ウィグナーの定理

ウィグナーの定理は、ユージン・ウィグナーによって1931年に証明され、^[2]量子力学の数学的定式化の 基礎となっています。この定理は、回転、並進、CPT変換などの物理的対称性がヒルベルト状態空間上でどのように表現されるかを規定しています。

量子論における物理的状態は、位相因子を除いたヒルベルト空間の単位ベクトル、すなわちベクトルが張る複素直線または光線によって表される。さらに、ボルンの規則により、単位ベクトルと単位固有ベクトルの内積の絶対値、またはそれと同値なベクトルが張る直線間の角度の余弦二乗は、遷移確率に対応する。数学では射影ヒルベルト空間として知られる光線空間は、位相因子によって異なるという同値関係を除いたヒルベルト空間のすべての単位ベクトルの空間である。ウィグナーの定理により、内積の絶対値を保存する光線空間の変換はどれも、位相因子を除いた一意のヒルベルト空間のユニタリ変換または反ユニタリ変換によって表すことができる。結果として、光線空間上の対称群の表現は、ヒルベルト空間上の射影表現、または場合によっては通常の表現にまで持ち上げることができる。

量子力学の公理によれば、互いにスカラー非ゼロ倍である複素可分 ヒルベルト空間 内の状態ベクトルは同じ純粋状態を表す、つまり、ベクトルとは同じ状態を表す。^[3] 状態ベクトルに位相因子を乗じると、光線と呼ばれるベクトルの集合が得られる^{[4] [5]}${\displaystyle H}$${\displaystyle \Psi \in H\setminus \{0\}}$${\displaystyle \lambda \Psi}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle {\underline {\Psi}}=\left\{e^{i\alpha }\Psi :\alpha \in \mathbb {R} \right\}.}$

2つの非零ベクトルは、それらのベクトルが非零複素数だけ異なる場合に限り、同じ光線を定義します。あるいは、光線をノルム1のベクトルの集合、つまり単位光線とみなすこともできます。これは、直線を単位球面^{[6]と交差させることによって得られます。}${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}}$${\displaystyle \Psi _{1}=\lambda \Psi _{2}}$${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$

${\displaystyle SH=\{\Phi \in H\mid \|\Phi \|^{2}=1\}}$。

2つの単位ベクトルは、位相係数だけ異なる場合、同じ単位光線を定義します。これは物理学ではより一般的な図です。光線の集合は単位光線の集合と1対1に対応しており、それらを識別できます。また、物理的純粋状態と（単位）光線の間にも1対1の対応があり、次のように表されます。 ${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}}$${\displaystyle {\underline {\Psi _{1}}}={\underline {\Psi _{2}}}}$${\displaystyle \Psi _{1}=e^{i\alpha }\Psi _{2}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$

${\displaystyle \rho =P_{\Phi }={\frac {|\Phi \rangle \langle \Phi |}{\langle \Phi |\Phi \rangle }}}$

ここで は直線 上の直交投影です。どちらの解釈でも、またはの場合にははを表します。^{[nb 1]}${\displaystyle P_{\Phi }}$${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$${\displaystyle \Phi \in {\underline {\Psi }}}$${\displaystyle P_{\Phi }=P_{\Psi }}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$

すべての光線の成す空間は射影ヒルベルト空間であり、光線空間と呼ばれる。^[7]これは いくつかの方法で定義できる。例えば、 ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle H\setminus \{0\}}$

${\displaystyle \Psi \sim \Phi \Leftrightarrow \Psi =\lambda \Phi ,\quad \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\},}$

そして光線空間を商集合として定義する

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=(H\setminus \{0\})/{\sim }}$。

あるいは、球面上の同値関係の場合、単位光線空間は、（光線空間との表記上の区別なく）同値類の集合として定義される光線空間の具体化である。 ${\displaystyle SH}$

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=SH/\sim }$。

光線空間の3番目の同等の定義は、純粋状態光線空間、すなわち、ランク1の直交投影である密度行列である^{[説明が必要]}

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}}$。

がn次元、つまり である場合、 は複素射影空間と同型である。例えば、 ${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{n}:=H}$${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{n})}$

${\displaystyle \lambda _{1}|+\rangle +\lambda _{2}|-\rangle ,\quad (\lambda _{1},\lambda _{2})\in \mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}}$

ブロッホ球面上に点を生成します。リーマン球面 と同型です。 ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$

