Loading article…
数学的解析において、階段のパラドックスは、曲線の極限が必ずしもその長さを保存するわけではないことを示す病的な例である。[1]これは、長さが減少する水平線分と垂直線分から形成される単位正方形内の一連の「階段」多角形チェーンで構成され、これらの階段は正方形の対角線に均一に収束します。[2]ただし、各階段の長さは 2 であるのに対し、対角線の長さは2 の平方根であるため、階段の長さのシーケンスは対角線の長さに収束しません。[3] [4]マーティン・ガードナーはこれを「古代の幾何学的パラドックス」と呼んでいます。[5]これは、均一収束する曲線の場合、曲線の長さは曲線の連続関数ではないことを示しています。[6]
任意の滑らかな曲線では、曲線に沿って連続する頂点を結び、線分の長さが 0 に減少する多角形鎖は、常に弧の長さに収束します。階段状の曲線が正しい長さに収束しないのは、いくつかの頂点が対角線上にないという事実によって説明できます。[7]高次元では、シュワルツのランタンが類似の例を提供し、曲面に点ごとに収束する多面体表面は、頂点がすべて曲面上にある場合でも、必ずしもその面積に収束するわけではないことを示しています。[8]
このパラドックスは、数学教育において円弧の長さを注意深く定義する必要性を強調するだけでなく、[9]デジタル幾何学にも応用され、ピクセル間の境界の長さを単純に合計するのではなく、ピクセル化された形状の周囲を推定する方法を導きます。[10]
参照
- 海岸線のパラドックス、直線部分の近似が発散する同様のパラドックス
- エイリアシング、ピクセル化によって生じる不正確さのより一般的な現象
- カントール階段、単位正方形の対角線に沿ったフラクタル曲線
- タクシーの幾何学、階段と対角線の長さが等しい
参考文献
- ^ モスコヴィッチ、イヴァン（2006）、ループ論理問題とその他のパズル、ニューヨーク：スターリング出版、p. 23、ISBN 9780486490694
- ^ ファレル、マーガレット A. (1975 年 2 月)、「直感的な飛躍か、それとも非学術的な過失か?」『数学教師』、68 (2): 149–152、doi :10.5951/mt.68.2.0149、JSTOR 27960047
- ^ セダガット、H.（2022）、実分析と無限、オックスフォード大学出版局、p.9、ISBN 9780192895622
- ^ スチュワート、イアン（2017）、「正方形の対角線」、無限：非常に短い入門、オックスフォード大学出版局、pp. 43＆54、ISBN 9780191071515
- ^ トンプソン、シルバヌス P. ;ガードナー、マーティン(1998)、「付録: 微積分に関するレクリエーション問題」、Calculus Made Easy、Palgrave、pp. 296–325305～306ページを参照。
- ^ シニツキー、イリヤ; イラニ、バットシェバ (2016)、「変化と不変性：数と形への代数的洞察に関する教科書」、センス出版社、pp. 375–376、doi :10.1007/978-94-6300-699-6、ISBN 978-94-6300-699-6
- ^ Krantz, Steven G. (2010)、「15.1: 曲線の長さの測定方法」、An Episodic History of Mathematics: Mathematical Culture Through Problem Solving、MAA Textbooks、ワシントン DC: Mathematical Association of America、pp. https://books.google.com/books?id=ulmAH-6IzNoC&pg=PA249、ISBN 978-0-88385-766-3、MR 2604456
- ^ オグルヴィ、C. スタンレー(1962)、「7 ページの注記」、明日の数学: アマチュアのための未解決問題、オックスフォード大学出版局、pp. 155–161
- ^ ベネット、アルバート A. (1920 年 2 月 10 日)、「幾何学における極限証明」、テキサス数学教師会報、5 (2): 12–22特に16ページを参照
- ^ クレット、ラインハルト、イップ、ベン（2000）、「デジタル曲線の長さ」、マシングラフィックスとビジョン、9（3）：673–703
外部リンク
- 短いメモ: 階段のパラドックスの拡張