オペレーターのトポロジー

関数解析の数学分野では、バナッハ空間 $X$ 上の有界線形作用素の代数 $B($ $X$ $)$ に対していくつかの標準的な位相が与えられています。

導入

させて $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ バナッハ空間上の線形作用素の列とする $X$ 。次の記述を考えてみましょう。 $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ある演算子に収束する $T$ の上 $X$ これはいくつかの異なる意味を持つ可能性があります。

もし $\displaystyle \|T_{n}-T\|\to 0}$ つまり、演算子ノルムは $T_{n}-T$ （最高位の $\|T_{n}x-Tx\|_{X}$ 、どこ $x$ 単位球の範囲 $X$ ) は以下に収束する $0$ 私たちはこう言います $T_{n}\to T$ 均一演算子トポロジーにおいて。
もし $T_{n}x\to Tx$ すべての人々のために $x\in X$ すると、私たちはこう言います $T_{n}\to T$ 強作用素トポロジーにおいて。
最後に、すべての $x\in X$ 我々は持っています $T_{n}x\to Tx$ 弱いトポロジーにおいて $X$ これはつまり $F(T_{n}x)\to F(Tx)$ すべての連続線形汎関数に対して $F$ の上 $X$ この場合、次のように言います。 $T_{n}\to T$ 弱演算子トポロジーにおいて。

B( H )上のトポロジーのリスト

上記で使用した位相以外にも、 $B(X)$ 上に定義できる位相は多数あります。多くの場合、適切な一般化が可能であるにもかかわらず、そのほとんどは最初は $X = H$ がヒルベルト空間の場合にのみ定義されます。以下にリストされている位相はすべて局所凸であり、これはそれらが半ノルムの族によって定義されることを意味します。

解析学において、位相は開集合が多い場合は強位相、開集合が少ない場合は弱位相と呼ばれ、対応する収束様式はそれぞれ強収束と弱収束と呼ばれる。（位相学においては、これらの用語は反対の意味を示唆する可能性があるため、強収束と弱収束はそれぞれ細密収束と粗密収束に置き換えられる。）右の図はこれらの関係をまとめたもので、矢印は強収束から弱収束へと向かう方向を示している。

$H$ がヒルベルト空間である場合、ヒルベルト空間作用素の線形空間 $B(X)$ は（一意の）前双対を持つ。 $B(H)_{*}$ トレースクラス演算子から構成され、その双対は $B(X)$ である。前双対で正である wの半ノルム $p w (x)は、$ $B($ $w$ $,$ $x$ $*$ $x$ $)$ $1/2$ と定義される。

$B がベクトル空間$ $A$ 上の線形写像のベクトル空間である場合、 $σ(A, B)は、$ $B$ のすべての要素が連続となるような $A$ 上の最も弱い位相として定義されます。

ノルム位相、均一位相、または均一作用素位相は、 $B($ $H$ $)$ 上の通常のノルム || x ||によって定義されます。これは、以下の他のすべての位相よりも強力です。
弱い（バナッハ空間）位相は $σ(B(H), B(H) *)$ であり、言い換えれば、双対 $B(H) *$ のすべての要素が連続となるような最も弱い位相です。これはバナッハ空間 $B(H)$ 上の弱い位相です。これは超弱位相や弱い作用素位相よりも強い位相です。（注意：弱いバナッハ空間位相、弱い作用素位相、超弱位相はすべて弱い位相と呼ばれることがありますが、それぞれ異なります。）
マッキー位相またはアレンス・マッキー位相は、双対がB( $H$ $)$ $*$ となるような、 $B$ $($ $H$ $)$ 上の最も強い局所凸位相であり、 $Bσ(B($ $H$ $)$ $*$ 、 $B($ $H$ $)$ $*$ $のB($ $H$ ) -コンパクト凸部分集合 $)$ 上の一様収束位相でもあります。これは、以下のすべての位相よりも強いです。
σ -strong- ^*位相または超強- ^*位相は、随伴写像が連続となる超強位相よりも強い、最も弱い位相です。これは、 $B($ $H$ $)$ $*$ の正の要素 $wに対する半ノルムの族$ $p w (x)$ および $p w (x *)$ によって定義されます。これは、以下のすべての位相よりも強いです。
σ-強位相、超強位相、最強位相、最強作用素位相は、 $B($ $H$ $)$ $*$ の正の要素 $w$ に対する半ノルムの族 $p w (x)によって定義されます。これは、強$ ^*位相を除く以下のすべての位相よりも強力です。（注意：名前は「最強位相」ですが、ノルム位相よりも弱いです。）
σ弱位相、超弱位相、弱^*演算子位相、弱*位相、弱位相、または $σ(B( H), B(H) *$ )位相は、 $B($ $H$ $)$ $*$ の要素wに対する半ノルムの族 |( w , x )|によって定義されます。これは弱演算子位相よりも強い位相です。（注意：弱バナッハ空間位相、弱演算子位相、超弱位相はすべて弱位相と呼ばれることがありますが、それぞれ異なります。）
強^*演算子トポロジーまたは強^*トポロジーは、 $h$ $\in$ $H$ に対する半ノルム || x ( h )|| および || x ^* ( h )||によって定義されます。これは、強演算子トポロジーおよび弱演算子トポロジーよりも強力です。
強作用素位相（SOT）または強位相は、 $h$ $\in$ $H$ に対する半ノルム || x ( h )||によって定義されます。これは弱作用素位相よりも強いものです。
弱作用素位相（WOT）または弱位相は、 $h$ $1$ $、$ $h$ $2$ $\in$ $H$ に対する半ノルム |( x ( h ₁ ), h ₂ )|によって定義されます。（注意：弱バナッハ空間位相、弱作用素位相、超弱位相はすべて弱位相と呼ばれることがありますが、それぞれ異なります。）

