2 22 ハニカム

幾何学において、2 ₂₂ハニカムは、6 次元ユークリッド空間の均一なモザイク分割です。これは、シュレーフリ記号{3,3,3 ^{2,2 } で表すことができます。これは、} 2 _{21 の} 面から構成され、 1 _{22 の} 頂点図形を持ち、各頂点の周りには 54 個の2 ₂₁多面体があります。

その頂点配置はE6 格子であり、E ₆リー群のルート系であるため、 E ₆ハニカムとも呼ばれます。

これは、6 次元空間内の 7 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

2ノードブランチの1つの端にあるノードを削除すると、 2 ₂₁が唯一のファセットタイプとして残ります。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、1 ₂₂、。

辺図形は頂点図形の頂点図形であり、ここでは双対5単体、t ₂ {3 ⁴ }である。。

面図形は辺図形の頂点図形であり、ここでは三角形の二重プリズム、{3}×{3}である。。

このタイル分割の各頂点は、6 次元で知られている最も高密度のパッキングにおける 5 次元球面の中心であり、接線数は72 で、頂点図 1 ₂₂の頂点によって表されます。

2 _×22ハニカムの頂点配置はE6格子_と呼ばれます。^[1]

[[3,3,3 ^2,2 ]]対称性を持つE ₆ ²格子は、2つのE ₆格子の結合によって構築できます。

∪

E ₆ ^*格子^[2] (または E ₆ ³ ) は [[3,3 ^2,2,2 ]] 対称性を持つ。E ₆ ^*格子のボロノイセルは、平行化された 1 ₂₂多面体であり、ボロノイ分割は、ビットトランケートされた 222 ハニカムである。^[3]これは、コクセター図の 3 つの枝のそれぞれから 1 つずつ、E ₆格子の頂点の 3 つのコピーによって構築される。

∪∪= デュアル。

群は幾何学的折り畳みによってに関連付けられているため、このハニカムは 4 次元の16 セル ハニカムに投影できます。 ${\displaystyle {\チルダ {E}}_{6}}$${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$

2 ₂₂ハニカムは、対称性を持つ 127 個の均一なハニカム (39 個が固有) のうちの 1 つです。そのうち 24 個は、2 つの等しいリングの枝を持つ 2 重対称性 [[3,3,3 ^2,2 ]] を持ち、7 個は 3 つの枝すべてに同一のリングを持つ 6 重 (3 ! ) 対称性 [[3,3 ^2,2,2 ]] を持ちます。コクセター図は非線形グラフであるため、このファミリーには正規のハニカムは存在しませんが、2 ₂₂と双平行化 222 は同位体であり、面の種類はそれぞれ2 ₂₁と平行化 1 ₂₂多面体の 1 つだけです。 ${\displaystyle {\チルダ {E}}_{6}}$

2 ₂₂ハニカム​ 、1 22多面体面を修正しました。、プロプリズム{3}×{3}×{3}頂点図形。

そのファセットは、次のように E6* 格子の頂点配置を中心としています。

∪∪

ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、プロプリズム{3}×{3}×{3}が作成されます。。

3ノードの枝の端にあるノードを削除すると、唯一のファセットタイプである整流された1 ₂₂が残ります。。

2 番目の終了ノードを削除すると、2 種類の 5 面が定義されます。つまり、2 重 5 単体、0 ₂₂と2 重 5 直交複合、0 _{211 です}。

3 番目の終了ノードを削除すると、修正された 5 セル(0 ₂₁ ) と24 セル(0 ₁₁₁₎の 2 種類の 4 面が定義されます。

4 番目の終了ノードを削除すると、八面体(0 ₁₁ ) と四面体(0 ₂₀ ) の 2 種類のセルが定義されます。

2 _{22ハニカムは、}コクセターによってk ₂₂級数として表現された一様多面体の次元級数の 4 番目です。最後は、パラコンパクト双曲型ハニカム3 ₂₂です。各漸進的​​一様多面体は、前の多面体を頂点図形として構築されます。

2 ₂₂ハニカムは、別の次元シリーズ 2 _2kの 3 番目です。

• コクセター 『幾何学の美：12のエッセイ』、ドーバー出版、1999年、ISBN 978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構築） 
• コクセター 正多面体（1963年）、マクミラン社
  • Regular Polytopes、第 3 版、(1973)、Dover 版、ISBN 0-486-61480-8 (第 5 章: 万華鏡) 
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1] GoogleBook  
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• RT Worley, E6*のボロノイ領域. J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 43 (1987), 268–278.
• Conway, John H. ; Sloane, Neil JA (1998). Sphere Packings, Lattices and Groups ((第3版) ed.). ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9。p125-126, 8.3 6次元格子: E6とE6*
• Klitzing、リチャード。「6D ヘキサコーム x3o3o3o3o *c3o3o - jakoh」。
• Klitzing、リチャード。「6D ヘキサコーム o3o3x3o3o *c3o3o - ramoh」。