ボルダカウント

ボルダ方式または功績順位は、各候補者に、その下位にランクされている候補者の数に等しいポイントを与える順位投票ルールです。最下位の候補者は 0 ポイント、2 番目に下位の候補者は 1 ポイントというように付与されます。すべての投票が集計されると、最も多くのポイントを獲得した選択肢または候補者が勝者となります。

ボルダ数は何度か独立して開発され、最初に1435年にニコラウス・クザーヌスによって提案されました（下記の歴史を参照）^{[1] [2] [注 1]}が、 1770年にこのシステムを考案した18世紀フランスの数学者で海軍技術者のジャン＝シャルル・ド・ボルダにちなんで名付けられました。 ^[3]

ボルダカウントは、その理論的な特性と操作の容易さの両方から、社会選択理論ではよく知られています。戦略的投票と戦略的指名がない場合、ボルダカウントは、（多数派の好みに一貫して従うのではなく）広く受け入れられる選択肢や候補者を選出する傾向があります。^[4]投票と指名の両方のパターンが完全にランダムである場合、ボルダカウントは通常、非常に高い社会的効用効率を持ちます。^[5]しかし、この方法は、類似した候補者が密集している場合、スポイラー効果に対して非常に脆弱です。 ^[5]特に、一部の実装では、同順位または切り捨てられた投票の扱いが、七面鳥を育てる戦略を奨励する可能性があります。^{[6] [7]}

さらに、ボルダカウント法は、少数派の投票ブロックがヘアクォータと同等であったとしても、必ずしも少数派の代表を生み出すわけではありません。これは、1902年にクリーブランドのLBタッカーマンが同様の方法を提唱したときに注目されました。^[8]

伝統的なボルダ方式は現在、スロベニアの国民議会の少数民族議員2名の選出に使用されているほか、^[7]アイスランドの議会選挙で政党名簿の議席にどの候補者が選出されるかを決定するために修正された形で使用されている^[要出典]。また、キリバスでは大統領選挙の候補者を選出するために使用されている^[9]。ダウダル方式として知られる変種は、ナウルの国会議員の選出に使用されている^{[10] 。1970年代初頭まで、フィンランドでは政党名簿内の個々の候補者を選出するために別の変種が使用されていた[要出典]}。この方法は、世界中のさまざまな民間組織やコンテストでも広く使用されている。

クォータ・ボルダ制度は、比例複数勝者制度の一種です。

ボルダカウントは順位付け投票システムです。投票者は候補者のリストを好みの順に順位付けします。つまり、たとえば、投票者は最も好ましい候補者に1 を、2 番目に好ましい候補者に2 を、というように順位付けします。この点では、即時決選投票、単記移譲式投票、コンドルセ方式などの他の順位付け投票システムと似ています。候補者を評価するための整数値の順位付けは、大数の法則に基づく確率モデルを使用したラプラスによって正当化されました。

ボルダカウントは位置投票システムに分類されます。つまり、すべての優先順位がカウントされますが、値は異なります。もう 1 つの一般的な位置投票システムは、最上位の候補者に 1 ポイントのみを割り当てる多数決投票です。

各候補者には、各投票から、その候補者を優先する候補者の数に等しい数のポイントが割り当てられます。つまり、候補者がn人いる場合、各候補者は第一優先でn – 1ポイント、第二優先でn – 2ポイントというように割り当てられます。^[11]勝者は、合計ポイント数が最も多い候補者です。たとえば、4人の候補者がいる選挙では、有権者が1枚の投票用紙で表明した優先権に割り当てられるポイント数は、次のようになります。

3 人の有権者U、V、Wがいて、UとVが候補者を ABCD の順序でランク付けし、W がBCDA の順序でランク付けしているとします。

こうしてブライアンが選出されました。

テネシー州の州都を選出する架空の選挙に基づいた、より長い例を以下に示します。

コンドルセは、選挙を推定値を組み合わせる試みとみなした。各候補者には能力値があり、各投票者は各候補者の価値についてノイズの多い推定値を持っていると仮定する。投票用紙は、投票者が推定能力順に候補者をランク付けすることを可能にする。選挙の目的は、最善の候補者の総合的な推定値を作成することである。このような推定値は、個々の構成要素よりも信頼性が高い可能性がある。^[12]