トポロジー間の関係

弱、強、および強^{* （演算子）トポロジーに対する} $B(H)$ 上の連続線形汎関数は同じであり、 $h$ $1$ $、$ $h$ $2$ $\in$ $H$ に対する線形汎関数 (x h ₁、h ₂ )の有限線形結合である。超弱、超強、超強^{* 、および Arens-Mackey トポロジーに対する} $B($ $H$ $)$ 上の連続線形汎関数は同じであり、前双対 $B($ $H$ $)$ $*$ の要素である。

定義上、ノルム位相における連続線形汎関数は、弱バナッハ空間位相における連続線形汎関数と同じである。この双対空間は、多くの特異な要素を含むかなり大きな空間である。

$B(H)$ のノルム有界集合上では、弱（作用素）位相と超弱位相が一致する。これは、例えばバナッハ・アラオグル定理によって確認できる。本質的に同じ理由で、超強位相は、 $B(H)$ の任意の（ノルム）有界部分集合上で強位相と同じである。アレンス・マッキー位相、超強^*、および強^*位相についても同様である。

局所凸空間では、凸集合の閉包は連続線形汎関数によって特徴付けられます。したがって、 $B($ $H$ $)$ の凸部分集合 $Kに対して、$ $K が超強$ ^* 、超強、超弱位相で閉集合となる条件はすべて同値であり、また、すべての $r$ $> 0$ に対して、 $K が強$ ^* 、強、または弱（演算子）位相において半径 $r$ の閉球と閉交差を持つ条件とも同値です。

ノルム位相は距離化可能であり、他の位相は距離化できません。実際、それらは第一可算ではありません。しかし、 $H$ が分離可能な場合、上記のすべての位相は、単位球（または任意のノルムで有界な部分集合）に制限すると距離化可能になります。

使用するトポロジー

最も一般的に使用される位相は、ノルム位相、強作用素位相、弱作用素位相です。弱作用素位相は、バナッハ・アラオグル定理により単位球がコンパクトであるため、コンパクト性に関する議論に役立ちます。ノルム位相は、 $B(H)$ をバナッハ空間にするため基本的ですが、多くの目的には強すぎます。たとえば、この位相では $B(H)$ は分離可能ではありません。強作用素位相は、最も一般的に使用される位相かもしれません。

超弱位相と超強位相は、弱作用素位相と強作用素位相よりも性質が良いが、定義が複雑なため、その優れた性質が本当に必要な場合を除いて通常は使用されない。例えば、弱作用素位相または強作用素位相における $B(H)$ の双対空間は小さすぎて、解析的な内容がほとんどない。

随伴写像は、強作用素位相および超強位相では連続ではありませんが、強*位相および超強*位相は、随伴写像が連続になるように修正されたものです。これらはあまり頻繁には使用されません。

アレンス・マッキー位相と弱バナッハ空間位相は、比較的まれにしか使用されない。

要約すると、 $B(H)$ 上の主要な 3 つの位相は、ノルム位相、超強位相、および超弱位相です。弱作用素位相と強作用素位相は、超弱位相と超強位相の便利な近似として広く用いられています。その他の位相は比較的知られていません。

参考文献

関数解析、リードとサイモン著、ISBN 0-12-585050-6
作用素環論 I、M.竹崎著（特に第 II.2 章）ISBN 3-540-42248-X

オペレーターのトポロジー

導入

B( H )上のトポロジーのリスト

トポロジー間の関係

使用するトポロジー

関連項目

参考文献

関連するトピック

関数解析

数学

バナッハ空間

有界線形作用素