セットでフィルタリング

数学において、集合上のフィルターとは、スーパーセットと有限個の共通部分を取る操作に関して閉じている、空でない部分集合の集合のことである。フィルターの例としては、位相空間における点の近傍の集合が挙げられる。

フィルターは、 1937年にアンリ・カルタンによって一般位相空間の文脈で導入され^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} 、その後ニコラ・ブルバキが著書『一般位相』（初版は1940年）の中で、1922年にEHムーアとハーマン・L・スミスによって開発されたネットの概念に代わるものとして発展させた。その後、フィルターは位相以外の多くの分野、例えば集合論、数理論理学、モデル理論（例えば超積）、抽象代数学などに応用されている。

集合に対するフィルタは後に順序フィルタに一般化された。具体的には、集合に対するフィルタは $X$ は、べき集合の順序フィルタです。 $X$ 収録順

フィルターの双対概念は理想である。超フィルターは、フィルターの中でも特に重要なサブクラスである。

意味

集合が与えられた $X$ フィルター $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ の上 $X$ は、の部分集合の集合です。 $X$ すなわち：^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

$\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 上向きに閉じている場合： $A,B\subseteq X$ 次のような $A\in {\mathcal {F}}$ そして $A\subseteq B$ それから $B\in {\mathcal {F}}$ 、
$\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 有限個の交差に関して閉じている： $X\in {\mathcal {F}}$ , ^{[ a ]}、そしてもし $A\in {\mathcal {F}}$ そして $B\in {\mathcal {F}}$ それから $A\cap B\in {\mathcal {F}}$ 。

A適切な（または非退化）フィルタとは、べき集合の部分集合として適切なフィルタのことである。 $\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ （つまり、不適切なフィルターは $\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ （すべての可能な部分集合から構成される）。上方閉包により、フィルタは空集合を含まない場合に限り適切である。^{[ 4 ]}多くの著者は、フィルタは定義上適切でなければならないという慣習を採用している。^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

いつ $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ そして ${\mathcal {G}}$ 同じセット上の 2 つのフィルターは、 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}$ 保持する、 $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ より粗いと言われている^{[ 10 ]} ${\mathcal {G}}$ （またはサブフィルター ${\mathcal {G}}$ ）その間 ${\mathcal {G}}$ より細かいと言われている^{[ 10 ]} $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ （または従属する $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ またはスーパーフィルター^{[ 11 ]} $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ )

例

シングルトンセット ${\mathcal {F}}=\{X\}$ これは、 $X$ [ ¹²^]
もし $Y$ は、 $X$ 、のサブセット $X$ これらはスーパーセットです $Y$ 主フィルタを形成する。^{[ 3 ]}
もし $X$ は位相空間であり、 $x\in X$ すると、 $x$ フィルターは $X$ 近傍フィルタ^{[ 13 ]}または近傍フィルタ^{[ 14 ]} $x$ 。
様々な「規模」条件から多くの例が生じる。
- もし $X$ は集合であり、のすべての余有限部分集合の集合である。 $X$ （つまり、補集合が $X$ 有限である）は、 $X$ 、フレシェフィルター^{[ 12 ]}^{[ 15 ]}^{[ 5 ]} (または有限フィルター^{[ 13 ]} )。
- 同様に、 $X$ は集合であり、の可算部分集合は $X$ （補集合が可算であるもの）は、フレシェフィルターよりも細かい可算フィルター^{[ 14 ]}を形成する。より一般的には、任意の基数に対して $\kappa$ 補集合の基数が最大で $\kappa$ フィルターを作成する。
- もし $X$ は距離空間です。例: $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 、の共有界部分集合 $X$ （補集合が有界集合であるもの）はフィルターを形成する $X$ [ ¹⁶^]
- もし $X$ は完全測度空間です（例： $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ルベーグ測度を用いて、コヌル部分集合は $X$ すなわち、補集合の測度がゼロである部分集合は、上のフィルターを形成する。 $X$ （不完全な測度空間の場合、必ずしも測度可能ではないが、測度ゼロの測度可能な部分集合に含まれる部分集合を取ることができる。）
- 同様に、 $X$ は測度空間であり、その補集合が有限測度の可測部分集合に含まれる部分集合は、上のフィルターを形成する。 $X$ 。
- もし $X$ は位相空間であり、の共生部分集合は $X$ つまり、補数が乏しいものは、フィルターを形成する。 $X$ 。
- サブセット $\mathbb {N}$ 自然密度が1であるフィルターを形成する $\mathbb {N}$ [ ¹⁷^]
通常の不可算基数のクラブフィルター $\kappa$ クラブサブセットを含むすべてのセットのフィルターは $\kappa$ 。
もし $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ はフィルターのファミリーです $X$ そして ${\mathcal {J}}$ フィルターは $I$ それから $\displaystyle \bigcup _{A\in {\mathcal {J}}}\bigcap _{i\in A}{\mathcal {F}}_{i}}$ フィルターは $X$ コワルスキーのフィルターと呼ばれる。^{[ 18 ]}