ペイトン・ヤングは、ボルダカウントが最有力候補者のほぼ最大尤度推定値を与えることを示した。 ^[5]彼の定理は、誤差は独立していると仮定している。言い換えれば、投票者が特定の候補者を高く評価した場合、その投票者が「類似の」候補者を高く評価することを期待する理由はない。この特性がない場合、つまり、投票者が共通の属性を持つ候補者に相関的な順位付けをした場合、最大尤度特性は失われ、ボルダカウントは指名効果に大きく左右される。つまり、投票用紙に類似した候補者がいる場合、候補者が当選する可能性が高くなる。

ボルダカウントは、投票者がスペクトル上に位置している場合でも、考慮に入れられない候補者の存在によって特に歪みが生じやすい。コンドルセ基準を満たす投票システムは、中央投票者定理も自動的に満たすため、この弱点から保護される。中央投票者定理とは、他のどの候補者が立候補しているかに関係なく、選挙の勝者は中央投票者が好む候補者になるというものである。

スペクトル上の位置が 0、1、...、10 と表記できる 11 人の有権者がいるとします。また、Andrew と Brian という 2 人の候補者がいるとします。候補者の位置は次のようになります。

中間層の投票者であるマーリーンは 5 位で、両方の候補者が彼女の右側にいるので、A が選出されると予想されます。ボルダ システムでは、カウントを示す表を作成することでこれを検証できます。表の主要部分には、行と列の見出しで示されるように、最初の候補者を 2 番目の候補者より好む投票者が表示され、右側の追加の列には最初の候補者のスコアが表示されます。

確かにAが選出されました。

しかし、今度はさらに右寄りの 2 人の候補者が選挙に参加すると仮定します。

カウントテーブルは次のように展開されます。

2人のダミー候補者の立候補により、Bが選挙に勝つことができる。同様の例から、コンドルセ侯爵は、ボルダカウントは「無関係な要素に頼って判断を下す」ため「間違いを犯すのは必然」であると主張した。^[10]

公式化された投票システムの基準がいくつかあり、その結果は次の表にまとめられています。

シミュレーションによれば、戦略的投票がなく、すべての候補者を順位付けした投票の場合、コンドルセの勝者が存在する場合、ボルダはコンドルセの勝者を選ぶ可能性が高いことが示されています。^{[1] [10]}

同順位の候補者を扱う方法はいくつか提案されています。それらは、前述の 4 人の候補者による選挙で説明できます。

• 伝統的なボルダ: ボルダの当初の提案では、同点の各候補者に最低ポイントが与えられました。したがって、投票者がアンドリューを第一候補、ブライアンを第二候補とし、キャサリンとデイビッドを順位付けしない場合、アンドリューは 3 ポイント、ブライアンは 2 ポイント、キャサリンとデイビッドは 0 ポイントを獲得します。これは、ナロディツカとウォルシュが「切り上げ」と呼ぶ例です。
• トーナメント・ボルダ:各候補者は、同点の候補者ごとに0.5ポイント、さらに、自分がより好まれている候補者ごとに1ポイントを獲得する。この例では、投票者がアンドリューとブライアンのどちらにも関心がなく、両者をキャサリンより、キャサリンをデイビッドより好んでいると仮定する。この場合、アンドリューとブライアンはそれぞれ2 1⁄2ポイント、キャサリンは1ポイント、デイビッドは0ポイントを獲得する。これは、ナロディツカとウォルシュによって「平均化」と呼ばれている。^[13]
• 修正ボルダ法: 投票者のランキングの最後でのみ同点が認められます。ランキングされていない候補者にはポイントが与えられず、ランキングされた候補者の中で最も好まれていない候補者には 1 ポイントが与えられます。つまり、投票者がアンドリューをブライアンより上位にランク付けし、他の候補者をランキングしない場合、アンドリューは 2 ポイント、ブライアンは 1 ポイント、キャサリンとデビッドは 0 ポイントを受け取ります。これは「切り捨て」に相当します。投票用紙上で最も好まれている候補者は、ランキングされていない候補者の数に応じて異なるポイントを受け取ります。

修正ボルダ法とトーナメントボルダ法、および同順位を認めないボルダ法は、戦略的投票に対して悲惨な結果をもたらすことでよく知られており、この反応はターキー選挙と呼ばれている。^[6]フランス科学アカデミー（ボルダも会員だった）はボルダのシステムを実験したが、一部には「投票者がボルダルールを操作する方法を発見した」という理由で放棄した。^[14]ボルダカウントにおける戦略的操作の問題に対して、ボルダ氏は次のように述べた。^{[15] [14] [16]}

