コンドルセ勝者の基準

選挙において、対立候補の誰とでも一対一で戦った場合に全有権者の半数以上が支持する候補者を、多数決勝者または多数派支持候補者と呼びます^{[1] [2] [3]} 。多数決勝者が常に勝つ投票制度は、多数決原理を満たしていると言われます^{[4] [5]。なぜなら、}多数決原理を複数の候補者がいる選挙にまで拡張しているからです。

同順位または同点が認められる状況では、単純多数または相対多数（棄権票を無視して賛成票が反対票を上回る）で勝利した候補者はコンドルセ（フランス語: [kɔ̃dɔʁsɛ]、英語: / k ɒ n d ɔːr ˈ s eɪ /）^{[2] 、}全員勝利者、またはトーナメント優勝者（総当たり戦トーナメントとの類推）と呼ばれます。ただし、このトピックに関する正確な用語には一貫性がありません。驚くべきことに、選挙では全員勝利者が存在しない場合があり、複数の候補者が互いに負ける（グー < ペーパー < チョキ < グー）グー、パー、チョキスタイルのサイクルが発生する可能性があります。これはコンドルセの投票パラドックス^[6]と呼ばれ、確率論で知られている直感に反する自動詞のサイコロ現象に類似しています。

しかし、有権者が左派・右派の政治的スペクトルに配置され、自分とより類似した候補者を好む場合、多数決の勝者が常に存在し、そのイデオロギーが有権者を最も代表する候補者となり、これは中位有権者定理として知られる結果である。^[7]しかし、政治候補者が左派・右派のイデオロギーや全体的な能力とは無関係な方法で大幅に異なる場合、投票パラドックスにつながる可能性がある。^{[8] [9]}これまでの研究では、実際の選挙ではサイクルはややまれであり、その発生率は選挙の1～10％と推定されている。^[10]

多数決勝者を選ぶシステムには、順位付けペア、シュルツ法、タイドマン代替法などがあります。即時決選投票（米国では順位付け選択と呼ばれることが多い）、第一希望多数決、2回戦制は含まれない方式です。スコア投票や最高中央値などのほとんどの評価システムは、多数決勝者基準を意図的に満たしていません（多数決の専制を参照）。

コンドルセの方法は、13世紀にスペインの 哲学者で神学者の ラモン・リュイが教会統治について調査した際に初めて詳細に研究されました。彼の原稿『選挙論』は彼の死後すぐに失われたため、彼の考えはその後500年間忘れ去られていました。^[11]

投票理論における最初の革命は、啓蒙時代に数学者であり政治哲学者でもあったニコラ・ド・カリタ・コンドルセ侯爵によってこれらのアイデアが再発見された時期と一致した。

政府が思いがけない資金源を見つけたとします。その資金をどうするかについては 3 つの選択肢があります。政府はその資金を支出するか、減税に使うか、借金の返済に使うかです。政府は投票を行い、国民に 2 つの選択肢のうちどちらを好むかを尋ね、その結果を次のように集計します。

この場合、借金を返済するという選択肢が、他の 2 つの選択肢よりも人気があるため、最も有利な勝者となります。ただし、このような勝者が常に存在するとは限らないことに注意してください。この場合、トーナメント ソリューションは、無敗のチャンピオンに最も近い候補を検索します。

多数決による勝者は、各候補者を他の候補者よりも高く評価した投票者の数を数える ランキングから決定できます。

コンドルセ基準は、他のいくつかの投票システムの基準と関連しています。

コンドルセ方式はスポイラー効果に対して非常に耐性があります。直感的に言えば、コンドルセ勝者を追い出す唯一の方法は、その勝者を打ち負かすことであり、スポイラーは多数決勝者がいない場合にのみ存在できることを意味します。

多数決法の欠点の1つは、理論的には、構築された例において参加基準に失敗する可能性があることです。しかし、研究によると、ランク付けされたペアのような現代の多数決システムでは、これは経験的にまれです。公開されている306の選挙データセットを調査したある研究では、ランク付けされたペア-ミニマックスファミリーの方法で参加基準に失敗した例は見つかりませんでした。^[12]

トップサイクル基準は、さらに強力な多数決を保証します。多数決の勝者がいない場合は、勝者はトップサイクル内にいなければなりません。トップサイクルには、直接的または 間接的に他のすべての候補者に勝つことができるすべての候補者が含まれます。コンドルセシステムのほとんどがトップサイクル基準を満たしていますが、すべてではありません。

最も合理的なトーナメント ソリューションは、コンドルセ基準を満たしています。この基準を満たす他の方法は次のとおりです。

• 黒
• ケメニー・ヤング
• ミニマックス
• ランク付けされたペア
• シュルツェ
• 総投票数決選投票
• タイドマンの代替法

詳細については、カテゴリ:コンドルセ法を参照してください。

次の順序投票方法はコンドルセ基準を満たしません 。

• 即時決選投票
• クームズの法則^[13]
• バックリン投票（および密接に関連する中央値投票）
• あらゆる種類の位置投票、以下を含む:
  • ボルダカウント
  • 選択投票

