6次元多面体

6 次元 幾何学において、6 次元多面体または6 多面体は、5 多面体面で囲まれた多面体です。

6 次元多面体は、頂点、辺、面、セル(3 面)、4 面、5 面を持つ閉じた 6 次元図形です。頂点は6 つ以上の辺が交わる点です。辺は4 つ以上の面が交わる線分で、面は3 つ以上のセルが交わる多角形です。セルは多面体です。4 面は多面体であり、5 面は5 次元多面体です。さらに、次の要件を満たす必要があります。

• 各 4 面は、正確に 2 つの 5 面 (ファセット) に結合する必要があります。
• 隣接するファセットは同じ 5 次元超平面内にありません。
• この図は、要件を満たす他の図を組み合わせたものではありません。

任意の6次元多面体の位相はベッティ数とねじれ係数によって定義される。^[1]

多面体を特徴付けるために使用されるオイラー特性の値は、高次元に一般化することはできず、基礎となる位相が何であれ、すべての6次元多面体に対してゼロになります。高次元で異なる位相を確実に区別するためのオイラー特性のこの不十分さは、より洗練されたベッティ数の発見につながりました。^[1]

同様に、多面体の配向可能性の概念は、トーラス多面体の表面のねじれを特徴付けるには不十分であり、これがねじれ係数の使用につながった。^[1]

6 次元多面体は、「凸性」や「対称性」などの特性によって分類できます。

• 6 次元多面体は、その境界 (5 面、4 面、セル、面、および辺を含む) が自己交差せず、6 次元多面体の任意の 2 点を結ぶ線分が 6 次元多面体またはその内部に含まれる場合、凸面です。それ以外の場合、非凸面です。自己交差する 6 次元多面体は、非凸ケプラー・ポアンソ多面体の星のような形状との類似性から、星型 6 次元多面体とも呼ばれます。
• 正6 次元多面体には、正 5 次元多面体と同じ面がすべてあります。すべての正 6 次元多面体は凸面です。

• 半正則6 次元多面体には、正則 4 次元多面体の面が 2 つ以上含まれます。このような図形は2 ₂₁と呼ばれる 1 つの図形だけです。
• 一様 6 次元多面体には、すべての頂点が等価となる対称群があり、その面は一様 5 次元多面体です。一様多面体の面は必ず正則になります。

• 6 次元多面体は、2 つの低次元多面体の直積によって構成されます。6 次元多面体は、その因数が均一であれば均一です。6次元立方体は、(正方形と立方体の積である) 角柱状ですが、因数から継承される対称性以外の対称性があるため、別個に考慮されます。
• 5次元空間のテッセレーションは、5 次元ユークリッド空間を5 次元多面体の面の規則的なグリッドに分割したものです。厳密に言えば、テッセレーションは「6D」ボリュームを囲まないため 6 次元多面体ではありませんが、多くの点で 6 次元多面体に似ているため、完全性のためにここに含めています。均一な 5 次元空間のテッセレーションは、頂点が空間群によって関連付けられ、面が均一な 5 次元多面体であるものです。

正6次元多面体は、各セルの周囲にt個の{p,q,r,s} 5次元多面体ファセットを持つSchläfli記号{p,q,r,s,t}で表されるCoxeter群から生成できます。

このような凸正則6次元多面体は3つしかありません。

• {3,3,3,3,3} - 6単体
• {4,3,3,3,3} - 6 キューブ
• {3,3,3,3,4} - 6-オルソプレックス

5 次元以上の非凸正多面体は存在しません。

3 つの凸正則 6 次元多面体の場合、その要素は次のとおりです。

ここには、交互構成で繰り返される 6 次元正多面体を含む、6 つの単純な一様凸 6 次元多面体があります。

拡張された6単体は、一様6単体ハニカムの頂点図形であり、6デミキューブハニカム、、頂点図形は6正方体で、面は6正方体と6正方体半立方体です。均一な2 ₂₂ハニカム、は、1 _{22 個の}多面体（頂点図形）と2 _{21 個}の面を持ちます。

• T. ゴセット：n 次元空間の正則図形と半正則図形について、数学のメッセンジャー、マクミラン、1900 年
• A. ブール・ストット:正多面体と空間充填からの準正則の幾何学的演繹、Koninklijke academy van Wetenschappen width Unit Amsterdam の Verhandelingen、Eerste Sectie 11,1、アムステルダム、1910
• HSMコクセター:
  • HSM Coxeter、MS Longuet-Higgins、JCP Miller: Uniform Polyhedra、ロンドン王立協会哲学論文集、ロンドン、1954年
  • HSM コクセター『正多面体』第 3 版、ドーバー ニューヨーク、1973 年
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• NW ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966 年
• Klitzing、Richard。「6D 均一多面体 (ポリペタ)」。

• 多面体の名前
• さまざまな次元の多面体、ジョナサン・バワーズ
• 多次元用語集
• ハイパースペースの用語集、ジョージ・オルシェフスキー。