現状を精査し、真実を精査してください。
私の計画は正直な男性のみを対象としています。

切り捨てボルダルールは廃止されたが、伝統的またはトーナメント方式の投票に比べると、戦略的投票に対する反応は大幅に緩和されている。戦略的投票は比較的穏やかな弾丸投票で構成されており、潜在的な無差別選挙を生み出すのではなく、多数決と正直なボルダカウントの中間のような行動をとるだけである。この形式のルールを採用しているスロベニアでは、約42％の有権者が第2希望をランク付けしている。^[17]

ボルダ投票の一部の実装では、投票者が投票用紙を特定の長さに切り捨てる必要があります。

• キリバスでは、伝統的なボルダ方式を採用した変形が採用されているが、立候補している候補者の数に関係なく、有権者は4人の候補者のみを順位付けする。^[18]
• トーストマスターズインターナショナルでは、スピーチコンテストは、上位3位の候補者に対して3、2、1の切り捨て採点方式で採点されます。同点の場合は、同点がない限り無視される特別投票によって決着が付けられます。^[19]

ボルダが考案したシステムは、勝者が 1 人の選挙で使用することを想定していたが、最も多くのポイントを獲得した候補者の希望数を勝者とみなすことで、複数の勝者でボルダ カウントを行うことも可能である。つまり、2 つの議席を埋める必要がある場合は、最もポイントを獲得した 2 人の候補者が勝利し、3 議席の選挙の場合は、最もポイントを獲得した 3 人の候補者が勝利する、という具合である。ボルダ カウントの複数議席版を使用するナウルでは、2 議席と 4 議席の議会選挙区が使用されている。

クォータボルダ システムは、ボルダ カウントを使用する複数議席の選挙区における比例代表制です。クリス ゲラーの STV-B は、投票数クォータを使用して選挙を行いますが、ボルダ スコアが最も低い候補者を排除します。ゲラー STV は、部分的な票の移行後にボルダ スコアを再計算しません。つまり、部分的な票の移行は、選挙の投票権に影響しますが、排除には影響しません。^{[引用が必要]}

ナンソン法とボールドウィン法は、ボルダスコアに基づくコンドルセ整合投票法である。どちらも、即決投票に類似した一連の排除ラウンドとして実行される。前者の場合、各ラウンドで平均ボルダスコア未満の候補者はすべて排除され、後者の場合、最低スコアの候補者が排除される。ボルダカウントとは異なり、ナンソン法とボールドウィン法は、コンドルセの勝者は他の候補者と比較して常に平均よりも高いボルダスコアを持ち、コンドルセの敗者は平均よりも低いボルダスコアを持つという事実を利用している点で、多数決方式でコンドルセ方式である。^[20]しかし、これらは単調ではない。

ボルダ投票は、戦略的投票と戦略的指名の両方による操作に対して脆弱である。修正ボルダ投票を使用するキリバスとダウダル投票システムを使用するナウルの観察に基づくと、ダウダル投票システムの方が抵抗力がある可能性があるが^[9] 、ナウル投票システムについての研究はこれまでほとんど行われていない。

ボルダカウントは、他のほとんどの投票システムと比べても、戦略的投票に対して異常に脆弱です。 ^[21]本当の好みではなく戦略的に投票する有権者は、より影響力を持ちます。さらに驚くべきことに、全員が戦略的に投票し始めると、結果は半ランダムに決定される大きな同点に近づく傾向があります。有権者が妥協を利用する場合、彼らは不誠実に第2または第3の選択肢の候補者の順位を第1の選択肢の候補者よりも上げ、第2の選択肢の候補者がさらに嫌いな候補者に勝てるようにします。有権者が埋没を利用する場合、有権者は不誠実に自分の投票用紙であまり好まれない候補者の順位を下げることで、より好まれる候補者を助けることができます。これらの両方の戦略を組み合わせると、特に選挙の候補者の数が増えるにつれて強力になります。たとえば、投票者が最も勝つ可能性が高いと考える候補者が 2 人いる場合、投票者は、より好む候補者を 1 位にランク付けし、あまり好まない候補者を最後にランク付けすることで、これらの有力候補間の争いに最大限の影響力を与えることができます。どちらの有力候補も投票者の真摯な第一候補または最終候補でない場合、投票者は妥協戦術と隠蔽戦術の両方を同時に採用していることになります。十分な数の投票者がこのような戦略を採用した場合、結果はもはや有権者の真摯な好みを反映したものではなくなります。

