ポジション投票

順位投票は順位投票の 選挙制度であり、選択肢または候補者は各投票の順位に基づいてポイントを受け取り、全体で最もポイントの高い人が勝利する。^[1]隣接するペアの順位が低い優先順位は、一般的に、高い優先順位のものよりも価値が低い。同じ重み付けがされることもあるが、価値が高くなることはない。有効なポイント数列または重み付けは任意に選択できる（ユーロビジョン・ソング・コンテスト）し、等差数列（ボルダ・カウント）、幾何級数（順位数システム）、調和級数（ナウル/ダウダル法）などの数学的シーケンスを形成することもできる。選挙で採用される重み付けのセットは、候補者の順位に大きな影響を与える。順位が下がるにつれて優先順位の初期の低下が急であるほど、順位投票制度はより二極化し、合意が得られにくくなる。

順位投票はスコア投票とは区別する必要があります。前者では、各投票者が各候補者に与えるスコアは、候補者の順位によって一意に決定されます。後者では、各投票者はどの候補者にも自由にスコアを与えることができます。

順位投票では、投票者は順位順に自分の好みを表明して順位投票を行います。各投票者の好みの順位には、特定の固定重みが割り当てられます。通常、優先順位が高い好みほど、ポイントが高くなります。場合によっては、優先順位の低い好みと同じ重みになることもありますが、ポイントが低くなることはありません。

通常、各投票者は、投票用紙の各オプションに対して、厳密な降順で一意の優先順位を表明する必要があります。ただし、特定の位置投票システムでは、投票者が 1 つ以上のオプションを表明した後にその優先順位を切り捨て、残りのオプションを順位付けせずに無価値のままにすることが許可される場合があります。同様に、他のシステムでは、表明できる優先順位の数を制限する場合があります。たとえば、ユーロビジョン ソング コンテストでは、10 曲を超える曲がコンテストで競われますが、各国によって順位付けされるのは上位 10 の優先順位のみです。この場合も、順位付けされていない優先順位には価値がありません。位置投票では、同点のオプションがある順位付けされた投票は通常無効と見なされます。

集計プロセスは簡単です。投票者が投じたすべての選択肢に、順位に応じたポイントが与えられます。次に、各選択肢のポイントがすべて集計され、ポイントが最も高い選択肢が勝者となります。集計後に少数の勝者 ( W ) が必要な場合は、最も順位の高いW個の選択肢が選択されます。順位投票は、1 人の勝者を特定する手段であるだけでなく、個々の選択肢のセット (順位付けされた投票) を 1 つの集合的で完全に順位付けされたセットに変換する方法でもあります。この結果セットでは、選択肢が同点になることがあり、1 位であっても正当です。

3 つの選択肢 A、B、C から 1 人の勝者を選ぶ順位投票選挙を考えてみましょう。切り捨てや同点投票は認められず、第 1、第 2、第 3 の優先順位はそれぞれ 4、2、1 ポイントになります。各投票者がこれらの選択肢を順位付けする方法は 6 通りあります。100 人の投票者は次のように順位付け投票を行います。

投票が終了すると、投票者によって与えられたポイントが集計され、合計ポイントに応じて選択肢がランク付けされます。

したがって、ここでは、最も高い合計を持つオプション A が勝者となります。選挙結果によって、すべてのオプションの完全なランキングも生成されることに注意してください。

順位投票では、各候補者の順位に応じてポイントが徐々に減少する限り、順位へのポイントの配分は有効です。言い換えれば、順位の低い候補者は、順位の高い候補者よりもポイントを少なく受け取る必要があります。^[1]

順位投票選挙制度の典型的な例は、ボルダカウントです。^[1]通常、 N人の候補者がいる単独当選の選挙では、第1候補はNポイント、第2候補はN -1ポイント、第3候補はN -2ポイントというように、最後の（N番目）候補が1ポイントの価値があるまで続きます。そのため、たとえば、候補者が4人の選挙では、ポイントはそれぞれ4、3、2、1になります。