光線空間（すなわち射影空間）はベクトル空間ではなく、次元n + 1のベクトル空間におけるベクトル直線（次元 1 のベクトル部分空間）の集合です。たとえば、複素数の比（すなわち の元）の 2 つのベクトルとごとに、明確に定義された光線 が存在します。したがって、別個の光線（すなわち線形独立な直線）に対して、における形式の光線の射影直線が存在します。これは、およびによって張られる 2 次元複素平面内のすべての 1 次元複素直線です。ただし、ベクトル空間の場合とは異なり、独立した張集合は座標を定義するのに十分ではありません（射影フレーム を参照）。 ${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}\in H_{2}}$${\displaystyle (\lambda _{1}:\lambda _{2})}$${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle {\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}}$${\displaystyle {\underline {\Psi }}_{1},{\underline {\Psi }}_{2}}$${\displaystyle {\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}}$${\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})}$${\displaystyle \Psi _{1}}$${\displaystyle \Psi _{2}}$

上のヒルベルト空間構造は、光線空間上の追加の構造を定義します。光線相関（または光線積） を定義します。${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}={\frac {\left|\left\langle \Psi ,\Phi \right\rangle \right|}{\|\Phi \|\|\Psi \|}}={\sqrt {\mathrm {tr} (P_{\Psi }P_{\Phi })}},}$

ここで、はヒルベルト空間の内積、 はおよびの代表である。右辺は代表の選択とは無関係であることに注意する。この定義の物理的な意味は、量子力学の別の公理であるボルンの規則によれば、ヒルベルト空間における正規化された状態との間の遷移確率が次のように与えられることである。 ${\displaystyle \langle \,,\,\rangle }$${\displaystyle \Psi ,\Phi }$${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle P(\Psi \rightarrow \Phi )=|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}}$

つまり、光線空間上のボルンの規則を次のように定義できます。

${\displaystyle P({\underline {\Psi }}\to {\underline {\Phi }}):=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}.}$

幾何学的には、直線 と直線の間の角度を で定義できます。この角度は三角不等式を満たすことがわかり、リーマン計量であるフビニ・スタディ計量から導かれる光線空間上の計量構造を定義します。 ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$${\displaystyle \cos(\theta )=({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }})}$

大まかに言えば、対称変換とは「何も起こらない」^[8]または「視点の変化」^[9]であり、可能な実験の結果は変わりません。たとえば、均質な環境でシステムを平行移動しても、システムで行われた実験の結果に質的な影響はありません。等方性環境でシステムを回転する場合も同様です。数学的に同等の受動変換、つまり座標を変更してシステムをそのままにしておくことを考えれば、このことはさらに明らかになります。通常、ヒルベルト空間のドメインと値域は同じです。例外は (非相対論的理論では)電荷共役変換を受ける電子状態のヒルベルト空間です。この場合、電子状態は陽電子状態のヒルベルト空間にマッピングされ、その逆も同様です。ただし、これは対称性がヒルベルト空間の直和に作用することを意味します。

物理システムの変換は状態の変換であり、数学的にはヒルベルト空間の変換ではなく、その光線空間の変換である。したがって、量子力学では、物理システムの変換は全単射 光線変換を生じる。 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T:\mathbf {P} (H)&\to \mathbf {P} (H)\\{\underline {\Psi }}&\mapsto T{\underline {\Psi }}.\\\end{aligned}}}$

2 つの物理変換の合成と物理変換の反転も物理変換であるため、このようにして得られたすべての光線変換の集合は に作用する群です 。ただし、 のすべての全単射が対称変換として許容されるわけでは ありません。物理変換はボルンの規則を維持する必要があります。${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$

物理的な変換では、変換されたシステムと変換されていないシステムの遷移確率が保存される必要があります。

${\displaystyle P({\underline {\Psi }}\rightarrow {\underline {\Phi }})=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}=\left(T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}\right)^{2}=P\left(T\Psi \rightarrow T\Phi \right)}$

全単射光線変換は^[10]が成り立つ場合に限り対称変換と呼ばれる。幾何学的解釈では対称変換は光線空間の 等長変換である。${\displaystyle \mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (H)}$${\displaystyle T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)}$

定義を使用して検証できる対称変換に関するいくつかの事実:

• 2 つの対称変換の積、つまり連続して適用された 2 つの対称変換が対称変換です。
• あらゆる対称変換には逆変換が存在します。
• 恒等変換は対称変換です。
• 対称変換の乗算は結合的です。

