超選択

量子力学において、超選択は選択規則の概念を拡張するものである。

超選択規則は、特定の観測量の固有状態間のコヒーレンスを示す量子状態の準備を妨げる仮定規則である。^{[ 1 ]}これはもともと、ジャン・カルロ・ウィック、アーサー・ワイトマン、ユージン・ウィグナーによって、選択規則の制約を超えて量子理論に追加の制約を課すために 導入された。

数学的に言えば、2つの量子状態$\displaystyle \psi _{1}}$そして$\displaystyle \psi _{2}}$選択ルールによって分離されている場合${\displaystyle \langle \psi _{1}|H|\psi _{2}\rangle =0}$与えられたハミルトニアンに対して${\displaystyle H}$スーパーセレクションルールによって分離されている場合${\displaystyle \langle \psi _{1}|A|\psi _{2}\rangle =0}$すべての物理的観測量に対して${\displaystyle A}$観測可能なものが接続されていないため${\displaystyle \langle \psi _{1}|}$そして${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$それらは量子重ね合わせ状態に置くことができない${\displaystyle \alpha |\psi _{1}\rangle +\beta |\psi _{2}\rangle }$、および/または量子重ね合わせは、2 つの状態の古典的な混合と区別できない。また、2 つの状態間で異なる古典的に保存される量が存在することも意味する。^{[ 2 ]}

超選択セクターは、量子力学において、*-代数の表現を既約成分に分解する際に用いられる概念である。これは、異なる既約成分からの非ゼロ状態の重ね合わせの相対位相は観測可能ではない（観測量の期待値ではそれらを区別できない）ため、すべての自己共役演算子が観測可能であるとは限らないという考え方を形式化するものである。

A を単位元を持つ* -代数、Oを自己共役元が観測量に対応する単位元を持つ *-部分代数とする。Oの単位元表現は、Oの既約単位元表現の直和として分解できる。この分解における各同型成分は、超選択セクターと呼ばれる。観測量は超選択セクターを保存する。

対称性はしばしば超選択セクターを生み出す（ただし、これが超選択セクターが生じる唯一の方法ではない）。群GがAに作用し、HがAとGの両方のユニタリ表現であり、すべてのg ∈ G、a ∈ A、ψ ∈ Hに対して同変であると仮定する。

${\displaystyle g(a\cdot \psi )=(ga)\cdot (g\psi )}$

O がGの下でAの不変部分代数であると仮定します(すべての観測量はGの下で不変ですが、 Gの下で不変なすべての自己共役演算子が必ずしも観測量であるとは限りません)。Hは超選択セクターに分解され、各セクターはGの既約表現とOの表現のテンソル積です。

これは、 H がGの拡張または被覆Kの表現にすぎないと仮定することで一般化できます。（例えば、G はローレンツ群、K は対応するスピン二重被覆とすることができます。）あるいは、 G をリー代数、リー超代数、またはホップ代数に置き換えることもできます。

閉じたループ（すなわち、周期Lの周期線）に閉じ込められた量子力学的粒子を考える。超選択セクターは、0 から 2π の間の角度 θ でラベル付けされる。単一の超選択セクター内のすべての波動関数は、次の式を満たす。

${\displaystyle \psi (x+L)=e^{i\theta }\psi (x).}$

無限に多くの自由度を持つ巨大な物理システムは、たとえ十分なエネルギーを持っていたとしても、必ずしもすべての可能な状態を経るとは限りません。磁石を特定の方向に磁化すると、どの温度でも各スピンは変動しますが、全体の磁化は決して変化しません。その理由は、それぞれの異なる位置にある無限に多くのスピンがすべて同じように同時に変動することは、極めて起こりにくいからです。