数学的には、特定の順位（n ）に関連付けられたポイント値または重み（w _n ）は以下のように定義されます。ここで、第 1 優先順位の重みはaで、公差はdです。

$${\displaystyle w_{n}=a-(n-1)d}$$

ここで、a = N、候補者の数です。

第一順位の値はNである必要はありません。最後の順位がゼロになるようにN - 1に設定されることもあります。公差はカウントに便利ですが、候補者の全体的な順位はその特定の値によって影響を受けないため、公差を 1 に固定する必要はありません。したがって、異なる集計結果が生成されても、ボルダカウント選挙のaまたはdの値はどれも同じ候補者の順位になります。^[1]

連続するボルダカウントの重み付けは等差数列を形成します。

ボルダ以外の一般的な選好度評価システムは、典型的には「トップヘビー」である。言い換えれば、この方法は、どのくらい多くの有権者が候補者を「お気に入り」の一人とみなしているかに焦点を合わせている。

第一優先多数決（FPP）では、最も好まれる選択肢に 1 ポイントが与えられ、その他の選択肢にはそれぞれ 0 ポイントが与えられます。これは、最も上位重視の位置付け投票システムです。

等比数列と呼ばれる別の数学的順序も、順位投票で使用できます。この場合、隣接する重み付けの間には共通比rが存在します。2 つの有効条件を満たすには、優先順位が下がるにつれて重み付けが減少するように、 rの値が1 未満である必要があります。最初の優先順位の値がaの場合、特定の順位 ( n ) に与えられる重み付け ( w _n )は次のように定義されます。

$${\displaystyle w_{n}=ar^{n-1},\qquad 0\leq r\leq 1}$$

たとえば、2進数システムで使用される1、1/2、1/4、1/8、…の連続的に半分に分割された重みのシーケンスは、公比が半分（r = 1/2）の等比数列を構成します。このような重みは、正当な公比が採用されている限り、位置投票システムでの使用に本質的に有効です。公比をゼロにすると、この形式の位置投票の重みは1、0、0、0、…となり、小選挙区制または多数決投票と同じランキング結果が生成されます。

あるいは、上記の分数重み付けの分母は等差数列、つまり 1/1、1/2、1/3、1/4 と1/ Nまで続く数列を形成することもできます。このさらなる数学的シーケンスは、調和数列の例です。これらの特定の降順の順位重み付けは、実際にナウル議会のN候補者の順位投票選挙で使用されています。このような選挙制度では、特定の順位 ( n ) に割り当てられる重み付け ( w _n ) は次のように定義されます。ここで、第 1 候補の値はaです。

$${\displaystyle w_{n}={\frac {a^{2}}{a+(n-1)d}}={\frac {a}{1+{\frac {(n-1)d}{a}}}},}$$

ここでw ₁ = aです。

ナウル (ダウダル) システムでは、第 1 優先順位aの価値は 1 で、隣接する分母間の公差dも 1 です。位置投票では、他の多数の調和シーケンスも使用できます。たとえば、aを 1 に、d を2 に設定すると、すべての奇数の逆数 (1、1/3、1/5、1/7、…) が生成されますが、a を1/2 に、d を1/2 に設定すると、すべての偶数の逆数 (1/2、1/4、1/6、1/8、…) が生成されます。

島国ナウルでは、ダウダル方式と呼ばれる変種が採用されている。^{[2] [3]}投票者は、第1位の候補者に1ポイント、第2位の候補者には1 ⁄ 2ポイント、第3位の候補者には1 ⁄ 3ポイントというように付与する。(この方式は、比例承認投票などの比例システムにおける逐次除数の使用と混同しないようにする必要がある。比例承認投票は無関係な方法である。) 低選好票に重み付けする同様の方式は、1925年のオクラホマ州予備選挙制度でも採用された。

上記の例を使用すると、ナウルでは 4 人の候補者間のポイント配分は次のようになります。

この方法は、従来のボルダカウントよりも、第一希望者の多い候補者に有利である。この方法は、「多数決とボルダカウントの中間だが、より多数決に傾いている」システムと説明されている。^[3]シミュレーションによると、標準的なボルダルールを使用してカウントした場合、ナウルの選挙の30％が異なる結果を生み出すことがわかっている。^[3]

この制度は1971年にナウルの法務長官（デズモンド・ダウダル）によって考案された。^[3]

ユーロビジョン・ソング・コンテストでは、第 1 希望者に 12 ポイント、第 2 希望者に 10 ポイントが与えられます。次の 8 つの希望者には、8、7、6、5、4、3、2、1 ポイントが与えられます。残りの希望者には、すべて 0 ポイントが与えられます。