主要フィルターと無料フィルター

フィルターの核 $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ の上 $X$ は、すべての部分集合の共通部分です。 $X$ で $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 。

フィルター $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ の上 $X$ 特に単純な形式を持つ場合、それは主^{[ 3 ]}（または原子^{[ 13 ]} ）である。それは正確に次のスーパーセットを含む。 $Y$ 固定された部分集合に対して $Y\subseteq X$ 。いつ $Y=\varnothing$ これにより、不適切なフィルターが生成されます。 $Y=\{y\}$ はシングルトンであり、このフィルター（を含むすべてのサブセットで構成される） $y$ ）は、基本フィルタ^{[ 3 ]}（または離散フィルタ^{[ 19 ]}）と呼ばれ、 $y$ 。

フィルター $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ は、核が $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ は $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ そして、このような場合、 $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ そのカーネルのスーパーセットから構成される。^{[ 20 ]}有限集合では、すべてのフィルタは主フィルタである（カーネルを定義する交差は有限であるため）。

カーネルが空の場合、フィルタはフリーであると言われ、そうでない場合は固定されている（そして、 $x$ はカーネルの要素であり、によって固定されます。 $x$ [ ²¹^]セット^に対するフィルタ $X$ が無料なのは、フレシェフィルターが含まれている場合に限ります。 $X$ [ ²²^]

2つのフィルター $\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ そして $\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ の上 $X$ メッシュの各メンバーが $\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ すべてのメンバーと交差する $\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ [ ²³^]各フィルター^について $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ の上 $X$ 一意のフィルターペアが存在する $\displaystyle {\mathcal {F}}_{f}}$ （無料部分） $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ）そして $\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ （ $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ）の上 $X$ そのため $\displaystyle {\mathcal {F}}_{f}}$ 無料です、 $\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ は主であり、 ${\mathcal {F}}_{f}\cap {\mathcal {F}}_{p}={\mathcal {F}}$ 、そして $\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ 合わない $\displaystyle {\mathcal {F}}_{f}}$ 主要部分 $\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$ はカーネルによって生成される主フィルタです。 $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 、そして自由部分 $\displaystyle {\mathcal {F}}_{f}}$ 要素から構成される $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ カーネルから任意の数の要素が削除される可能性がある。^{[ 22 ]}

フィルター $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ は、任意の可算部分集合の核が可算深度である場合に可算深度である。 $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ に属する $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ [ ¹⁴^]

注文フィルターとの対応

集合上のフィルタの概念は、半順序集合上のフィルタというより一般的な概念の特殊なケースである。定義によれば、半順序集合上のフィルタは $P$ 部分集合である $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ の $P$ 上向きに閉じている（もし $x\in {\mathcal {F}}$ そして $x\leq y$ それから $\displaystyle y\in \mathcal {F}}$ ）および下向き（すべての有限部分集合 $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 下限値を持つ $\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ) セットに対するフィルター $X$ パワーセットのフィルターと同じです $\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ 包含順。^{[ b ]}

フィルタの構成

フィルターの交差

もし $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ はフィルターのファミリーです $X$ その交点 $\bigcap _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ フィルターは $X$ 交差は、フィルタの集合における最大下限演算です。 $X$ 包含によって部分的に順序付けられ、フィルターに $X$ 完全な格子構造を持つ。^{[ 14 ]}^{[ 24 ]}

交差点 $\bigcap _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ は、次のように書ける部分集合から構成される。 $\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$ どこ $A_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}$ 各 $i\in I$ 。

サブセットのファミリーによって生成されるフィルター

部分集合の族が与えられた場合 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ 最小フィルタが存在する $X$ （包含という意味で） ${\mathcal {S}}$ これは、すべてのフィルターの交差（最大の下限）として構築できます。 $X$ 含む ${\mathcal {S}}$ このフィルター $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ は、によって生成されるフィルターと呼ばれます。 ${\mathcal {S}}$ 、そして ${\mathcal {S}}$ はフィルターサブベースであると言われている $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ [ ²⁵^]