対称変換の集合は、システムの対称群である群を形成する。システムの対称群に頻繁に現れる重要な部分 群には、

• 対称群とその部分群。これは粒子ラベルの交換において重要です。
• ポアンカレ群。これは時空の基本的な対称性を符号化します[注: 対称性は、与えられたシステムを記述する光線空間上のマップとして上記で定義されていますが、時空の対称性の概念は定義されておらず、明確ではありません]。
• SU(2)やSU(3)のような内部対称群。これらは量子力学系特有のアイソスピンや色荷などのいわゆる内部対称性を記述します。

これらのグループは、システムの対称グループとも呼ばれます。

定理を述べるには、いくつかの予備的な定義が必要である。ヒルベルト空間間の変換がユニタリであるとは、それが全単射であり、 ${\displaystyle U:H\to K}$

${\displaystyle \langle U\Psi ,U\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle .}$

の場合、 はユニタリ演算子に簡約され、その逆演算子はその随伴演算子に等しくなります。 ${\displaystyle H=K}$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{-1}=U^{\dagger }}$

同様に、変換が反ユニタリーであるのは、それが全単射であり、 ${\displaystyle A:H\to K}$

${\displaystyle \langle A\Psi ,A\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle ^{*}=\langle \Phi ,\Psi \rangle .}$

ヒルベルト空間間の ユニタリ変換が与えられたとき、定義する。${\displaystyle U:H\to K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{U}:\mathbf {P} (H)&\to \mathbf {P} (K)\\{\underline {\Psi }}&\mapsto {\underline {U\Psi }}\\\end{aligned}}}$

これは対称変換である。 $${\displaystyle T_{U}{\underline {\Psi }}\cdot T_{U}{\underline {\Phi }}={\frac {\left|\langle U\Psi ,U\Phi \rangle \right|}{\|U\Psi \|\|U\Phi \|}}={\frac {\left|\langle \Psi ,\Phi \rangle \right|}{\|\Psi \|\|\Phi \|}}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}.}$$

同様に、ヒルベルト空間間の反ユニタリー変換は対称変換を誘導する。ヒルベルト空間間の変換は、光線空間間の変換と両立できると言えるのは、 ${\displaystyle U:H\to K}$${\displaystyle T:\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (K)}$${\displaystyle T=T_{U}}$

${\displaystyle U\Psi \in T{\underline {\Psi }}}$

全てのために。^[11]${\displaystyle \Psi \in H\setminus \{0\}}$

ウィグナーの定理は上記の逆を述べている：^[12]

証明はウィグナー（1931、1959）、バーグマン（1964）、ワインバーグ（2002）に見られる。反ユニタリー変換は物理学ではあまり目立たない。それらはすべて時間の流れの方向の逆転に関連している。^[13]

注1 : ​​定理の一意性の部分の重要性は、それが 上の表現の一意性の度合いを指定することである。例えば、次のように考えがちである。 ${\displaystyle H}$

${\displaystyle V\Psi =Ue^{i\alpha (\Psi )}\Psi ,\alpha (\Psi )\in \mathbb {R} ,\Psi \in H\quad ({\text{wrong unless }}\alpha (\Psi ){\text{ is const.}})}$

は、 の場合には許容されるが、定理によればそうではない。^{[nb 2] [14]}実際、そのような は加法的ではない。 ${\displaystyle \alpha (\Psi )\neq \alpha (\Phi )}$${\displaystyle \langle \Psi ,\Phi \rangle =0}$${\displaystyle V}$

注 2 : がユニタリ演算子で表されなければならないか、反ユニタリ演算子で表されなければならないかは、位相によって決まります。 の場合、第 2コホモロジーには一意の生成元があり、 (すべての) 複素射影直線 に対してが成り立ちます。は同相写像なので、も生成され、したがって が成り立ちます。 がユニタリの場合 が成り立ち、 が反線型の場合 が成り立ちます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} H)=\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} K)\geq 1}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {P} H)}$${\displaystyle c_{\mathbb {P} H}}$${\displaystyle L\subset \mathbb {P} H}$${\displaystyle c_{\mathbb {P} H}\cap [L]=\deg _{L}(c_{\mathbb {P} H}|_{L})=1}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T^{*}c_{\mathbb {P} K}}$${\displaystyle H^{2}(\mathbb {P} H)}$${\displaystyle T^{*}c_{\mathbb {P} K}=\pm c_{\mathbb {P} H}}$${\displaystyle U:H\to K}$${\displaystyle T_{U}^{*}c_{\mathbb {P} K}=c_{\mathbb {P} H}}$${\displaystyle A:H\to K}$${\displaystyle T_{A}^{*}c_{\mathbb {P} K}=-c_{\mathbb {P} H}}$