順位投票では、最初から最後までの連続する選好の重み付け ( w ) は、順位 ( n ) とともに単調に減少します。ただし、減少率は採用されている順位の種類によって異なります。順位とともに比較的緩やかに減少する一連の重み付けを採用している順位では、低い選好が選挙結果により大きな影響を与えます。重み付けが緩やかに減少するほど、順位投票は合意に基づいたものになり、分極化が少なくなります。

この図は、次の 4 つの順位投票選挙制度における 10 以上の優先順位の低下を示しています。

• ボルダカウント（a = N = 10、d = 1）
• 2進数システム（a = 1、r = 1/2）
• ナウル方式（a = 1、d = 1）
• ユーロビジョン・ソング・コンテスト（ゼロ以外の優先順位のみ）

比較を容易にするために、実際の重み付けは正規化されています。つまり、最初の優先順位は 1 に設定され、特定のシーケンス内の他の重み付けは同じ係数1/ aでスケーリングされます。

等差数列における重みの相対的な減少は、公差dの関数ではないため一定です。言い換えると、隣接する重み間の相対的な差は1/ Nで固定されています。対照的に、調和数列におけるdの値は、その減少率に影響します。その値が高いほど、重みはより速く減少します。一方、等比数列の公比rの値が低いほど、重みはより速く減少します。

ここで、2進数システムの桁位置の重み付けが選択されたのは、位置投票における等比数列の例を強調するためです。実際、どのデジタル数システムの連続した重み付けも、すべて等比数列を構成するため、使用できます。たとえば、2進数、3進数、8進数、10進数システムでは、それぞれ基数 Rとして 2、3、8、10 を使用します。値Rは、ランク順に上がる等比数列の公比でもあり、rはランク順に下がる補数公比です。したがって、r はRの逆数であり、位置投票で使用されるこれらの位置数システムのr比はそれぞれ 1/2、1/3、1/8、1/10 です。

基数が最小であるため、二進数システムを使用すると、優先順位の重み付けの減少率が最も遅くなります。基数R (数システムで使用される一意の桁数) は整数である必要がありますが、順位投票の公比r はそのような整数の逆数である必要はありません。0 から 1 未満までの値であれば、どれでも有効です。二進数システムを使用して生成されるものよりも重み付けの減少を遅くするには、1/2 よりも大きい公比を使用する必要があります。r の値が大きいほど、順位が下がるにつれて重み付けの減少が遅くなります。

順位投票方式に分類されないものの、非順位方式の中には、ポイントを適切に割り当てることで、あたかも順位投票方式であるかのように数学的に分析できるものもあります。^[1]ここでは厳密な単調順位付けがないため、すべての好ましい選択肢は高い値で同じように重み付けされ、残りの選択肢はすべて共通の低い値で重み付けされます。したがって、重み付けのシーケンスに関する 2 つの妥当性基準は満たされます。

N候補者の順位付け投票の場合、投票ごとに許可される支持候補者数をFとし、2 つの重み付けを、支持候補者に 1 ポイント、支持されていない候補者に 0 ポイントとします。順位投票を使用して分析的に表す場合、支持候補者は各順位付け投票で任意の順序で上位Fランクの位置にリストされ、その他の候補者は下位N - Fランクの位置にリストされる必要があります。順位投票では各ランク位置の重み付けが固定されており、各投票に共通であるため、これは不可欠です。

順位付けのない単独勝者方式で、順位投票選挙制度として分析できるものには、以下のものがあります。

• 多数決投票（FPTP）：最も好まれる選択肢には1ポイント、その他の選択肢にはそれぞれ0ポイントが与えられます。（F = 1）
• 反多数決投票: 最も好まれない選択肢には 0 ポイント、その他の選択肢にはそれぞれ 1 ポイントが与えられます。( F = N – 1 )