コンドルセ基準が評価投票方法に適用できるかどうかは不明です。コンドルセ基準の従来の定義 (ほとんどの投票で A が B より好まれた場合、A が B に勝つはず (矛盾が生じない限り)) によれば、これらの方法はコンドルセ基準を満たしていません。なぜなら、より強い好みを持つ投票者に選挙結果に対するより大きな発言権を与えるからです。

ボルダ カウントは、投票者が候補者を優先順位に従ってランク付けする投票システムです。投票者の順位に応じて候補者の順位にポイントが与えられます。最も多くのポイントを獲得した候補者が勝者となります。

次の場合には、ボルダ カウントはコンドルセ基準に準拠しません。投票者 5 名と 3 つの選択肢からなる選挙について考えます。投票者 3 名は A を B より、B を C より好み、投票者のうち 2 名は B を C より、C を A より好みます。投票者 5 名のうち 3 名が A を他のすべての選択肢より好んでいるため、A はすべての選択肢に勝るチャンピオンとなります。しかし、ボルダ カウントでは、第 1 の選択肢に 2 ポイント、第 2 の選択肢に 1 ポイント、第 3 の選択肢に 0 ポイントが与えられます。したがって、A を好む投票者 3 名から、A は 6 ポイント (3 × 2)、他の 2 名からは 0 ポイントを受け取り、合計 6 ポイントになります。B は、A を B を C より好む投票者 3 名から 3 ポイント (3 × 1)、B を C より A より好む投票者 2 名から 4 ポイント (2 × 2) を受け取ります。7 ポイントで、B がボルダの勝者となります。

即時決選投票（IRV）では、投票者は候補者を 1 位から最下位まで順位付けします。最下位の候補者（1 位票が最も少ない候補者）は排除され、その候補者が出席していなかった場合に投票者が選んだであろう、排除されなかった候補者に票が再割り当てされます。

即時決選投票はコンドルセ基準に準拠していません。つまり、過半数の支持を得た候補者を選出しません。たとえば、3 人の候補者 {A、B、C} の優先順位の投票数は次のとおりです。

• A > B > C: 35
• C > B > A: 34
• B > C > A: 31

この場合、B は A より 65 対 35 票で好まれ、B は C より 66 対 34 票で好まれているため、B は A と C の両方より好まれます。この場合、コンドルセ基準に従って B が勝利する必要があります。IRV では、B は最も少ない投票者によって 1 位にランク付けされて排除され、その後、B から移行された票によって C が勝利します。

最高中央値は、投票者がすべての候補者に、あらかじめ決められたセット（例：{「優れている」、「良い」、「普通」、「悪い」}）から評価を与えるシステムです。選挙の勝者は、最高の中央値評価を持つ候補者になります。3 人の候補者 A、B、C がいる選挙を考えてみましょう。

• 35人の有権者が候補者Aを「優秀」、Bを「普通」、Cを「劣悪」と評価した。
• 34人の有権者は候補者Cを「優秀」、Bを「普通」、Aを「劣悪」と評価し、
• 31 人の有権者が候補者 B を「優秀」、候補者 C を「良い」、候補者 A を「悪い」と評価しました。

B は A より 65 対 35 で好まれ、B は C より 66 対 34 で好まれています。したがって、B がすべての勝者です。ただし、B は中央値で「まあまあ」の評価しか得られず、C は中央値で「良い」の評価しか得られません。結果として、中央値が最も高い C が勝者として選ばれます。

多数決投票は、投票者が候補者を最初から最後まで順位付けし、最も優れた候補者に 1 ポイントを与える (その後の優先順位は無視される) 順位付け投票システムです。多数決は票の分割効果のためコンドルセ基準を満たしません。一例として、フロリダ州での 2000 年の選挙が挙げられます。この選挙では、ほとんどの投票者がジョージ ブッシュよりもアル ゴアを好みましたが、妨害候補のラルフ ネーダーのせいでブッシュが勝利しました。

スコア投票は、投票者がすべての候補者に所定のスケール（例：0 から 5）でスコアを付けるシステムです。選挙の勝者は、合計スコアが最も高い候補者です。スコア投票は、多数決コンドルセ基準を満たしていません。例：

ここでは、投票者の大多数が B を支持しているにもかかわらず、C が勝者と宣言されています。これは、C の支持者が B の支持者よりも自分のお気に入りの候補者に非常に熱心であるためです。同じ例は、決選投票を追加してもスコアが必ずしも基準に準拠するわけではないことも示しています (コンドルセの勝者 B は、スコアによると上位 2 位に入っていないため)。

• ブラック、ダンカン（1958年）「委員会と選挙の理論」ケンブリッジ大学出版局。
• ファークハーソン、ロビン（1969）。投票理論。オックスフォード：ブラックウェル。ISBN 0-631-12460-8。
• セン、アマルティア・クマール（1970）。集団選択と社会福祉。ホールデンデイ。ISBN 978-0-8162-7765-0。

• コンドルセ敗者基準
• コンドルセ法
• 複数勝者投票- コンドルセ基準の複数の勝者バリアントに関する情報が含まれています。