タクシーの形状

任意の距離空間において、球とは、特定の中心点から一定の距離（半径）にある点の集合である。ユークリッド球は丸く回転対称であるが、タクシー距離の下では、球の形状はクロス多面体であり、正八面体のn次元一般化である。${\displaystyle \mathbf {p} }$方程式を満たす：

$${\displaystyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {c} )=\sum _{i=1}^{n}\left|p_{i}-c_{i}\right|=r,}$$

どこ${\displaystyle \mathbf {c} }$は中心、rは半径です。${\displaystyle \mathbf {p} }$単位球面上において、原点を中心とする半径1の球面は、以下の式を満たす。${\textstyle d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {0} )=\sum _{i=1}^{n}|p_{i}|=1.}$

2次元タクシー幾何学では、球（円と呼ばれる）は座標軸に対して斜めに配置された正方形です。右の画像は、青色の中心から一定の距離にある正方形グリッド上のすべての点の集合を赤色で示しています。グリッドを細かくすると、赤い点の数が増え、極限では連続した傾斜した正方形に近づきます。各辺の長さはタクシーの長さ 2 rなので、円周は8 rです。したがって、タクシー幾何学では、円定数πのアナログである円周と直径の比の値は4 になります。

閉じた球（2次元の場合は閉じた円盤）とは、特定の中心から半径以下の距離にある点の集合である、塗りつぶされた球のことである。正方形グリッド上のセルオートマトンにおいては、タクシーディスクとは、その中心から半径rの範囲にあるフォン・ノイマン近傍のことである。

平面上のチェビシェフ距離（L∞メトリック）における半径rの円は_、座標軸に平行な辺の長さが2rの正方形でもあるため、平面チェビシェフ距離は、回転と拡大縮小によって平面タクシー距離と等価であると考えることができる。しかし、L1メトリックとL∞メトリックのこの等価性は、より_高次元_には一般化されない。

これらの円の集合内の各ペアが空でない交点を持つ場合、集合全体に交点が存在する。したがって、マンハッタン距離は単射距離空間を形成する。

させて${\displaystyle y=f(x)}$を連続的に微分可能な関数とする。${\displaystyle s}$グラフのタクシー弧長を${\displaystyle f}$ある間隔で${\displaystyle [a,b]}$区間を等しい微小な部分区間に分割し、$\displaystyle \Delta s_{i}}$タクシーの長さは${\displaystyle i}$- 番目のサブアーク。次に^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\Delta x_{i}+\Delta y_{i}=\Delta x_{i}+|f(x_{i})-f(x_{i-1})|.}$$

平均値の定理により、ある点が存在する。${\displaystyle x_{i}^{*}}$間${\displaystyle x_{i}}$そして${\displaystyle x_{i-1}}$そのため${\displaystyle f(x_{i})-f(x_{i-1})=f'(x_{i}^{*})\Delta x_{i}}$^{[ 7 ]} すると、前の式は次のように書ける。

$${\displaystyle \Delta s_{i}=\Delta x_{i}+|f'(x_{i}^{*})|\,\Delta x_{i}=\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|).}$$

それから${\displaystyle s}$は、${\displaystyle s}$の上${\displaystyle [a,b]}$それらが任意に小さくなるにつれて： $${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\Delta x_{i}(1+|f'(x_{i}^{*})|)\\&=\int _{a}^{b}1+|f'(x)|\,dx.\end{aligned}}}$$これをテストするには、半径 のタクシーの円を取ります。${\displaystyle r}$原点を中心とする。第一象限における曲線は次のように表される。${\displaystyle f(x)=-x+r}$長さは

$${\displaystyle s=\int _{0}^{r}1+\left|-1\right|\,dx=2r.}$$

この値を乗算すると${\displaystyle 4}$残りの象限を考慮すると、${\displaystyle 8r}$これはタクシーの円周と一致する。 ^{[ 8 ]}次に、半径のユークリッド円を考える。${\displaystyle r}$原点を中心としており、それは次のように表される。${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$第一象限における弧長は次式で与えられる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{0}^{r}1+\left|{\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\right|\,dx\\[6pt]&=\left.x+{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}{\vphantom {\frac {1}{1}}}\right|_{0}^{r}\\[6pt]&=r-(-r)\\[6pt]&=2r\end{aligned}}}$$

残りの象限を考慮すると、${\displaystyle 4\times 2r=8r}$再び。したがって、タクシー円の円周とタクシー距離におけるユークリッド円の円周は等しい。^{[ 9 ]}実際、任意の関数に対して${\displaystyle f}$これは、区間上で単調かつ微分可能であり、連続微分が可能である。${\displaystyle [a,b]}$弧の長さ${\displaystyle f}$以上${\displaystyle [a,b]}$は${\displaystyle (ba)+\left|f(b)-f(a)\right|}$[ ^{10 ]​}

2 つの三角形が合同であるのは、対応する 3 つの辺の距離が等しく、対応する 3 つの角の大きさが等しい場合に限ります。ユークリッド幾何学では、三角形の合同を保証する定理がいくつかあります。具体的には、角-角-辺 (AAS)、角-辺-角 (ASA)、辺-角-辺 (SAS)、および辺-辺-辺 (SSS) です。しかし、タクシー幾何学では、SASAS のみが三角形の合同を保証します。^{[ 11 ]}

例えば、角度が 45-90-45 である 2 つの直角二等辺三角形を考えてみましょう。どちらの三角形の 2 つの脚の長さはタクシーの長さ 2 ですが、斜辺は合同ではありません。この反例は、AAS、ASA、および SAS を排除します。また、AASS、AAAS、および ASASA も排除します。3 つの合同な角と 2 つの辺があっても、タクシー幾何学では三角形の合同が保証されません。したがって、タクシー幾何学における唯一の三角形の合同定理は SASAS であり、対応する 3 つの辺はすべて合同でなければならず、対応する角のうち少なくとも 2 つが合同でなければなりません。^{[ 12 ]}この結果は主に、タクシー幾何学では線分の長さがその向きに依存するという事実によるものです。

劣決定線形方程式系を解く場合、パラメータベクトルの正則化項は、$\displaystyle \ell _{1}}$ベクトルのノルム（タクシージオメトリ）^{[ 13 ]}このアプローチは、圧縮センシングと呼ばれる信号回復フレームワークに現れます。

タクシーキャブジオメトリは、離散頻度分布の違いを評価するために使用できます。たとえば、RNA スプライシングでは、スプライス部位付近の各ヌクレオチドに各ヘキサマーが出現する確率をプロットしたヘキサマーの位置分布をL1 距離と比較できます。各位置分布は、各エントリが特定のヌクレオチドからヘキサマーが始まる可能性を表すベクトルとして表すことができます。2 つのベクトル間の L1 距離が大きいほど、分布の性質に大きな違いがあることを示し、距離が小さいほど、分布の形状が似ていることを示します。これは、2 つの分布曲線の間の面積を測定することと同じです。各セグメントの面積は、その点における 2 つの曲線の可能性の絶対差だからです。すべてのセグメントについて合計すると、L1 距離と同じ尺度が得られます。^{[ 14 ]}