複数勝者選挙（W勝者）の非順位付け方式には次のものがあります。

• 譲渡不可能な単一投票: 最も好まれる選択肢には 1 ポイントが与えられ、その他の選択肢にはそれぞれ 0 ポイントが与えられます。( F = 1 )
• 限定投票:最も好まれる選択肢X個( 1 < X < W ) にはそれぞれ 1 ポイントが与えられ、その他の選択肢にはそれぞれ 0 ポイントが与えられます。( F = X )
• ブロック投票: W の最も好ましい選択肢にはそれぞれ 1 ポイントが与えられ、その他の選択肢にはそれぞれ 0 ポイントが与えられます。( F = W )

承認投票では、投票者は好きなだけ多くの候補者を支持するか、または少数の候補者を支持するか自由に決めることができるため、F は固定ではなく、投じられる個々の順位付けされた投票に応じて変化します。順位の位置は投票ごとに異なる重み付けを持つため、承認投票は位置投票システムではなく、そのように分析することもできません。

テネシー州が州都の場所を決める選挙を行っているとします。人口は 4 つの主要都市に集中しています。すべての有権者は州都ができるだけ近くにあることを望んでいます。選択肢は次のとおりです。

• メンフィスは最大の都市だが、他の都市からは遠い（投票者の42％）
• 州の中心部に近いナッシュビル（有権者の26%）
• チャタヌーガ、やや東（有権者の15%）
• ノックスビル、はるか北東（投票者の17％）

各地域の有権者の好みは次のとおりです。

w _{n は}n番目の優先順位の重み付けであり、次の表は各都市の結果の集計計算を定義します。

第一優先順位がw ₁ = 1の場合、以下の表は、この選挙で採用できるさまざまな順位投票システムに対する 4 つの重み付けのそれぞれの値を示しています。

これら 5 つの順位投票システムは、進行タイプの順にリストされています。順位が下がるにつれて重み付け値の低下が緩やかになればなるほど、4 つの重み付けの合計は大きくなります (最後の列を参照)。多数派は最も急速に低下し、反多数派は最もゆっくりと低下します。

各位置投票システムについて、4 つの都市オプションのそれぞれの集計は、上記の 2 つの表から決定され、以下のように示されます。

今回の選挙で採用される可能性のある各順位投票システムについて、その結果としてのオプションの全体的な順位は以下の通りです。

この表は、勝利の結果を決定する上での進行タイプの重要性を強調しています。すべての投票者がメンフィスに強く賛成または反対しているため、これは非常に「二極化した」選択肢であり、メンフィスは多数派では1位、反多数派では最下位となります。中心部に位置することから、ナッシュビルはここでは「コンセンサス」の選択肢です。ボルダカウントと他の2つの非二極化システムでは、ナッシュビルが勝利します。

投票システムの一種として、位置投票は客観的な数学的基準に照らして評価することができ、他の単独勝者選挙方式と比較してその長所と短所を評価することができます。

位置投票は次の基準を満たします。

• 非独裁
• 無制限のドメイン
• 総和可能性（N 次）
• 一貫性
• 参加
• 解決可能性
• 単調性
• パレート効率

しかし、以下の基準を満たしていません。

• 無関係な選択肢の独立性(IIA)
• クローンの独立性(IoC)
• コンドルセ賞受賞者
• コンドルセ敗者（ボルダ伯爵を除く）
• 反転対称性（ボルダカウントを除く）
• 多数（多数と同等の場合を除く）

アローの不可能性定理によれば、3 つ以上の選択肢を総合的に順位付けする場合、順位付け投票システムでは次の 4 つの基準をすべて満たすことはできません。

• 非独裁
• 無制限のドメイン
• パレート効率
• 無関係な選択肢の独立性(IIA)

有権者の選好が投じられる前に、すべての有権者とすべての候補者を平等に扱う投票システムは、上記の最初の 2 つの基準を満たします。したがって、他のランキング システムと同様に、位置投票は他の 2 つの基準の両方を満たすことはできません。これはパレート効率的ですが、無関係な選択肢から独立しているわけではありません。この失敗は、すべての有権者の順位付けされた選好が同じであるにもかかわらず、当選しない (無関係な) 候補者の追加または削除によって選挙の勝者が変わる可能性があることを意味します。

3 人の候補者 A、B、C がいる順位投票選挙を考えてみましょう。第 1、第 2、第 3 候補の得点はそれぞれ 4、2、1 ポイントです。12 人の有権者は次のように順位投票を行います。

