正則関数計算

このセクションでは、Tは複素数要素を持つn  × n行列であると仮定します。 

与えられた関数fが特定の特殊なタイプである場合、 f ( T )を定義する自然な方法があります。たとえば、

${\displaystyle p(z)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}z^{i}}$

は複素多項式なので、単にT をzに置き換えて定義すればよい。

${\displaystyle p(T)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}T^{i}}$

ここで、 T ⁰ = Iは単位行列です。これは多項式関数計算です。これは、多項式の環からn × n行列の環への準同型写像です。

多項式から少し拡張すると、f  : C → Cが至るところで正則、つまり整関数である場合、マクローリン級数は

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i},}$

多項式の場合を模倣すると、次のように定義できる。

${\displaystyle f(T)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}.}$

マクローリン級数は至るところで収束するため、上記の級数は選択された作用素ノルムで収束します。その例として、行列の指数関数が挙げられます。f ( z ) = e ^zのマクローリン級数でz をTに置き換えると、次のようになります。

${\displaystyle f(T)=e^{T}=I+T+{\frac {T^{2}}{2!}}+{\frac {T^{3}}{3!}}+\cdots .}$

fのマクローリン級数が至るところで収束するという要件は、いくらか緩和できる。上記から明らかなように、マクローリン級数の収束半径がTの作用素ノルムǁ T ǁ より大きいことだけが必要である。これにより、上記のアプローチを用いてf ( T ) を定義できるfの族がいくらか拡大する。しかし、これは完全に満足のいくものではない。例えば、行列理論では、すべての非特異行列Tはe ^S = Tの意味で対数Sを持つことが知られている。非特異行列Tに対して、ln( T ) がSと一致するように定義できるような関数計算が望ましい。これは、例えば対数級数のようなべき級数では実現できない。

${\displaystyle \ln(z+1)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots ,}$

開単位円盤上でのみ収束する。級数においてzをTに代入しても、ǁ T ǁ ≥ 1を満たす可逆なT + Iに対してln( T  + I )の明確な式は得られない。したがって、より一般的な関数計算が必要となる。   

f ( T )が意味を持つための必要条件は、fがTのスペクトル上で定義されていることであると予想される。例えば、正規行列のスペクトル定理によれば、すべての正規行列はユニタリ対角化可能である。これにより、 Tが正規行列である場合にf ( T )が定義される。Tのある固有値λに対してf (λ)が定義されていない場合、困難が生じる。

他の兆候も、 f ( T )はTのスペクトル上でfが定義されている場合にのみ定義できるという考えを裏付けています。Tが可逆でない場合、（Tはn×n行列であることを思い出すと）0は固有値です。自然対数は0で定義されていないため、ln( T )は自然には定義できないと予想されます。実際その通りです。別の例として、

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-2)(z-5)}}}$

f ( T )を計算する妥当な方法は次のとおりと思われる。

${\displaystyle f(T)=(T-2I)^{-1}(T-5I)^{-1}.\,}$

しかし、右辺の逆関数が存在しない場合、つまり、2または5のいずれかがTの固有値である場合、この式は定義されません。

与えられた行列Tに対して、 Tの固有値はf ( T ) がどの程度定義できるかを決定します。つまり、f (λ) はTのすべての固有値 λ に対して定義されなければなりません。一般的な有界作用素の場合、この条件は「f はTのスペクトル上で定義されなければならない」ということになります。この仮定は、関数計算写像f → f ( T ) が望ましい特性を持つための前提条件であることがわかります。

ボフナー積分を参照。

Γ の開近傍で定義され、L ( X ) の値をとる連続関数gに対して、経路積分 ∫ _Γ g はスカラーの場合と同様に定義されます。各 γ _i ∈ Γ を実数区間 [ a , b ] でパラメータ化することができ、積分は [ a , b ]のより細かい分割から得られるリーマン和の極限です。リーマン和は一様作用素位相で収束します。