生成されたフィルタは、より具体的に記述することもできます。 $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ 閉じることで得られる ${\mathcal {S}}$ 有限の交差の下で、次に上向き、つまり、 $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ 部分集合から構成される $Y\subseteq X$ そのため $A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\subseteq Y$ 一部の人にとって $A_{0},\dots ,A_{n-1}\in {\mathcal {B}}$ [ ¹¹^]

これらの操作はカーネルを保存するので、 $\langle {\mathcal {S}}\rangle$ 適切なフィルターであるのは、 ${\mathcal {S}}$ 有限交差特性を持つ：有限部分族の交差 ${\mathcal {S}}$ 空ではない。^{[ 16 ]}

フィルターの完全な格子において $X$ 包含関係で順序付けられた、フィルタ群の最小上限値 $({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ フィルターは $\bigcup _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ [ ²⁰^]

2つのフィルター ${\mathcal {F}}_{1}$ そして ${\mathcal {F}}_{2}$ の上 $X$ メッシュの場合に限り $\langle {\mathcal {F}}_{1}\cup {\mathcal {F}}_{2}\rangle$ 適切である。^{[ 23 ]}

フィルターベース

させて ${\mathcal {F}}$ フィルターになる $X$ フィルターベース ${\mathcal {F}}$ 部分集合の族である ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ そのため ${\mathcal {F}}$ 上方への閉鎖は ${\mathcal {B}}$ つまり、 ${\mathcal {F}}$ これらの部分集合から構成される $Y\subseteq X$ そのために $A\subseteq Y$ 一部の人にとって $A\in {\mathcal {B}}$ [ ⁶^]

この上方閉包は、以下の場合に限りフィルターとなる。 ${\mathcal {B}}$ 下向き、つまり、 ${\mathcal {B}}$ は空ではなく、すべての $A,B\in {\mathcal {B}}$ 存在する $C\in {\mathcal {B}}$ そのため $C\subseteq A\cap B$ [ ⁶^]^[¹³^]この場合^、 ${\mathcal {B}}$ はプリフィルタとも呼ばれ、上方閉包は生成されたフィルタと等しい。 $\langle {\mathcal {B}}\rangle$ ^{[ 16 ]}したがって、フィルターベースとして ${\mathcal {F}}$ フィルターサブベースであることよりも強い特性です ${\mathcal {F}}$ 。

例

いつ $X$ は位相空間であり、 $x\in X$ 近傍フィルタのフィルタベース $x$ 近隣拠点として知られています $x$ 同様に、近傍フィルタのフィルタサブベース $x$ 近隣のサブベースとして知られています $x$ 開放的な近隣地域 $x$ 常に近隣の拠点を形成する $x$ 近傍フィルタの定義により、 $X=\mathbb {R} ^{n}$ 正の半径を持つ閉じた球が周囲にある $x$ また、近隣の拠点を形成する $x$ 。
させて $X$ を無限集合とし、 ${\mathcal {F}}$ のサブセットで構成される $X$ 1点を除くすべての点を含む。 ${\mathcal {F}}$ は、フレシェフィルターのフィルターサブベースです。 $X$ これは、有限部分集合から構成される。有限交差に関するその閉包はフレシェフィルター全体であるが、部分基底を含むフレシェフィルターのより小さな基底が存在する。 ${\mathcal {F}}$ 例えば、以下の部分集合によって形成されるもの $X$ それらは、有限個の奇数個を除くすべての点を含んでいます。実際、フレシェフィルターのどの基底に対しても、任意の部分集合を取り除くと、別のフレシェフィルターの基底が得られます。
もし $X$ は位相空間であり、の稠密な開部分集合は $X$ フィルターベースを形成する $X$ なぜなら、それらは有限の交差に関して閉じているからである。それらが生成するフィルタは、どこにも稠密でない部分集合の補集合から構成される。 $X=\mathbb {R} ^{n}$ ヌル密な開部分集合に限定すると、同じフィルタの別のフィルタ基底が得られます。
同様に、 $X$ 位相空間では、稠密な開部分集合の可算な交差がフィルタ基底を形成し、それが共存部分集合のフィルタを生成する。
させて $X$ セットにして、 $(x_{i})_{i\in I}$ 値が次のネットである $X$ つまり、その領域が $I$ は有向集合です。のテールのフィルタベースは $(x_{i})$ セットで構成される $\{x_{j},j\geq i\}$ のために $i\in I$ ; 方向性によって下向きに閉じられる $I$ 生成されたフィルタは、事象フィルタまたはテールフィルタと呼ばれます。 $(x_{n})$ 逐次フィルタ^{[ 26 ]}または基本フィルタは、あるネットの事象フィルタであるフィルタです。この例は、トポロジーにおけるフィルタの応用において基本となります。^[¹³^]^[²⁷^]
すべてのπ系はフィルター基底である。