注3 ：ウィグナーの定理は射影幾何学の基本定理と密接に関係している^[15]

Gが対称群（後者の意味で光線空間に作用する系の対称群の部分群として埋め込まれている）であり、 f , g , h ∈ Gでfg = hであるとき、

${\displaystyle T(f)T(g)=T(h),}$

ここで、Tは光線変換である。ウィグナーの定理の一意性部分から、適合する代表値Uに対して、

${\displaystyle U(f)U(g)=\omega (f,g)U(fg)=e^{i\xi (f,g)}U(fg),}$

ここでω ( f , g )は位相係数である。^[注3]

関数ωは2-コサイクルまたはシュア乗数と呼ばれます。あるベクトル空間Vに対して上記の関係を満たす写像U : G → GL( V )は、射影表現または光線表現と呼ばれます。ω ( f , g ) = 1の場合、それは表現と呼ばれます。

数学と物理学では用語が異なることに注意する必要があります。リンク先の記事では、射影表現という用語は少し意味が異なりますが、ここで提示されている用語は要素として含まれており、数学自体はもちろん同じです。対称群g → T ( g )の実現が単位光線空間 S = PHへの作用で与えられる場合、それは数学的な意味での射影表現G → PGL( H )であり、ヒルベルト空間でのその表現は物理的な意味での射影表現G → GL( H )です。

最後の関係を積fghに（数回）適用し、 H上の演算子の乗算の既知の結合性を利用すると、次の式が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (f,g)\omega (fg,h)&=\omega (g,h)\omega (f,gh),\\\xi (f,g)+\xi (fg,h)&=\xi (g,h)+\xi (f,gh)\quad (\operatorname {mod} 2\pi ).\end{aligned}}}$

また、

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\xi (g,e)&=\xi (e,g)=0\quad (\operatorname {mod} 2\pi ),\\\omega \left(g,g^{-1}\right)&=\omega (g^{-1},g),\\\xi \left(g,g^{-1}\right)&=\xi (g^{-1},g).\\\end{aligned}}}$

フェーズを再定義すると、

${\displaystyle U(g)\mapsto {\hat {U}}(g)=\eta (g)U(g)=e^{i\zeta (g)}U(g),}$

これは最後の定理によって許される。^{[16] [17]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\omega }}(g,h)&=\omega (g,h)\eta (g)\eta (h)\eta (gh)^{-1},\\{\hat {\xi }}(g,h)&=\xi (g,h)+\zeta (g)+\zeta (h)-\zeta (gh)\quad (\operatorname {mod} 2\pi ),\end{aligned}}}$

ここで、ハット量は次のように定義される。

${\displaystyle {\hat {U}}(f){\hat {U}}(g)={\hat {\omega }}(f,g){\hat {U}}(fg)=e^{i{\hat {\xi }}(f,g)}{\hat {U}}(fg).}$

以下のかなり技術的な定理とその他多くの定理は、わかりやすい証明とともに、Bargmann (1954) に記載されています。

フェーズを自由に選択することで、フェーズ要因を簡素化できます。グループによっては、フェーズを完全に排除することもできます。

ローレンツ群とその部分群である回転群 SO(3)の場合、位相は射影表現に対してω ( g , h ) = ± 1 となるように選択できる。それぞれの普遍被覆群SL (2,C)とSpin(3)に対しては、定理に従ってω ( g , h ) = 1となることが可能であり、つまりそれらは適切な表現である。

位相の再定義の研究には群コホモロジーが含まれる。上記のωのハット付きバージョンとハットなしバージョンとして関連する 2 つの関数は、コホモロジーであると言われる。これらは同じ第 2 コホモロジークラスに属し、つまり、Gの第 2 コホモロジー群であるH ² ( G )の同じ要素によって表される。 H ² ( G )の要素が自明な関数ω = 0を含む場合、それは自明であると言われる。^{[17]このトピックは}、リー代数とリー代数コホモロジーのレベルでも研究できる。^{[19] [20]}

射影表現g → T ( g )が弱連続であると仮定すると、2つの関連する定理を述べることができる。（弱）連続性の直接的な帰結は、恒等成分がユニタリ演算子によって表されるということである。^{[nb 4]}

ウィグナーの定理は純粋状態のヒルベルト空間上の自己同型に適用される。カディソン^[22]とサイモン^[23]の定理は混合状態（トレースクラスの正の作用素）の空間に適用され、対称性のわずかに異なる概念を使用する。^{[24] [25]}

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