大きなシステムには、しばしば超選択セクターが存在する。固体では、格子対称性ではないさまざまな回転と並進が超選択セクターを定義する。一般に、超選択ルールとは、局所的なゆらぎによって決して変化しない量のことである。磁石の磁化のような秩序パラメーターの他に、巻き数のような位相的量もある。弦が円形のワイヤーに巻き付けられている場合、巻き数の合計は局所的なゆらぎによって変化しない。これは通常の保存則である。ワイヤーが無限の線である場合、真空がシステム全体で一貫した巻き数のゆらぎを持たないという条件下では、保存則は超選択ルールとなる。つまり、巻きがほどける確率はゼロである。

量子ゆらぎ、位相型経路積分の異なる配置から生じる重ね合わせ、そしてボルツマン型経路積分から生じる統計的ゆらぎが存在する。これらの経路積分はいずれも、実質的に無限の系における大きな変化には、ゆらぎ間のあり得ないほどの共謀が必要となるという性質を持つ。したがって、統計力学的超選択則と量子力学的超選択則の両方が存在する。

真空が対称性の下で不変である理論では、電荷が保存される場合、保存電荷によって超選択セクターが導かれる。我々の宇宙では電荷は保存されているため、これは一見自明な例のように思える。しかし、超伝導体が空間を満たす場合、あるいは同等にヒッグス相では、電荷は依然として全体的に保存されるが、超選択セクターを定義するものではなくなる。超伝導体の揺動によって、電荷を非常に少ないコストで任意の体積に持ち込むことができる。この場合、真空の超選択セクターはヒッグス場の方向によってラベル付けされる。異なるヒッグス方向は厳密な対称性によって関連付けられているため、それらはすべて完全に等価である。これは、対称性の破れ方向と保存電荷の間に深い関係があることを示唆している。

ヒッグス機構

素粒子物理学の標準模型において、電弱セクターでは、低エネルギー模型はSU(2)であり、U(1)はヒッグス二重項によってU(1)に破れる。この構成を決定する唯一の超選択則は、全電荷である。モノポールが存在する場合、モノポール電荷も考慮に入れなければならない。

ヒッグス t パラメータが真空期待値を持たないように変化すると、宇宙は破れていない SU(2) および U(1) ゲージ群の下で対称になります。SU(2) の結合が極めて弱く、非常に遠い距離でのみ閉じ込められる場合、SU(2) 群の表現と U(1) 電荷はどちらも超選択規則になります。しかし、SU(2) の結合がゼロでない場合、非自明な表現における任意の状態の質量は無限であるため、超選択セクターは無限の質量によって分離されます。

温度を変化させることで、ヒッグス粒子のゆらぎは有限温度において期待値をゼロにすることができる。この温度以上では、SU(2)とU(1)の量子数が超選択セクターを記述する。相転移点以下では、電荷のみが超選択セクターを定義する。

カイラルクォーク凝縮

クォークの質量がゼロとなるカイラル極限におけるQCDのグローバルなフレーバー対称性を考えてみましょう。これは、アップクォークとダウンクォークがごくわずかではあるもののゼロではない質量を持つ、私たちが住む宇宙と厳密には一致しませんが、アイソスピンが保存される限りにおいて、非常に良い近似となります。

対称性回復温度と呼ばれるある一定の温度以下では、相は秩序化される。カイラル凝縮体が形成され、質量の小さいパイ中間子が生成される。SU(N _f )電荷、アイソスピン、ハイパーチャージ、およびSU(3)が意味を持つ。QCD温度以上では、SU(N _f ) × SU(N _f )およびカラーSU(3)電荷が意味を持つ無秩序相が存在する。

QCDの閉じ込め解除温度が、カイラル凝縮体が融解する温度と一致するかどうかは、未解決の問題である。

• Khoruzhiĭ, Sergeĭ Sergeevich; Horuzhy, SS (1990), Introduction to Algebraic Quantum Field Theory , Springer, ISBN 978-90-277-2722-0。
• Moretti, Valter (2017), Spectral Theory and Quantum Mechanics: Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation. , Springer, ISBN 978-3-319-70705-1。
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• Halvorson, Hans; Mueger, Michael (2006). "代数的量子場理論". arXiv : math-ph/0602036 .