戦略的投票がいかに強力であるかを示す例として、北米東海岸の 100 人のグループが旅行を計画しているとします。彼らはボルダ カウントを使用して、訪問する都市を投票することにしました。候補の 3 つは、ニューヨーク市、オーランド、イカルイトの 3 つです。48 人がオーランド / ニューヨーク / イカルイトを好み、44 人​​がニューヨーク / オーランド / イカルイトを好み、4 人がイカルイト / ニューヨーク / オーランドを好み、4 人がイカルイト / オーランド / ニューヨークを好みます。全員が自分の本当の好みに投票すると、結果は次のようになります。

1. オーランド：${\displaystyle (48\times 2)+((44+4)\times 1){=}144}$
2. ニューヨーク：${\displaystyle (44\times 2)+((48+4)\times 1){=}140}$
3. イカルイト:${\displaystyle ((4+4)\times 2){=}16}$

もしニューヨークの有権者が負けそうだと気づき、全員が戦略的に表明した支持をニューヨーク、イカルイト、オーランドに変更し、オーランドを葬り去ることに合意すれば、結果を彼らに有利に変えるには十分である。

1. ニューヨーク：${\displaystyle (44\times 2)+((48+4)\times 1){=}140}$
2. オーランド：${\displaystyle (48\times 2)+(4\times 1){=}100}$
3. イカルイト:${\displaystyle ((4+4)\times 2)+(44\times 1){=}60}$

この例では、非常に僅差だったため、ニューヨークの有権者のうち数人が好みを変えるだけでこの結果を覆すことができました。他の全員が依然として自分の本当の好みに投票していたとしても、5人の有権者だけで十分だったでしょう。しかし、ニューヨークの有権者が戦略的に投票しようとしていることにオーランドの有権者が気づけば、彼らも戦略的にオーランド/イカルイト/ニューヨークに投票することができます。しかし、ニューヨークとオーランドの有権者全員がこれを行うと、驚くべき新しい結果が生まれます。

1. イカルイト:${\displaystyle ((4+4)\times 2)+((48+44)\times 1){=}108}$
2. オーランド：${\displaystyle (48\times 2)+(4\times 1){=}100}$
3. ニューヨーク：${\displaystyle (44\times 2)+(4\times 1){=}92}$

戦略的投票は過剰に修正され、現在では明らかに最下位の選択肢が勝利の脅威となっており、3 つの選択肢はすべて非常に僅差となっている。戦略的投票により、グループの真の好みは完全に不明瞭になり、ほぼ同点となっている。

ボルダカウントは、チーミングやクローニングと呼ばれる戦略的指名の一形態に対して非常に脆弱です。つまり、同様のイデオロギーを持つ候補者が増えると、それらの候補者の1人が当選する確率が高くなります。これは、上記の「無関係な選択肢の影響」の例で示されています。したがって、ボルダカウントでは、できるだけ多くの候補者を擁立することが派閥にとって有利です。たとえば、小選挙区選挙であっても、できるだけ多くの候補者を擁立することが政党にとって有利です。この点で、ボルダカウントは、候補者を擁立しすぎると派閥が不利になる「小選挙区制」の多数決システムなど、他の多くの単独当選者制度とは異なります。多数決システムなどのシステムでは、このように政党の票を「分割」すると、スポイラー効果につながる可能性があり、派閥の候補者が当選する可能性が損なわれます。

国会議員ローランド・クン氏によると、ナウルでは戦略的指名が採用されており、各派閥は勝利が見込まれない「緩衝候補」を複数擁立して主要候補者の得票数を減らしている。^[10]しかし、この戦略的指名の効果は、単純な等差数列ではなく調和数列を使用することで大幅に減少する。調和数列は無限であるため、十分な数のクローンを指名することで、どんな候補者でも（どんなに不人気でも）理論的には当選させることができる。実際には、そのために必要なクローンの数は、ナウルの総人口を超える可能性が高い。

テネシー州が州都の場所を決める選挙を行っているとします。人口は 4 つの主要都市に集中しています。すべての有権者は州都ができるだけ近くにあることを望んでいます。選択肢は次のとおりです。

• メンフィスは最大の都市だが、他の都市からは遠い（投票者の42％）
• 州の中心部に近いナッシュビル（有権者の26%）
• チャタヌーガ、やや東（有権者の15％）
• ノックスビル、はるか北東（投票者の17％）

