リー超代数の表現

表現論の数学分野において、リー超代数の表現とは、リー超代数L がZ ₂次数付きベクトル空間Vに作用するものであり、AとBがLの任意の 2 つの純粋要素であり、 XとYがVの任意の 2 つの純粋要素である場合、

${\displaystyle (c_{1}A+c_{2}B)\cdot X=c_{1}A\cdot X+c_{2}B\cdot X}$

${\displaystyle A\cdot (c_{1}X+c_{2}Y)=c_{1}A\cdot X+c_{2}A\cdot Y}$

${\displaystyle (-1)^{A\cdot X}=(-1)^{A}(-1)^{X}}$

${\displaystyle [A,B]\cdot X=A\cdot (B\cdot X)-(-1)^{AB}B\cdot (A\cdot X).}$

言い換えれば、 Lの表現とは、上記の 3 番目の式を満たすLの普遍包絡代数のZ ₂次数付き表現のことである。

*リー超代数は、次数と次数を尊重し、対合的反線形写像*を備えた複素リー超代数である。

[a,b]*=[b*,a*]。

このようなリー代数のユニタリ表現は、Z 2 次数付きヒルベルト空間であり、これは_、上記のリー超代数の表現に加えて、リー超代数の自己共役要素がエルミート変換によって表現されるという要件を満たすものです。

これは、代数上のリー超代数の表現とともに、超対称性の研究における重要な概念です。A をリー超代数の*-代数表現 (さらに、* が次数付けを尊重し、L[a]*=-(-1) ^La L*[a*] を満たすという条件付き) とし、 Hをユニタリ表現、またHをA のユニタリ表現とします。

これら３つの表現は、純粋要素aがA、|ψ>がH、Lがリー超代数である場合、すべて互換性があります。

L[a|ψ>)]=(L[a])|ψ>+(-1) ^La a(L[|ψ>])。

場合によっては、リー超代数がAの中に埋め込まれていることがあります。つまり、リー超代数の普遍包絡代数からAへの準同型が存在するということです。その場合、上記の式は次のように簡略化されます。

L[a]=La-(-1) ^La aL。

このアプローチでは、リー超群を直接扱うことを避け、したがって補助的なグラスマン数の使用も避けることができます。

• 段階的ベクトル空間
• リー代数表現
• ホップ代数の表現論