$\displaystyle \int _{\Gamma }g=\sum \nolimits _{i}\int _{\gamma _{i}}g.}$

関数計算の定義では、fは Γ の開近傍で正則であると仮定される。以下に示すように、レゾルベント写像はレゾルベント集合上で正則である。したがって、積分は

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta }$

なるほど。

写像 ζ → (ζ− T ) ^−1はTのレゾルベント写像と呼ばれます。これは σ( T )の補集合上で定義され、Tのレゾルベント集合と呼ばれ、ρ( T )で表されます。

古典関数論の多くは積分の性質に依存している

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}.}$

正則関数計算も同様に、レゾルベント写像が、優れた関数計算に求められる性質を得る上で重要な役割を果たします。この節では、この文脈において不可欠なレゾルベント写像の性質について概説します。

これまでの議論で、積分が意味を成すこと、すなわち、各関数fに対して適切なジョルダン曲線の集合 Γ が存在し、積分が適切な意味で収束することが示されました。しかし、関数解析の定義が曖昧さを持たず、Γ の選択に依存しないことは示されていませんでした。本稿では、この問題を解決しようと試みます。

これまで、この仮定の持つ力は十分に活用されてこなかった。積分の収束性については、連続性のみが用いられた。定義可能性については、fが開集合U上で正則であれば十分であったが、Uは経路Γ ∪ Ω′を含み、σ( T )を含む必要はなかった。関数解析の準同型性を示す際には、この仮定が全面的に適用される。

写像f ↦ f ( T ) の線形性は、積分の収束と、バナッハ空間上の線形演算が連続であることから導かれる。

f ( z ) = Σ _{0 ≤ i ≤ m} a _i z ⁱが多項式である場合、多項式関数計算を復元します。これを証明するには、 k ≥ 0 かつf ( z ) = z ^kに対して、 f ( T ) = T ^kが真であることを示すだけで十分です。

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {\zeta ^{k}}{\zeta -T}}\,d\zeta =T^{k}}$

σ( T )を囲む任意の適切なΓに対して、ΓをTの演算子ノルムよりも半径の大きい円として選択する。上述のように、そのようなΓ上では、レゾルベント写像はべき級数表現を許容する。

${\displaystyle (z-T)^{-1}={\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {T}{z}}\right)^{n}.}$

代入すると

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }\left(\sum _{n\geq 0}{\frac {T^{n}}{\zeta ^{n+1-k}}}\right)\,d\zeta }$

それは

${\displaystyle \sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot {\frac {1}{2\pi i}}\left(\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta ^{n+1-k}}}\right)=\sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot \delta _{nk}=T^{k}.}$

δはクロネッカーのデルタ記号です。

適切な仮定を満たす任意のf ₁およびf ₂に対して、準同型性は次のようになる。

${\displaystyle f_{1}(T)f_{2}(T)=(f_{1}\cdot f_{2})(T).\,}$

最初のレゾルベント公式とfに課せられた仮定を用いる議論の概要を説明します。まず、Γ _1がΓ _2の内部にあるようなジョルダン曲線を選択します。その理由は後ほど明らかになります。まず、直接計算することから始めます。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&=\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right)\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\,d\omega \right)\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )}{(\zeta -T)(\omega -T)}}\;d\omega \,d\zeta \\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )\left({\frac {(\zeta -T)^{-1}-(\omega -T)^{-1}}{\omega -\zeta }}\right)d\omega \,d\zeta &&{\text{First Resolvent Formula}}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\left\{\left(\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \right)-\left(\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\left[\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\omega -\zeta }}d\zeta \right]d\omega \right)\right\}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \end{aligned}}}$

最後の行は、ω ∈ Γ _{2が Γ 1}の外側にあり、f _{1 がσ(} T )のある開近傍で正則であることから導かれ、したがって第 2 項は消滅する。したがって、次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[f_{2}(\zeta )\right]d\zeta &&{\text{Cauchy's Integral Formula}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \\&=(f_{1}\cdot f_{2})(T)\end{aligned}}}$

G ⊂ Cを σ( T ) ⊂ Gを満たす開集合とする。G上の正則関数列 { f _k } がGのコンパクト部分集合上で一様収束すると仮定する(これはコンパクト収束と呼ばれることもある)。このとき、{ f k ₍ T ) } はL ( X )において収束する。

