演算子表記法
勾配 関数の場合f （ x 、 y 、 z ） {\displaystyle f(x,y,z)} 直交座標 系における勾配は、ベクトル場である。 卒業生 （ f ） = ∇ f = （ ∂ ∂ x 、 ∂ ∂ y 、 ∂ ∂ z ） f = ∂ f ∂ x 私 + ∂ f ∂ y j + ∂ f ∂ z k {\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} } i 、j 、kは x 、y 、z 軸の標準 単位ベクトル である。より一般的には、 n個 の変数の関数の場合、ψ （ x 1 、 … 、 x n ） \displaystyle \psi (x_{1},\ldots ,x_{n}) スカラー 場とも呼ばれ、ベクトル場 である。 ∇ ψ = （ ∂ ∂ x 1 、 … 、 ∂ ∂ x n ） ψ = ∂ ψ ∂ x 1 e 1 + ⋯ + ∂ ψ ∂ x n e n ${\displaystyle \nabla \psi ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\dots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}}$ e 私 （ 私 = 1 、 2 、 。 。 。 、 n ） {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,(i=1,2,...,n)}
その名の通り、勾配は関数の最も急速な（正の）変化に比例し、その方向を示します。
ベクトル場の場合A = （ A 1 、 … 、 A n ） {\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)} 全微分は n×n ヤコビ行列 である：[ 1 ] J A = d A = （ ∇ A ） T = （ ∂ A 私 ∂ x j ） 私 j 。 {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=d\mathbf {A} =(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.}
テンソル場 の場合T {\displaystyle \mathbf {T} } k の勾配卒業生 （ T ） = d T = （ ∇ T ） T {\displaystyle \operatorname {grad} (\mathbf {T} )=d\mathbf {T} =(\nabla \mathbf {T} )^{\textsf {T}}} は次数k + 1のテンソル場である。
テンソル場の場合T {\displaystyle \mathbf {T} } k > 0の次数を持つテンソル場∇ T {\displaystyle \nabla \mathbf {T} } k + 1次は、次の再帰関係によって定義される。 （ ∇ T ） ⋅ C = ∇ （ T ⋅ C ） {\displaystyle (\nabla \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )} C {\displaystyle \mathbf {C} }
特殊表記 ファインマンの添え字表記 では、 ∇ B （ A ⋅ B ） = A × （ ∇ × B ） + （ A ⋅ ∇ ） B {\displaystyle \nabla _{\mathbf {B} }\!\left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} } ここで、∇ B B のみに作用することを意味します。[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]
より一般的だが類似しているのは、幾何代数学 におけるヘステネスの オーバードット記法 である。[ 7 ] [ 8 ] ∇ ˙ （ A ⋅ B ˙ ） = A × （ ∇ × B ） + （ A ⋅ ∇ ） B {\displaystyle {\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B} }}\right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} } B ）は微分され、ドットなしベクトルA は定数として扱われます。
ファインマン添え字表記の有用性は、ベクトルおよびテンソルの微分恒等式の導出に用いられる点にあり、次の例では代数恒等式C ⋅( A × B ) = ( C × A )⋅ B を使用しています。
∇ ⋅ （ A × B ） = ∇ A ⋅ （ A × B ） + ∇ B ⋅ （ A × B ） = （ ∇ A × A ） ⋅ B + （ ∇ B × A ） ⋅ B = （ ∇ A × A ） ⋅ B − （ A × ∇ B ） ⋅ B = （ ∇ A × A ） ⋅ B − A ⋅ （ ∇ B × B ） = （ ∇ × A ） ⋅ B − A ⋅ （ ∇ × B ） {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla _{\mathbf {A} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \nabla _{\mathbf {B} })\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}
別の方法として、del演算子のデカルト座標成分を以下のように使用する方法がある（添え字iに関する 暗黙の総和 を含む）。
∇ ⋅ （ A × B ） = e 私 ∂ 私 ⋅ （ A × B ） = e 私 ⋅ ∂ 私 （ A × B ） = e 私 ⋅ （ ∂ 私 A × B + A × ∂ 私 B ） = e 私 ⋅ （ ∂ 私 A × B ） + e 私 ⋅ （ A × ∂ 私 B ） = （ e 私 × ∂ 私 A ） ⋅ B + （ e 私 × A ） ⋅ ∂ 私 B = （ e 私 × ∂ 私 A ） ⋅ B − （ A × e 私 ） ⋅ ∂ 私 B = （ e 私 × ∂ 私 A ） ⋅ B − A ⋅ （ e 私 × ∂ 私 B ） = （ e 私 ∂ 私 × A ） ⋅ B − A ⋅ （ e 私 ∂ 私 × B ） = （ ∇ × A ） ⋅ B − A ⋅ （ ∇ × B ） {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot \partial _{i}(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {e} _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \mathbf {e} _{i})\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}
ベクトルおよびテンソルの微分恒等式を導出する別の方法として、代数恒等式中のベクトルのすべての出現箇所をデル演算子に置き換える方法がある。ただし、変数が演算子のスコープの内外両方に出現したり、ある項内の1つの演算子のスコープの内外両方に出現したりしないことが条件となる（つまり、演算子が入れ子になっている必要がある）。この規則の妥当性は、ファインマン法の妥当性から導かれる。なぜなら、規則の条件を満たせば、常に添え字付きのデル演算子を代入し、すぐに添え字を削除できるからである。例えば、恒等式A ⋅( B × C ) = ( A × B )⋅ Cから A ⋅(∇× C ) = ( A ×∇)⋅ C を導出できますが、∇⋅( B × C ) = (∇× B )⋅ Cは導出できません。また、 A ⋅( B × A ) = 0からA ⋅(∇× A ) = 0 を導出することもできません。一方、添え字付き del は項中の添え字のすべての出現箇所に作用するため、A ⋅(∇ A A ) = ∇ A A × A ) = ∇⋅( A × A ) = 0 となります。また、A ×( A × C ) = A ( A ⋅ C ) − ( A ⋅ A ) C から、 ∇×(∇× C ) = ∇(∇⋅ C ) − ∇ 2 C ですが、 ( A ψ )⋅( A φ ) = ( A ⋅ A )( ψφ ) から ( ∇ ψ )⋅(∇ φ ) = ∇ 2 ( ψφ )を導出できない可能性があります。