サブセットに対するフィルタのトレース

もし ${\mathcal {F}}$ フィルターは $X$ そして $Y\subseteq X$ 痕跡 ${\mathcal {F}}$ の上 $Y$ は $\{A\cap Y,A\in {\mathcal {F}}\}$ これはフィルターです。^{[ 15 ]}

関数によるフィルターの画像

させて $f:X\to Y$ 関数である。

いつ ${\mathcal {F}}$ は、の部分集合のファミリーです。 $X$ 、そのイメージは $f$ は次のように定義される。

$f({\mathcal {F}})=\{\{f(x),x\in A\},A\in {\mathcal {F}}\}$

画像フィルター $f$ フィルターの ${\mathcal {F}}$ の上 $X$ 生成されたフィルタとして定義されます $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ [ ²⁸^]もし $f$ は全射であるならば、 $f({\mathcal {F}})$ は既にフィルターです。一般的には、 $f({\mathcal {F}})$ フィルターベースであるため $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ その上方への閉鎖である。^{[ 29 ]}さらに、もし ${\mathcal {B}}$ フィルターベースは ${\mathcal {F}}$ それから $f({\mathcal {B}})$ フィルターベースは $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ 。

核 ${\mathcal {F}}$ そして $\langle f({\mathcal {F}})\rangle$ によってリンクされています $f\left(\bigcap {\mathcal {F}}\right)\subseteq \bigcap \langle f({\mathcal {F}})\rangle$ 。

フィルター製品

集合の族が与えられた $(X_{i})_{i\in I}$ そしてフィルター ${\mathcal {F}}_{i}$ それぞれに $X_{i}$ 製品フィルター $\prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ 製品セットについて $\prod _{i\in I}X_{i}$ セットによって生成されるフィルターとして定義されます $\pi _{i}^{-1}(A)$ のために $i\in I$ そして $A\in {\mathcal {F}}_{i}$ 、どこ $\pi _{i}:\left(\prod _{j\in I}X_{j}\right)\to X_{i}$ は、積集合からへの投影です。 $i$ 第 12 成分。^{[ 12 ]}^{[ 30 ]}この構成は積トポロジーに似ています。

それぞれ ${\mathcal {B}}_{i}$ はフィルターベースです ${\mathcal {F}}_{i}$ フィルターベース $\prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}$ 集合によって与えられる $\prod _{i\in I}A_{i}$ どこ $(A_{i})$ は、次のような家族である。 $A_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}$ すべての人々のために $i\in I$ そして $A_{i}=X_{i}$ 有限個を除くすべて $i\in I$ [ ¹²^]^[³¹^]

注記

↑ゼロ個の部分集合の交差 $X$ は $X$ 自体。
↑フィルターをかけるとすぐに $X$ 順序フィルターは ${\mathcal {P}}(X)$ 逆の場合、 ${\mathcal {F}}$ 注文フィルターになる ${\mathcal {P}}(X)$ 定義により上方閉包です。有限の交差の下で閉包性を確認します。 $A_{0},\dots ,A_{n-1}$ は、からの部分集合の有限族である。 ${\mathcal {F}}$ 下限値は ${\mathcal {F}}$ 下方閉鎖によって、それは $B\in {\mathcal {F}}$ そのため $B\subseteq A_{0},\dots ,B\subseteq A_{n-1}$ 。それから $B\subseteq A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}$ したがって $A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\in {\mathcal {F}}$ 上方閉鎖によって。

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[6] ゼロ個の部分集合の交差 $X$ は $X$ 自体。

[25] フィルターをかけるとすぐに $X$ 順序フィルターは ${\mathcal {P}}(X)$ 逆の場合、 ${\mathcal {F}}$ 注文フィルターになる ${\mathcal {P}}(X)$ 定義により上方閉包です。有限の交差の下で閉包性を確認します。 $A_{0},\dots ,A_{n-1}$ は、からの部分集合の有限族である。 ${\mathcal {F}}$ 下限値は ${\mathcal {F}}$ 下方閉鎖によって、それは $B\in {\mathcal {F}}$ そのため $B\subseteq A_{0},\dots ,B\subseteq A_{n-1}$ 。それから $B\subseteq A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}$ したがって $A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\in {\mathcal {F}}$ 上方閉鎖によって。

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