簡略化のため、Γは1つのジョルダン曲線のみで構成されていると仮定する。我々は推定する。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|f_{k}(T)-f_{l}(T)\right\|&={\frac {1}{2\pi }}\left\|\int _{\Gamma }{\frac {(f_{k}-f_{l})(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right\|\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left|(f_{k}-f_{l})(\zeta )\right|\cdot \left\|(\zeta -T)^{-1}\right\|d\zeta \end{aligned}}}$

一様収束の仮定と様々な連続性の考察を組み合わせると、 k , l → ∞のとき、上記は 0 に収束することがわかります。したがって、{ f _k ( T )} はコーシーであり、収束します。

要約すると、正則関数計算f → f ( T ) は以下の性質を持つことを示しました。

1. これは多項式関数解析を拡張したものである。
2. これは、σ( T )の近傍で定義された正則関数の代数からL ( X )への代数準同型写像です。
3. これはコンパクト集合上での一様収束性を維持する。

上記の性質を満たす微積分は一意であることが証明できる。

これまで議論してきたことはすべて、有界作用素の族L ( X ) をバナッハ環Aに置き換えた場合でもそのまま成り立つことに注意してください。関数計算は、 Aの要素に対してまったく同じように定義できます。

スペクトル写像定理は多項式関数計算において成り立つことが知られています。任意の多項式pに対して、σ ( p ( T )) = p ( σ ( T )) が成り立ちます。これは正則関数計算にも拡張できます。f ( σ ( T )) ⊂ σ ( f ( T )) を示すために、μ を任意の複素数とします。複素解析の結果により、 σ ( T )の近傍で正則な関数gが存在し、

${\displaystyle f(z)-f(\mu )=(z-\mu )g(z).\,}$

準同型性によれば、f ( T )  − f ( μ ) = ( T − μ ) g ( T ) である。したがって、μ ∈ σ ( T ) はf ( μ ) ∈ σ ( f ( T ) ) を意味する。   

もう一方の包含関係では、μがf ( σ ( T ))に含まれない場合、関数計算は以下に適用できます。

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-\mu }}.}$

したがって、 g ( T )( f ( T ) − μ ) = Iとなります。したがって、μ はσ ( f ( T )に含まれません。

基本的な考え方は次のとおりです。Kをσ ( T )の部分集合とし、UとVをそれぞれKとσ ( T )  \ Kの互いに素な近傍とします。z ∈ Uの場合、e ( z ) = 1、z ∈ Vの場合、 e ( z ) = 0と定義します。すると、eは [ e ( z )] ² = e ( z )を満たす正則関数となり、 U ∪ V内にあり σ ( T ) を囲む適切な経路 Γ に対して、線形演算子は 

${\displaystyle e(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {e(z)}{z-T}}\,dz}$

これはTと可換な有界射影であり、非常に多くの有用な情報を提供する。

このシナリオは、 σ ( T )上の部分空間トポロジーにおいてK が開集合かつ閉集合である場合に限り可能であることが明らかになった。さらに、集合V は、 e がゼロであるため積分に寄与しないので、安全に無視できる。射影e ( T ) は、 KにおけるTのスペクトル射影と呼ばれ、 P ( K ; T )で表される。したがって、部分空間トポロジーにおいて開集合かつ閉集合であるσ ( T )のすべての部分集合Kには、次のスペクトル射影が関連付けられている。

${\displaystyle P(K;T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {dz}{z-T}}}$

ここでΓはKを囲む輪郭線であり、σ( T )の他の点を囲む輪郭線ではない。

P = P ( K ; T ) は有界であり、Tと可換であるため、T はU ⊕ V の形式で表現できます。ここで、U = T | _PXおよびV = T | _{(1− P ) X}です。PXと (1 − P ) X はどちらもTの不変部分空間であり、さらにσ ( U ) = Kおよびσ ( V ) = σ ( T ) \ Kです。重要な性質は相互直交性です。Lがσ ( T )上の部分空間位相における別の開集合および閉集合である場合、 P ( K ; T ) P ( L ; T ) = P ( L ; T ) P ( K ; T ) = P ( K ∩ L ; T ) となり、 KとLが互いに素な場合は常にゼロになります。    