量の添え字c は 、それが一時的に定数とみなされることを示します。定数は変数ではないため、置換規則 (前の段落を参照) を使用する場合、変数とは異なり、次の例のように del 演算子のスコープ内またはスコープ外に移動できます。[ 9 ]
∇ ⋅ （ A × B ） = ∇ ⋅ （ A × B c ） + ∇ ⋅ （ A c × B ） = ∇ ⋅ （ A × B c ） − ∇ ⋅ （ B × A c ） = （ ∇ × A ） ⋅ B c − （ ∇ × B ） ⋅ A c = （ ∇ × A ） ⋅ B − （ ∇ × B ） ⋅ A {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })+\nabla \cdot (\mathbf {A} _{\mathrm {c} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })-\nabla \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {A} _{\mathrm {c} })\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} _{\mathrm {c} }-(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} _{\mathrm {c} }\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \end{aligned}}}
量が定数であることを示すもう1つの方法は、次のようにdel演算子のスコープに添え字として付加することです。[ 10 ] ∇ （ A ⋅ B ） A = A × （ ∇ × B ） + （ A ⋅ ∇ ） B {\displaystyle \nabla \left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)_{\mathbf {A} }=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }
この記事の残りの部分では、必要に応じてファインマンの添え字表記を使用します。
一次導関数の恒等式 スカラー場の場合ψ {\displaystyle \psi } ϕ {\displaystyle \phi } A {\displaystyle \mathbf {A} } B {\displaystyle \mathbf {B} }
スカラーによる除算の商の法則 ∇ （ ψ ϕ ） = ϕ ∇ ψ − ψ ∇ ϕ ϕ 2 {\displaystyle \nabla \left({\frac {\psi }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \phi }{\phi ^{2}}}} ∇ （ A ϕ ） = ϕ ∇ A − ∇ ϕ ⊗ A ϕ 2 {\displaystyle \nabla \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla \mathbf {A} -\nabla \phi \otimes \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}} ∇ ⋅ （ A ϕ ） = ϕ ∇ ⋅ A − ∇ ϕ ⋅ A ϕ 2 {\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \cdot \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}} ∇ × （ A ϕ ） = ϕ ∇ × A − ∇ ϕ × A ϕ 2 {\displaystyle \nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla {\times }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \,{\times }\,\mathbf {A} }{\phi ^{2}}}} ∇ 2 （ ψ ϕ ） = ϕ ∇ 2 ψ − 2 ϕ ∇ （ ψ ϕ ） ⋅ ∇ ϕ − ψ ∇ 2 ϕ ϕ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)={\frac {\phi \,\nabla ^{2\!}\psi -2\,\phi \,\nabla \!\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)\cdot \!\nabla \phi -\psi \,\nabla ^{2\!}\phi }{\phi ^{2}}}}
ドット積の法則 ∇ （ A ⋅ B ） = （ A ⋅ ∇ ） B + （ B ⋅ ∇ ） A + A × （ ∇ × B ） + B × （ ∇ × A ） = A ⋅ J B + B ⋅ J A = （ ∇ B ） ⋅ A + （ ∇ A ） ⋅ B {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&\ =\ (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \,+\,(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {B} )\,+\,\mathbf {B} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\\&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }+\mathbf {B} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,+\,(\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \end{aligned}}}
どこJ A = （ ∇ A ） T = （ ∂ A 私 / ∂ x j ） 私 j {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}} ヤコビ行列 を表す。A = （ A 1 、 … 、 A n ） {\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1},\ldots ,A_{n})}
あるいは、ファインマン添え字表記法を用いると、
∇ （ A ⋅ B ） = ∇ A （ A ⋅ B ） + ∇ B （ A ⋅ B ） 。 {\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .}
これらの注釈を参照してください。[ 11 ]
特殊なケースとして、A = B
1 2 ∇ （ A ⋅ A ） = A ⋅ J A = （ ∇ A ） ⋅ A = （ A ⋅ ∇ ） A + A × （ ∇ × A ） = A ∇ A 。 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} \ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\ =\ A\nabla A.}
ドット積 公式のリーマン多様体 への一般化は、ベクトル場を微分してベクトル値の1 形式を与える リーマン接続 の定義特性である。