選挙の結果は次のようになります。

したがって、候補者 A が唯一の勝者であり、候補者 B と C が 2 人の敗者です。無関係な選択肢 (敗者) であるため、投票システムが IIA に準拠している限り、B がコンテストに参加するかどうかは A の勝利に影響しません。

候補者 B なしで選挙を再実施し、候補者 A と候補者 C の順位付けを正しく維持すると、12 票は次のように投じられます。

再選挙の結果は以下のとおりです。

候補者 B が撤退したため、勝者は A ではなく C になりました。優先順位に付与される特定のポイントに関係なく、無関係な代替案の追加または削除によって選挙結果が変わるケースは常に存在します。したがって、位置投票は IIA に準拠していません。

ポジション投票はクローンの独立性(IoC) 基準にも適合しません。クローンの戦略的指名は選挙結果に大きく影響する可能性が高く、多くの場合、それがその背後にある意図です。クローンとは、すでに立候補している候補者と名目上同一の候補者であり、どちらがクローンであるかを知らされない限り、投票者は両者を区別できません。同順位は許可されていないため、代わりに、これら 2 人の候補者は、隣接するポジションの投票者によってランク付けされる必要があります。クローンは、クローン化されていない候補者の総合的なランキングを昇格または降格させる可能性があります。

3 人の候補者が競い合う順位投票選挙を考えてみましょう。投票者は 12 人だけで、第 1、第 2、第 3 候補の得票率はそれぞれ 4、2、1 ポイントです。

この最初のシナリオでは、候補者 A と B の 2 人が指名されますが、クローンはコンテストに参加しません。投票者は次のように順位付け投票を行います。

選挙の結果は次のようになります。

支持が同等であれば、A と B の間で 1 位が必然的に同点になります。

B は、この同点を予想して、自分自身のクローンをエントリーすることにしたとします。指名された候補者は、現在 A、B ₁、B _{2です。投票者は B 1}と B ₂を区別できないため、B _{1 を}B ₂より上位にランク付けしたり、B _{2を B 1}より上位にランク付けしたりする可能性が高くなります。この 2 番目のシナリオでは、12 票は次のように投じられます。

新たな選挙結果は次のとおりです。

B は自身のクローンを追加することで、候補者 A に勝利を譲り渡しました。この逆効果の「スポイラー」効果、つまり自傷行為は、票の分割と呼ばれます。

B が 1 位に躍り出るには、支持者全員に、常に自党の候補者の 1 人 (B ₁とします) を他の候補者 (B ₂とします) よりも支持するよう指示する必要があります。この 3 番目のシナリオでは、12 票は次のように投じられます。

修正された選挙結果は次のとおりです。

「チーム」B が、2 人の候補者のうちどちらに勝ってほしいかを自らの支持者に伝え（A の支持者には伝えない）、B は B ₁の勝利を得るという目的を達成しました。クローンがいないため、A と B は第 1 希望と第 2 希望が同数で同数です。クローン B ₂ (無関係な選択肢) の導入により、A の第 2 希望が第 3 位に押し上げられましたが、「チーム」B (B または B ₁ ) の希望は第 1 および第 3 のシナリオで変更されていません。A を「葬り去り」自らを宣伝するこの意図的な行為は、チーミングと呼ばれます。A が自らの支持者に、報復として 常に B ₁よりもB _{2 を好むように伝えると、A と「チーム」B の元の同点が再び確立されることに注意してください。}

多かれ少なかれ、すべてのポジション投票システムは、多数決に相当するシステムを除いて、チーム化に対して脆弱です。第一候補のみが価値を持つため、クローンを使用してランクの低い対立候補を「葬り去る」ことは、選挙結果に決して影響しません。しかし、第一候補のみが価値を持つため、多数決は票の分割に対して特に脆弱です。程度は低いですが、他の多くのポジション投票システムも「スポイラー」候補者の影響を受けます。本質的にチーム化に対して脆弱ですが、ボルダカウントは票の分割に対して脆弱ではありません。^[1]

ドナルド・G・サーリは、順位投票選挙制度を数学的に分析したさまざまな著作を発表しています。彼の分析で検討された基本的な方法は、ボルダカウントです。

• 経済理論、第 15 巻、第 1 号、2000 年: 投票パラドックスの数学的構造: II. 位置投票、ドナルド G. サーリ