スペクトル射影には数多くの応用例があります。σ( T )の任意の孤立点は、部分空間トポロジーにおいて開かつ閉であるため、対応するスペクトル射影を持ちます。X が有限次元の場合、σ ( T ) は孤立点から構成され、結果として得られるスペクトル射影は、同じ固有値に対応するすべてのジョルダンブロックが統合されたジョルダン標準形の変形をもたらします。言い換えれば、異なる固有値ごとに正確に 1 つのブロックが存在します。次のセクションでは、この分解についてさらに詳しく検討します。

スペクトル射影は、親演算子から特性を継承することがあります。たとえば、Tがスペクトル半径rの正の行列である場合、ペロン・フロベニウスの定理はr ∈ σ ( T ) であると主張します。関連するスペクトル射影P = P ( r ; T ) も正であり、相互直交性により、他のスペクトル射影は正の行または列を持つことができません。実際、TP = rPであり、 ⁿ → ∞ のとき ( T / r ) n → Pとなるため、この射影P (ペロン射影と呼ばれます) はnが増加するにつれて( T / r ) ⁿを近似し、その各列はTの固有ベクトルです。 

より一般的には、Tがコンパクト作用素である場合、σ( T )のすべての非ゼロ点は孤立しており、それらの任意の有限部分集合を使用してT を分解できます。関連するスペクトル射影は常に有限ランクを持ちます。同様のスペクトル特性を持つL ( X )の作用素は、リース作用素と​​して知られています。多くのクラスのリース作用素 (コンパクト作用素を含む) はL ( X ) のイデアルであり、研究のための豊かな分野を提供します。ただし、Xがヒルベルト空間である場合、リース作用素と​​有限ランクの作用素の間にちょうど 1 つの閉じたイデアルが挟まれています。

前述の議論の多くは、より一般的な複素バナッハ環の文脈で捉えることができる。ここでは、スペクトル射影はスペクトル冪等元と呼ばれる。なぜなら、それらが射影される空間がもはや存在しない可能性があるからである。

スペクトルσ ( T ) が連結でない場合、関数計算を用いてX をTの不変部分空間に分解することができる。σ ( T ) を互いに素な和集合とする。

${\displaystyle \sigma (T)=\bigcup _{i=1}^{m}F_{i}.}$

e _{i を、}成分F _iのみを含むある近傍で 1 とし、それ以外の場所では 0 と定義します。準同型性により、e _i ( T ) はすべてのiに対する射影です。実際には、これは上述のスペクトル射影P ( F _i ; T ) に他なりません。関係e _i ( T ) T = T e _i ( T ) は、各e _i ( T )の値域X _iがTの不変部分空間であることを意味します。

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}(T)=I,\,}$

Xは、以下の相補的な部分空間を用いて表現できる。

${\displaystyle X=\sum _{i}X_{i}.\,}$

同様に、T _iがX _iに制限されたTである場合、

${\displaystyle T=\sum _{i}T_{i}.\,}$

直和を考える

${\displaystyle X'=\bigoplus _{i}X_{i}.}$

標準では

${\displaystyle \left\|\bigoplus _{i}x_{i}\right\|=\sum _{i}\|x_{i}\|,}$

X'はバナッハ空間である。写像R : X' → Xは次のように定義される。

${\displaystyle R\left(\bigoplus _{i}x_{i}\right)=\sum _{i}x_{i}}$

これはバナッハ空間同型写像であり、

${\displaystyle RTR^{-1}=\bigoplus _{i}T_{i}.}$

これはTのブロック対角化と見なすことができる。

Xが有限次元の場合、 σ ( T ) = { λi _}は複素平面上の有限個の点の集合です。スペクトルからλiのみを含む開円盤上でeiを1とします。対応するブロック対角行列は次_のようになります_。

${\displaystyle \bigoplus _{i}T_{i}}$

はTのジョルダン標準形です。

正則関数計算は、空でないレゾルベント集合を持つ非有界閉作用素に対しても同様の方法で定義できる。