理想（秩序理論）

数学の 順序理論では、イデアルは部分的に順序付けられた集合(poset)の特別な部分集合です。この用語は歴史的には抽象代数の環イデアルの概念から派生したものですが、その後、別の概念に一般化されました。イデアルは、順序理論と格子理論の多くの構成にとって非常に重要です。

部分集合Iがイデアルであるとは、以下の条件が満たされる場合である。^{[1] [2]}${\displaystyle (P,\leq )}$

1. I は空 ではありません。
2. Iに属する任意のxとPに属する任意のyに対して、y ≤ x はyがIに属する  （Iは下側集合である）ことを意味する。
3. I内の任意のx、yに対して、 I内にx ≤ zかつy ≤ z を満たす元zが存在する  ( Iは有向集合)。

これは任意の半集合に対してイデアルを定義する最も一般的な方法ですが、もともとは束に対してのみ定義されていました。この場合、次の同等の定義を与えることができます。束の部分集合Iがイデアルである場合、それは有限結合（ suprema ）に関して閉じている下集合であるときのみ、つまり空でなく、I内のすべてのx、yに対してPの元もI内にあります。^[3]${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle x\vee y}$

順序イデアルのより弱い概念は、上記の条件 1 と 2 を満たす poset Pのサブセットとして定義されます。言い換えると、順序イデアルは単に下側集合です。同様に、イデアルは「有向下側集合」として定義することもできます。

イデアルの双対概念、すなわち、すべての ≤ を逆にしてと交換することによって得られる概念は、フィルターです。 ${\displaystyle \vee}$${\displaystyle \wedge,}$

フリンク イデアル、擬似イデアル、ドイル擬似イデアルは、格子イデアルの概念の異なる一般化です。

イデアルまたはフィルタは、集合P全体と等しくない場合に適切であると言われる。^[3]

与えられた元pを含む最小のイデアルは主イデアルであり、pはこの状況におけるイデアルの主元。主イデアルp↓ p = { x ∈ P | x ≤ p }で与えられます。 ${\displaystyle \downarrow p}$

上記の「理想」と「順序理想」の定義は標準的なものであるが^{[3] [4] [5] 、用語には多少の混乱がある。「理想」、「順序理想」、「}フリンク理想」、「半順序理想」などの単語や定義が互いに意味をなすことがある。^{[6] [7]}

イデアルの重要な特殊なケースは、集合論的補集合がフィルタであるイデアル、すなわち逆順のイデアルであるイデアルによって構成される。このようなイデアルは素イデアル。また、イデアルとフィルターは空でないことが求められるため、すべての素イデアルは必ず適切であることにも注意してください。格子の場合、素イデアルは次のように特徴付けられます。

格子の部分集合Iが素イデアルである必要十分条件は、 ${\displaystyle (P,\leq )}$

1. I はPの真イデアルであり、
2. Pのすべての要素xとyについて、Iではx ∈ Iまたはy ∈ Iであることを意味します。${\displaystyle x\wedge y}$

これは、 がフィルタである（つまり、双対的な意味で素数でもある） と述べることと実際に同等であることは簡単に確認できます。${\displaystyle P\setminus I}$

完全な格子の場合、さらに完全に素イデアルであることは意味があります。これ任意の集合Aの交わり (最小値IにあるAの何らかの要素Iにあるという追加の性質を持つ、適切なイデアルIとして定義されます。したがって、これは上記の条件を無限の交わりに拡張した特定の素イデアルにすぎません。

素イデアルの存在は一般に自明ではなく、十分な量の素イデアルを ZF (選択公理のないツェルメロ-フランケル集合論) の範囲内で導くことができない場合が多い。この問題は、素イデアルを必要とする多くのアプリケーションに必要な さまざまな素イデアル定理で議論されている。