クロス積の法則 ∇ （ A × B ） = （ ∇ A ） × B − （ ∇ B ） × A {\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\times \mathbf {B} \,-\,(\nabla \mathbf {B} )\times \mathbf {A} } ∇ ⋅ （ A × B ） = （ ∇ × A ） ⋅ B − A ⋅ （ ∇ × B ） {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\ =\ (\nabla {\times }\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )} ∇ × （ A × B ） = A （ ∇ ⋅ B ） − B （ ∇ ⋅ A ） + （ B ⋅ ∇ ） A − （ A ⋅ ∇ ） B = A （ ∇ ⋅ B ） + （ B ⋅ ∇ ） A − （ B （ ∇ ⋅ A ） + （ A ⋅ ∇ ） B ） = ∇ ⋅ （ B A T ） − ∇ ⋅ （ A B T ） = ∇ ⋅ （ B A T − A B T ） {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\,-\,\nabla {\cdot }\left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\,-\,\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\end{aligned}}} A × （ ∇ × B ） = ∇ B （ A ⋅ B ） − （ A ⋅ ∇ ） B = A ⋅ J B − （ A ⋅ ∇ ） B = （ ∇ B ） ⋅ A − A ⋅ （ ∇ B ） = A ⋅ （ J B − J B T ） {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )&\ =\ \nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot (\mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}})\\[5pt]\end{aligned}}} （ A × ∇ ） × B = （ ∇ B ） ⋅ A − A （ ∇ ⋅ B ） = A × （ ∇ × B ） + （ A ⋅ ∇ ） B − A （ ∇ ⋅ B ） {\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} &\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\end{aligned}}} （ A × ∇ ） ⋅ B = A ⋅ （ ∇ × B ） {\displaystyle (\mathbf {A} \times \nabla )\cdot \mathbf {B} \ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )} 行列に注意してくださいJ B − J B T {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}}}
2階微分恒等式
回転の発散はゼロです 連続的 に2回微分可能なベクトル場 A の回転の発散は 常にゼロである。 ∇ ⋅ （ ∇ × A ） = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}
これは、ド・ラーム 鎖複体 における外微分 の二乗がゼロになる特殊なケースである。
勾配の発散はラプラシアンである スカラー場のラプラシアンは 、その勾配の発散である。 Δ ψ = ∇ 2 ψ = ∇ ⋅ （ ∇ ψ ） {\displaystyle \Delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}
発散の発散は定義されていません ベクトル場A の発散はスカラーであり、スカラー量の発散は定義されていない。したがって、 ∇ ⋅ （ ∇ ⋅ A ） 未定義です。 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}
勾配の回転はゼロです 連続 的に2回微分可能なスカラー場 の 勾配 の回転φ {\displaystyle \varphi } 微分可能性クラス） C 2 {\displaystyle C^{2}} ゼロベクトル です。 ∇ × （ ∇ φ ） = 0 。 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} .}
それは表現することで簡単に証明できる∇ × （ ∇ φ ） {\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )} シュワルツの定理 （混合偏微分の等価性に関するクレローの定理とも呼ばれる）を用いたデカルト座標系 において、この結果は、ド・ラーム 鎖複体 における外微分 の二乗がゼロになる特殊な場合である。
カールのカール ∇ × （ ∇ × A ） = ∇ （ ∇ ⋅ A ） − ∇ 2 A {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A} }
ここで∇2は ベクトル場Aに作用する ベクトルラプラシアン である。
発散の回転は定義されていません ベクトル場A の発散は スカラーであり、スカラー量の回転は定義されていない。したがって、 ∇ × （ ∇ ⋅ A ） 未定義です。 {\displaystyle \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}
記憶術 右の図は、これらの名称の一部を覚えるための記憶術です。使用されている略語は以下のとおりです。
D: 分岐、 C: カール、 G: 勾配、 L: ラプラシアン、 CC: カールのカール。 各矢印には恒等式の結果、具体的には矢印の始点にある演算子を始点にある演算子に適用した結果がラベル付けされています。中央の青い円はカール・オブ・カールが存在することを意味し、他の2つの赤い円（破線）はDDとGGが存在しないことを意味します。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} &={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial }{\partial x}},\ {\dfrac {\partial }{\partial y}},\ {\dfrac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6717fdfb982bf77809f037fa11d4c000bd4287)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}\\[1em]&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee413ad50436d67bd344bd6a8d2c3937f6803456)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla _{\mathbf {A} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \nabla _{\mathbf {B} })\cdot \mathbf {B} \\[2pt]&=(\nabla _{\mathbf {A} }\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla _{\mathbf {B} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2be73fb147d2d991b691c0322ec8602518462f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot \partial _{i}(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} +\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=\mathbf {e} _{i}\cdot (\partial _{i}\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {e} _{i}\cdot (\mathbf {A} \times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} +(\mathbf {e} _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\mathbf {A} \times \mathbf {e} _{i})\cdot \partial _{i}\mathbf {B} \\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\times \partial _{i}\mathbf {B} )\\[2pt]&=(\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\mathbf {e} _{i}\partial _{i}\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da7a78dfe9f3612f3cb081a39c3b376ee999e4a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })+\nabla \cdot (\mathbf {A} _{\mathrm {c} }\times \mathbf {B} )\\[2pt]&=\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} _{\mathrm {c} })-\nabla \cdot (\mathbf {B} \times \mathbf {A} _{\mathrm {c} })\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} _{\mathrm {c} }-(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} _{\mathrm {c} }\\[2pt]&=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94a182151cdb664e661e78d773117439db78f92)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\,-\,\nabla {\cdot }\left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\,-\,\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a05bc9e2c83fd35d4fb390cca239e0541d0197)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )&\ =\ \nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot (\mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}})\\[5pt]\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c699cea4f0aa1c2a0a5cb6ed39c859ab7e5426)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} &\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/babcbaea6d27093697da41f818d334f51722464a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} ={}&{\hphantom {{}-{}}}{\tfrac {1}{2}}{\Bigl [}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} ){\Bigr ]}\\&-{\tfrac {1}{2}}{\Bigl [}\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )+\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} ){\Big ]}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25b564ffa7b5a717dee9b2681c3e06e8c40473b)
![{\displaystyle \nabla \cdot {\big [}\nabla \mathbf {A} +(\nabla \mathbf {A} )^{\textsf {T}}{\big ]}=\nabla ^{2}\mathbf {A} +\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/348533728c9cab3450f97bf724152585b26550e4)
![{\displaystyle \nabla \cdot {\big [}(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} {\big ]}=(\mathbf {A} \cdot \nabla )(\nabla \cdot \mathbf {B} )+(\nabla \mathbf {A} )\,{\underline {:}}\,(\nabla \mathbf {B} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d46bd359390fb6057d1e4e8b9ddd01be2ea2a8c)
![{\displaystyle \nabla \times \left[\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right]+\left[\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot \nabla \right]\mathbf {A} =\left[\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)+\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)\right]\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a92e1940b1a8ae5f4ce44eeb43bd059dba324ec0)
![{\displaystyle \oint _{\partial S}(\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }})\mathbf {A} =\iint _{S}(d\mathbf {S} \cdot \left[\nabla \times \mathbf {B} -\mathbf {B} \times \nabla \right])\mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c48d9c590a9b81aca2c1184cea2b05aad96283)
