の特徴付けを以下のように与えることができる。${\displaystyle C^{3}}$ナッシュ型の等長埋め込みを用いたメトリック、すなわち：^{[ 8 ]}ローレンツ・ミンコフスキー時空への等長埋め込みを許容する時空${\displaystyle \mathbb {L} ^{N}(=\mathbb {R} _{1}^{N})}$その共形クラスに属するすべての指標について。

グローバル双曲時空は、因果境界に時間的点が存在しないこと（これらの点が裸の特異点の役割を果たすため）^{[ 9 ]}などによって特徴づけられる。^{[ 10 ]}

上記で述べた最初の形式のグローバル双曲性は、多様体上の波動方程式のコーシー問題の適切性を検討するために、 Leray ^{[ 11 ]によって導入されました。1970 年に Geroch [ 12 ]}は定義 1 と 2 の等価性を証明しました。因果律の代わりに強い因果律を仮定した定義 3 と、最初の 2 つの定義との等価性は、HawkingとEllis ^{[ 13 ]}によって与えられました。

最初の定義では、因果曲線の空間における自然なトポロジーを仮定するだけで、因果性の条件を削除できます^{[ 14 ]}。前述のように、大域的双曲性の3番目の定義では、因果性の条件は、より強い条件である強い因果性に置き換えられます。2007年に、BernalとSánchez ^{[ 15 ]}は、強い因果性の条件を因果性に置き換えることができることを示しました。特に、3で定義された任意の大域的双曲多様体は、強い因果性を持っています。その後、HounnonkpeとMinguzzi ^{[ 16 ]}は、かなり妥当な時空、より正確には、非コンパクトまたは非完全に悪質な3次元より大きい時空については、「因果性」条件も定義3から削除できることを証明しました。

定義3では、集合は${\displaystyle J^{+}(p)\cap J^{-}(q)}$コンパクトであることが求められます。しかし、BeemとEhrlich ^{[ 17 ]}は、当時標準的な仮説であった強い因果律の下では、閉包のコンパクト性で十分であることを証明しました。Minguzziは2009年に^{[ 18 ]、}これらの閉包はコンパクトであり、時空は完全に閉じ込められるものではないという定義を提案しました。分裂と安定性に関するその他の特性は、Gerochの分裂定理に関連して見ることができます。

2003年、ベルナルとサンチェス^{[ 19 ]}は、任意のグローバル双曲多様体Mには滑らかな埋め込み3次元コーシー曲面が存在し、さらにMの任意の2つのコーシー曲面は微分同相であることを示した。特に、Mはコーシー曲面ととの積に微分同相である。${\displaystyle \mathbb {R} }$以前は、大域双曲多様体の任意のコーシー面は埋め込み $C^{0}$ 超曲面であり、その任意の 2 つは同相であり、多様体は位相的にコーシー面と の積として分割されることがよく知られていた。${\displaystyle \mathbb {R} }$（ゲロッチ、1970 ^{[ 20 ]}）。特に、大域的に双曲的な多様体は、空間的なコーシー面によって葉層化される。

アインシュタイン方程式の初期値定式化を考慮すると、一般相対性理論の文脈において、大域的双曲性は非常に自然な条件であることがわかる。つまり、任意の初期データが与えられた場合、アインシュタイン方程式には唯一の最大大域的双曲解が存在する。

時空に時間的境界を追加することは、いくつかの物理的および数学的文脈において非常に興味深い。たとえば、境界は、反ド・ジッター（AdS）時空や漸近的にAdS空間の場合のように、無限遠における共形境界を表す可能性がある。あるいは、有限領域内に特定の物理システムを分離するためのカットオフとして機能する可能性がある。これらの構造は文献で定期的に取り上げられてきたが（例：Solís、2006）、^{[ 21 ]}大域的に双曲的な場合の体系的な研究は、Aké、Flores、およびSánchez（2021）によって行われた。^{[ 22 ]}

これらの著者らは、時間的境界を持つ大域的双曲時空を、境界を持つ滑らかなローレンツ多様体として定義した。${\displaystyle ({\bar {M}}=M\cup \partial M,g)}$すなわち、以下の通りである。

1. 境界によって継承されるメトリック${\displaystyle \partial M}$ローレンツ型（つまり、${\displaystyle \partial M}$（時間的）であり、
2. 時空は、コンパクトな交点を持つ因果関係という自然な性質を満たす。${\displaystyle J^{+}(p)\cap J^{-}(q)}$これらの条件は、接触したり、部分的または完全に含まれたりする可能性のある因果曲線を使用して検証する必要があります。${\displaystyle \partial M}$[ ^{23 ]​}

グローバルに双曲的な時間的境界を持つ時空は、境界がない場合を裸の特異点の存在に拡張するグローバルな幾何学的特性を示し、その中には以下のようなものがある。

• 境界が${\displaystyle \partial M}$空でないならば、それは内部のむき出しの特異点と同一視できる。${\displaystyle M}$。 したがって、${\displaystyle M}$は本質的にグローバルに双曲的ではないが、常に因果的に連続である。さらに、${\displaystyle M}$境界が因果的に単純であるのは、${\displaystyle \partial M}$光のような方向に凸である。^{[ 24 ]}
• 大域的双曲性とは、コーシー超曲面（境界を持つ）の存在と同値である。${\displaystyle \partial S}$さらに、この場合、ベルナル・サンチェス大域直交分割も得られる。

要約すると、この定義は、古典的な大域的双曲性の概念を、「情報」が境界に到達したり境界から出現したりする可能性のある多様体に拡張するものである。この枠組みでは、コーシー超曲面の存在は、${\displaystyle S}$再び中心となるが、追加要件として${\displaystyle S}$境界線を満たさなければならない${\displaystyle \partial M}$。

• 因果関係の条件
• 因果構造
• 光円錐

• ホーキング、SW; エリス、GFR (1973).時空の大規模構造. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-09906-4。
• Wald, RM (1984).一般相対性理論. シカゴ:シカゴ大学出版局. ISBN 0-226-87033-2。