理想的な私とは最大イデアルとは、それが適切であり、Iの厳密なスーパーセットである適切なイデアルJ。同様に、フィルタFが最大であるのは、それが適切であり、かつ厳密なスーパーセットである適切なフィルタが存在しない場合に該当します。

poset が分配格子である場合、最大イデアルとフィルターは必然的に素数になりますが、このステートメントの逆は一般には偽です。

最大フィルターは、ウルトラフィルターと呼ばれることもありますが、この用語はブール代数専用であることが多く、最大フィルター (イデアル) は、ブール代数の各要素aに対して、要素 { a , ¬ a } の 1 つだけを含むフィルター (イデアル) です。ブール代数では、プライム イデアルと最大イデアルという用語は一致し、プライム フィルターと最大フィルターという用語は一致します。

イデアルの最大性という興味深い概念がもう 1 つあります。イデアルIと、 I がFと交わらないようなフィルターFを考えます。ここで関心があるのは、 I を含みFと交わらないすべてのイデアルの中で最大のイデアルMです。分配格子の場合、そのようなM は常に素イデアルです。この主張の証明は次のようになります。

しかし、一般に、この意味で最大のイデアルM が存在するかどうかは明らかではありません。しかし、集合論で選択公理を想定すると、すべての互いに素なフィルタとイデアルのペアに対してMが存在することが示されます。検討対象の順序がブール代数である特殊なケースでは、この定理はブール素イデアル定理と呼ばれます。これは選択公理よりも厳密に弱く、イデアルの多くの順序理論的応用にはこれ以上何も必要ないことがわかります。

イデアルとフィルターの構築は、順序理論の多くの応用において重要なツールです。

• ブール代数に対するストーンの表現定理では、最大イデアル（または、否定写像を介して同等の超フィルタ）を使用して、閉開集合が元のブール代数に同型である位相空間の点の集合を取得します。
• 順序理論では、 poset を、追加の完全性特性を持つ poset に変換する多くの完備化手順が知られています。たとえば、与えられた半順序Pのイデアル完備化は、部分集合包含によって順序付けられたPのすべてのイデアルの集合です。この構成により、Pによって生成される自由dcpo が得られます。イデアルは、イデアル完備化においてコンパクトである場合にのみ主であり、したがって、元の poset は、コンパクト要素で構成されるサブ poset として復元できます。さらに、すべての代数 dcpo は、そのコンパクト要素の集合のイデアル完備化として再構築できます。

イデアルは、マーシャル・H・ストーンによって最初にブール代数のために導入され、^[8]その名前は抽象代数の環イデアルに由来しています。彼がこの用語を採用したのは、ブール代数のカテゴリとブール環のカテゴリの同型性を使用すると、2つの概念が実際に一致するためです。

任意の半集合への一般化はフリンクによって行われた。^[9]

• フィルタ（数学）  – 数学では、部分的に順序付けられた集合の特別な部分集合
• イデアル（環論）  - 乗算を吸収する数学的環の加法部分群
• イデアル（集合論）  - 有限和集合と部分集合の下で閉じている空でない集合族
• 半群イデアル
• ブール素イデアル定理 – ブール代数のイデアルは素イデアルに拡張できる

• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981)。『普遍代数の講座』Springer- Verlag。ISBN 3-540-90578-2。
• Davey, Brian A.; Priestley, Hilary Ann (2002)。格子と秩序入門（第 2 版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-78451-4。
• テイラー、ポール（1999）、数学の実践的基礎、ケンブリッジ高等数学研究、第59巻、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、ISBN 0-521-63107-6、MR  1694820
• フレンチマン、ザック、ハート、ジェームズ（2020）、秩序理論入門、AMS

• ストーン、MH (1934)、「ブール代数と位相幾何学への応用」、Proc. Natl. Acad. Sci. USA、20 (3): 197– 202、Bibcode :1934PNAS...20..197S、doi : 10.1073/pnas.20.3.197、PMC  1076376、PMID  16587875
• ストーン、MH (1935)、「ブール代数理論の環理論への包含」、Proc. Natl. Acad. Sci. USA、21 (2): 103– 105、Bibcode :1935PNAS...21..103S、doi : 10.1073/pnas.21.2.103、PMC  1076539、PMID  16587931
• フリンク、オーリン (1954)、「部分的に順序付けられた集合のイデアル」、Am. Math. Mon.、61 (4): 223– 234、doi :10.1080/00029890.1954.11988449