トレース図

数学において、トレース図は、線型代数および多重線型代数の計算を実行するグ​​ラフィカルな手段です。トレース図は、一部の辺に行列のラベルが付けられた (わずかに修正された)グラフとして表すことができます。最も単純なトレース図は、行列のトレースと行列式を表します。クラメールの規則やケイリー・ハミルトンの定理など、線型代数のいくつかの結果には、簡単な図式的な証明があります。これらは、ペンローズのグラフィカル表記法と密接に関連しています。

V を体F上のn次元のベクトル空間( n ≥ 2)とし、 Hom( V , V ) がV上の線型変換を表すものとします。nトレース図は、集合V _i ( i  = 1, 2,  n ) が次数iの頂点から構成されるグラフで、次の追加構造が含まれます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}=(V_{1}\sqcup V_{2}\sqcup V_{n},E)}$

• グラフ内の各頂点における繊毛。これは、その頂点における隣接する辺の明示的な順序付けです。
• 各次数2の頂点を線形変換に関連付けるラベル付けV ₂ → Hom( V , V )。

n  = 2 の場合、  V ₂とV _{n は}異なる集合として扱われる点に注意してください。フレーム トレース ダイアグラムは、次数 1 の頂点V _{1 を}入力と出力と呼ばれる 2 つの互いに素な順序付きコレクションに分割したトレース ダイアグラムです。

トレース図の基礎となる「グラフ」には、次のような特殊な機能がある場合がありますが、これらは必ずしもグラフの標準的な定義に含まれているわけではありません。

• ループは許可されます (ループは頂点をそれ自身に接続するエッジです)。
• 頂点のないエッジは許可され、小さな円で表されます。
• 同じ 2 つの頂点間に複数のエッジが存在することは許可されます。

• トレース図を描くとき、 ​​n頂点の繊毛は通常、2 つの入射エッジ間の小さなマーク (上の図では小さな赤い点) で表されます。エッジの特定の順序は、このマークから反時計回りに進みます。
• 次数 2 の頂点における繊毛とラベル付けは、単一の有向ノードに結合され、最初のエッジ (入力エッジ) と 2 番目のエッジ (出力エッジ) を区別できるようになります。
• フレーム付き図は、入力を図の下部に、出力を図の上部に配置して描画されます。どちらの場合も、順序は左から右に読むことに対応します。

すべてのフレーム付きトレース図は、ベクトル空間Vのテンソル冪間の多重線型関数に対応します。次数 1 の頂点は関数の入力と出力に対応し、次数n の頂点は一般化レヴィ-チヴィタ記号(行列式に関連する反対称テンソル) に対応します。図に出力ストランドがない場合、その関数はテンソル積をスカラーにマッピングします。次数 1 の頂点がない場合、図は閉じていると言われ、対応する関数はスカラーと同一視される場合があります。

定義により、トレース図の関数は、符号付きグラフ色付けを使用して計算されます。グラフのエッジを n 個のラベルで色付けし、同じ頂点に隣接する 2 つのエッジが同じラベルを持たないようにするには、頂点のラベルと行列ラベルに隣接するラベルに基づいて重みを割り当てます。これらの重みは、図の関数の係数になります。

実際には、トレース ダイアグラムの関数は、通常、ダイアグラムを機能がわかっている小さな部分に分解することによって計算されます。その後、個々の関数を再構成することで、全体の関数を計算できます。

いくつかのベクトル恒等式はトレース図を使って簡単に証明できます。このセクションでは 3 トレース図について説明します。図を関数に変換すると、次数 3 の頂点の繊毛の位置は結果の関数に影響を及ぼさないことが示されます。そのため、繊毛の位置は省略できます。

3次元ベクトルの 外積と内積は次のように表される。

この図では、関数への入力は、図の下部の黄色のボックス内のベクトルとして示されています。外積図には出力ベクトルがあり、図の上部の自由ストランドで表されます。内積図には出力ベクトルがないため、その出力はスカラーです。

最初の例として、スカラー三重積の恒等式を考えてみましょう。

${\displaystyle (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} =\mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {w} \times \mathbf {u} )\cdot \mathbf {v} =\det(\mathbf {u} \mathbf {v} \mathbf {w} ).}$

これを図式的に証明するために、次の図はすべて同じ 3 トレース図 (上記の定義で指定) の異なる描写であることに注意してください。

上記の外積と内積の図を組み合わせると、左端の 3 つの図は、上記の恒等式の左端の 3 つのスカラー三重積とまったく同じであると読み取ることができます。右端の図は det[ u v w ] を表していることもわかります。それぞれが同じ図の関数の異なる表現であるため、スカラー三重積の恒等式が成り立ちます。

2つ目の例として、

（等式は、基になる多重線型関数に対して恒等式が成り立つことを示している）。この種の恒等式は、図を「曲げる」か、より多くの図を添付することによって変化しないことを示すことができる。ただし、その変化は恒等式内のすべての図にわたって一貫している必要がある。したがって、図の上部を下部に曲げ、各自由辺にベクトルを添付すると、

これは

${\displaystyle (\mathbf {x} \times \mathbf {u} )\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {x} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )-(\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} )(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ),}$

4 つの 3 次元ベクトルを関連付けるよく知られた恒等式。

単一の行列ラベルを持つ最も単純な閉じた図は、行列の次元のみに依存するスカラー因子までの特性多項式の係数に対応します。これらの図の 1 つの表現を以下に示します。ここで、 は、基礎となるベクトル空間の次元nのみに依存するスカラー因子までの等式を示すために使用されます。 ${\displaystyle \propto}$

。

G をn×n 行列の群とします。閉じたトレース図にk 個の異なる行列のラベルが付けられている場合、それは から多重線型関数の代数への関数として解釈できます。この関数は同時共役に対して不変です。つまり、 に対応する関数は、任意の可逆 に対してに対応する関数と同じです。 ${\displaystyle G^{k}}$${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{k})}$${\displaystyle (ag_{1}a^{-1},\ldots ,ag_{k}a^{-1})}$${\displaystyle a\in G}$

トレース図は、定義をわずかに変更することで、特定のリー群に特化することができます。この文脈では、トレース図はバードトラック、テンソル図、またはペンローズグラフィカル表記法と呼ばれることもあります。

トレース図は、物理学者によって主にリー群を研究するためのツールとして使用されてきました。最も一般的な用途は、表現論を使用してトレース図からスピン ネットワークを構築することです。数学では、トレース図は特性多様体を研究するために使用されてきました。

• 多重線形マップ
• ゲイングラフ

書籍:

• 群論におけるダイアグラム技法、GE ステッドマン、ケンブリッジ大学出版局、1990 年
• 群論: バードトラック、リー、例外群、プレドラグ・クヴィタノヴィッチ、プリンストン大学出版、2008 年、http://birdtracks.eu/