各地域の有権者の好みは次のとおりです。

したがって、有権者は出身地に近い順に候補者を好むと想定されます。有権者 100 人あたりのポイント数は次のようになります。

したがってナッシュビルが選出されます。

ダウダルルールでは、表は次のようになる。

通常のボルダルールと同様に、ナッシュビルが勝利するでしょう。

ボルダカウントは、スロベニアとミクロネシア連邦のキリバスの特定の政治選挙で使用されています。同様のルールがナウルでも使用されています。

スロベニアでは、ボルダ伯爵は国民議会の90人の議員のうち2人を選出するために使われます。1人の議員はイタリア系民族の選挙区を代表し、もう1人はハンガリー系少数民族の選挙区を代表します。

ナウルの国会議員は、通常の慣例から 2 つの点で異なるボルダ カウントの変種に基づいて選出されます。

1. 複数議席選挙区（2議席または4議席）
2. 各ランキングに、全体のポイントではなく、徐々に小さなポイントの割合を割り当てるポイント割り当て式。

キリバスでは、大統領（ベレティテンティ）は多数決方式で選出されるが、選挙に立候補する候補者を3人または4人選ぶためにボルダ投票の変種が使用される。選挙区は議会議員（マネアバ）で構成される。議会の有権者は4人の候補者のみをランク付けし、他の候補者には0点が与えられる。少なくとも1991年以来、戦略的投票は指名プロセスの重要な特徴となっている。

ナウル共和国は1968年にオーストラリアから独立しました。独立前と独立後3年間、ナウルはオーストラリアから導入した即時決選投票方式を採用していましたが、1971年以降はボルダカウントの変種が使用されています。

修正されたボルダカウントはアイルランド緑の党の議長選出に使用された。^{[22] [23]}

ボルダ伯爵は、北アイルランドの特定の平和会議において非政府目的で使用されており、シン・フェイン党、アルスター統一党、UDAの政治部門のメンバーを含む参加者間の合意形成を支援するために使用されてきた。^[要出典]

ボルダカウントは、米国の一部の教育機関の選挙で使用されています。

• ミシガン大学
  • 中央学生自治会
  • 文学・科学・芸術学部学生自治会（LSASG）
• ミズーリ大学: 大学院専門職評議会の役員
• カリフォルニア大学ロサンゼルス校：大学院生協会役員
• ハーバード大学：学部評議会のメンバー（2018年現在）^[24]
• 南イリノイ大学カーボンデール校：教授会役員、
• アリゾナ州立大学: 数学および統計学部の役員会。
• マサチューセッツ州ウィートン大学：委員会の教員。
• ウィリアム・アンド・メアリー大学：経営学部の教員人事委員会のメンバー（同点の場合）。

ボルダカウントは、いくつかの専門および技術団体の選挙で使用されています。

• 国際低温生物学会：理事会。
• 米国小麦・大麦黒星病イニシアチブ：研究領域委員会のメンバー。
• X.Org Foundation : 理事会。

OpenGL Architecture Review Board は、機能選択方法の 1 つとして Borda カウントを使用します。

ボルダ カウントは、トーストマスターズ インターナショナルが主催する世界スピーチ チャンピオンコンテストの優勝者を決定するために使用されます。審査員は、上位 3 人のスピーカーに順位を付け、それぞれ 3 ポイント、2 ポイント、1 ポイントを与えます。順位に入らなかった候補者には、0 ポイントが与えられます。

修正ボルダカウントは、 AIESECの米国メンバー委員会の会長を選出するために使用されます。

ユーロビジョン・ソング・コンテストでは、ボルダ・カウントを大幅に変更した形式が採用されており、ポイントの配分が異なっています。各投票では上位 10 作品のみが考慮され、最有力候補には 12 ポイント、2 位には 10 ポイント、その他の 8 作品には 8 ～ 1 ポイントが与えられます。明確な勝者が選ばれるように設計されているにもかかわらず、非常に接戦となり、引き分けになることさえあります。

ボルダ伯爵は、オーストラリアブドウ栽培・醸造学会によるワイントロフィーの審査や、ドイツのブレーメン大学コンピューティング技術センターで開催されるロボカップ自律ロボットサッカー大会で使用されています。

フィンランドの協会法では、比例選挙を実施するためのボルダカウントの3つの異なる修正が記載されています。すべての修正では、ナウルと同様に分数を使用します。フィンランドの協会は、他の選挙方法を選択することもできます。^[25]

