ヌル無限

理論物理学では、ヌル無限大は漸近的に平坦な時空の境界にある領域である。一般相対性理論では、測地線と呼ばれる時空内の直線経路は、空間的、時間的、または光的（ヌルとも呼ばれる）である。これらの経路の区別は、経路の時空間隔が正（空間的に対応）、負（時間的に対応）、またはゼロ（ヌルに対応）であるかどうかによって生じる。光のような経路は、電磁放射や重力放射など、光速で空間を伝播する物理現象に物理的に対応している。平坦な時空の境界は共形無限大と呼ばれ、すべての測地線が無限大に向かう際の終点と考えることができる。^{[1]ヌル無限大の領域は、平坦な}ミンコフスキー空間内のすべてのヌル測地線の終端に対応する。共形無限大のさまざまな領域は、ほとんどの場合、ペンローズ図上で視覚化され、図の境界を構成します。過去と未来のヌル無限大と呼ばれる2つの異なるヌル無限大領域があり、スクリプト「I」を使用して、およびとして表記できます。これらの2つの領域は、それぞれ「scri-plus」と「scri-minus」と呼ばれることがよくあります。^[2] 幾何学的には、これらの領域はそれぞれ、位相的に円筒形の3次元領域の構造を実際に持っています。 ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{+}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}^{-}}$

ヌル無限大の研究は、時空のグローバルな特性を記述する必要性から始まりました。一般相対性理論の初期の方法は、ローカルな参照フレームを中心に構築されたローカルな構造に焦点を当てていましたが、1960 年代に始まった研究は、一般相対性理論のグローバルな記述を分析し、時空全体の構造を解析し始めました。^[3]ヌル無限大の最初の研究は、ロジャー・ペンローズによるブラックホール時空を解析する研究に端を発しています。^[4]ヌル無限大は、ヌルパスの限界を取る必要がある場合に、漸近的に平坦な空間での挙動を解析するための便利な数学的ツールです。たとえば、ブラックホール時空は漸近的に平坦であり、ヌル無限大は、ブラックホールから外側に向かって移動する限界での放射を特徴付けるために使用できます。^[5]ヌル無限大は、FLRW 宇宙論など、必ずしも漸近的に平坦ではない時空のコンテキストでも考慮できます。^[2]

球座標における平坦なミンコフスキー時空の計量は である。共形コンパクト化は、角度を保存する変換を誘導するが、計量の局所構造を変更し、多様体の境界を追加して、計量をコンパクトにする。[ ^6]与えられた計量 に対して、共形コンパクト化は、計量全体を何らかの共形因子でスケーリングし、無限遠にあるすべての点が有限値に縮小されるようにする。^[3]通常、動径座標と時間座標はヌル座標とに変換される。次に、逆正接関数の特性を使用して無限遠を有限値にマッピングするために、これらを および に変換します。[ ^2]一般的な時間座標と空間座標は、 および として導入される場合があります 。これらの座標変換の後、共形因子が導入され、ミンコフスキー空間の新しい非物理的な計量につながります。^[7]${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2}}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle {\overline {g_{ij}}}=\オメガ ^{2}g_{ij}}$${\displaystyle u=t+r}$${\displaystyle v=tr}$${\displaystyle p=\tan ^{-1}u}$${\displaystyle q=\tan ^{-1}v}$${\displaystyle T=p+q}$${\displaystyle R=pq}$

${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+dR^{2}+(\sin^{2}R)d\Omega^{2}}$。

これは、ペンローズ図上の計量です。元の計量とは異なり、この計量は、およびの制限によって与えられる境界を持つ多様体を記述します。この境界には、過去と未来のヌル無限大に対応する 2 つのヌル面があります。具体的には、未来のヌル無限大は および のすべての点から構成され、過去のヌル無限大はおよび の すべての点から構成されます。^[2]${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T=\pi -R}$${\displaystyle 0<R<\pi }$${\displaystyle T=R-\pi }$${\displaystyle 0<R<\pi }$

座標制約から、ヌル無限大は円筒形の位相を持つ3次元のヌル面である。^{[1] [8]}${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{2}}$

ここで示した構成は、ミンコフスキー空間の平坦な計量に特有のものである。しかし、このような構成は他の漸近的に平坦な空間にも一般化される。このようなシナリオでは、ヌル無限大は依然として時空多様体の境界における 3 次元ヌル面として存在するが、多様体の全体的な構造は異なる可能性がある。たとえば、ミンコフスキー空間では、すべてのヌル測地線は過去のヌル無限大で始まり、未来のヌル無限大で終わる。しかし、シュワルツシルトブラック ホール時空では、ブラック ホールの事象の地平線によって 2 つの可能性が生じる。測地線はヌル無限大で終わる可能性もあるが、ブラック ホールの未来の特異点で終わる可能性もある。ヌル無限大の存在 (および他の共形無限大の領域) は、すべての測地線が真の特異点で終わるか、無限大の境界と交差する、時空多様体上の測地線完成を保証する。^[7]

ヌル無限大の対称性は、時空の典型的な領域の対称性とは特徴的に異なります。平坦なミンコフスキー時空の対称性はポアンカレ群によって与えられますが、ヌル無限大の対称性はボンディ・メッツナー・サックス（BMS）群によって与えられます。^{[9] [10]}ボンディ、メッツナー、サックスによる研究では、ヌル無限大に関連する解析を使用して重力放射を特徴付けましたが、ADMフレームワークなどの以前の研究では、時空的無限大の特徴付けを扱っていました。^[8]近年、境界ヌル無限大上の重力子の研究への関心が高まっています。 ^{[8] [11]} BMS群を使用すると、ヌル無限大上の量子は質量のないスピン2粒子として特徴付けることができ、一般相対性理論の量子が重力子であることと一致しています。^[8]