ボルダ カウントは、スポーツ賞を授与する際によく使われる方法です。アメリカでは次のような場合に使われます。

• MLB最優秀選手賞（野球）
• ハイズマン賞（大学フットボール）^[26]
• AP 投票やコーチ投票を含むNCAA大学チームのランキング

ボルダカウントは情報検索におけるランク集約方法として提案されており、文書は複数の基準に従ってランク付けされ、その結果得られたランキングは複合ランキングに結合されます。この方法では、ランキング基準は投票者として扱われ、集計ランキングはボルダカウントをその「投票」に適用した結果です。^[27]

スポーツのトーナメントでは、ペア戦から競技者のランキングを作成することがよくあります。ペア戦では、勝利には 1 ポイント、引き分けには 0.5 ポイント、敗北にはポイントが与えられません (スコアが 2/1/0 のように倍増されることもあります)。これは、1 人の投票者が 2 人の候補者の間で表明した各好みがスポーツの試合に相当するボルダ カウントに似ています。また、 2 人の候補者の間での有権者の全体的な好みがスポーツの試合に取って代わると仮定するコープランドの方法にも似ています。このスコアリング システムは、19 世紀中頃に国際チェスに採用され、 1888 年から 1889 年にかけてイングランド フットボール リーグで採用されました。

ボルダカウントは、少なくとも 4 回独立して開発されたと考えられています。

• ラモン・リュイ（1232年 - 1315/16年）は1283年の小説『ブランケルナ』の中で女子修道院長の選出について述べている。選出のプロセスは、ボルダ伯爵の2つの同等の定義のうちの2番目に相当する。^[28]
• ニコラウス・クザーヌス（1401年 - 1464年）は著書『カトリック協約論』（1433年）でボルダ伯爵について初めて記述し、神聖ローマ皇帝の選挙にボルダ伯爵を使うべきだと主張したが、失敗に終わった。クザーヌスはリュイウスの別の小冊子を読んだことが知られているが、異なる定義を提示しており、ブランケルナ法を知らなかったか、それが同等のものであると認識していなかったようである。^[29]
• ジャン＝シャルル・ド・ボルダ（1733年 - 1799年）は、 1784年に科学アカデミーに提出し、パリの王立科学アカデミーの歴史に「審査中の選挙に関する覚書」として出版した論文の中で、フランス科学アカデミーの会員を公平に選出する手段としてこの制度を考案した。^{[注 2]ボルダ式投票は、1795年から1800年までアカデミーの会員選挙に使用された唯一の方法であったが、}ナポレオンの要請により他の方法も追加された。
• チャールズ・L・ドジソン（ルイス・キャロル、1832年 - 1898年）は、オックスフォード大学クライスト・チャーチ校のフェローシップの割り当て投票のための「選挙実施のさまざまな手順に関する議論」（1783年）の中で、ボルダ・カウントのバージョンを提案した。フェローたちはその方法で投票し、コンドルセの勝者が当選しなかった（コンドルセ基準に違反）ことに気づき、結果を拒否して、コンドルセの勝者にフェローシップを与えた。^[30]翌年、ドジソンはボルダ・カウント法をコープランド法に似たものに置き換えることを提案し、1876年には「2つ以上の問題について投票する方法」で、この2つを組み合わせた方法を提案した。彼はボルダやコンドルセの研究を知らなかったようだ。^[31]

• 選挙制度の比較
• コープランド法
• ナンソン法
• アローの不可能性定理
• オクラホマ州の予備選挙制度

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• エリック・パキット、「投票方法」、スタンフォード哲学百科事典（2019年秋版）、エドワード・N・ザルタ（編）
• デ・ボルダ研究所、北アイルランド
• Voters Choose、USA: 米国を拠点とするボルダ・カウントの擁護および研究グループ
• ボルダカウント選挙のコントロールの複雑さ: ネイサン F. ラッセルの論文
• 二分法による選好のスコアリング ルール: Marc Vorsatz による記事。特定の条件下でのBorda カウントと承認投票を数学的に比較します。
• 小規模な n 選挙でコンドルセ ルールとボルダ ルールを実装するプログラム: Iain McLean と Neil Shephard による記事。
• (フランス語) Élections au scrutin: ボルダのオリジナルのフランス語テキスト (1781) を高解像度の PDF ファイルで提供します。
• QuickVote – ボルダカウントの結果を計算するウェブサイト。比較のために、多数決、即決選投票、ケメニー・ヤング、その他の投票方法による勝者も計算します。