位相的秩序

物理学において、トポロジカル秩序^[1]は、物質（量子物質とも呼ばれる）の ゼロ温度相における秩序の一種である。マクロ的には、トポロジカル秩序は、ロバストな基底状態の縮退^[2]と縮退した基底状態の量子化された非可換幾何学的位相によって定義され、記述される。^[1]ミクロ的には、トポロジカル秩序は長距離量子もつれのパターンに対応する。^[3]異なるトポロジカル秩序（または長距離もつれの異なるパターン）を持つ状態は、相転移なしでは互いに変化することができない。

様々なトポロジカル秩序状態には、(1)トポロジカル量子コンピュータの実現に使用できるトポロジカル縮退と 分数統計または非可換群統計、(2) 重要なデバイス用途がある可能性のある完全伝導エッジ状態、(3)素粒子の量子情報起源を示唆する創発ゲージ場とフェルミ統計、^[4] (4)トポロジカル秩序のエンタングルメント起源を明らかにするトポロジカルエンタングルメントエントロピーなど、興味深い特性があります。 トポロジカル秩序は、スピン液体、^{[5] [6] [7] [8]}や量子ホール効果、^{[9] [10]などのいくつかの物理系の研究で重要であり、}フォールトトレラント量子計算への潜在的な応用もあります。^[11]

トポロジカル絶縁体^[12]とトポロジカル超伝導体（1次元を超える）は、上で定義したようなトポロジカル秩序を持たず、そのエンタングルメントは短距離に限られますが、対称性が保護されたトポロジカル秩序の例です。

原子から構成される物質は、固体、液体、超流動体など、さまざまな特性を持ち、さまざまな形で現れます。これらのさまざまな物質の形態は、しばしば物質の状態または相と呼ばれます。凝縮物質物理学と創発原理によれば、物質のさまざまな特性は、一般に、物質内での原子のさまざまな構成方法から生じます。原子（または他の粒子）のこれらの異なる構成は、正式には物質内の秩序と呼ばれます。 ^[13]

原子はさまざまな方法で組織化することができ、さまざまな秩序とさまざまなタイプの物質につながります。ランダウ対称性の破れ理論は、これらのさまざまな秩序の一般的な理解を提供します。この理論は、さまざまな秩序が実際には構成原子の組織におけるさまざまな対称性に対応していることを指摘しています。物質がある秩序から別の秩序に変化すると (つまり、物質が相転移を起こすと)、原子の組織の対称性が変化します。

たとえば、原子は液体内でランダムに分布しているため、任意の距離だけ原子を移動させても液体は変化しません。液体は連続的な並進対称性を持つと言われています。相転移後、液体は結晶に変化します。結晶では、原子は規則的な配列（格子）に組織化されます。格子は、特定の距離（格子定数の整数倍）だけ移動させた場合にのみ変化しないため、結晶は離散的な並進対称性のみを持ちます。液体と結晶間の相転移は、液体の連続的な並進対称性を結晶の離散的な対称性に低下させる転移です。このような対称性の変化は、対称性の破れと呼ばれます。したがって、液体と結晶の違いの本質は、2 つの相で原子の組織が異なる対称性を持つということです。

ランダウ対称性の破れ理論は、非常に成功した理論です。長い間、物理学者は、ランダウ理論が物質のあらゆる可能な秩序と、あらゆる可能な（連続的な）相転移を記述すると信じていました。

しかし、1980 年代後半から、ランダウ対称性の破れ理論ではすべての可能な秩序を説明できない可能性があることが徐々に明らかになりました。高温超伝導を説明する試みとして^[14]、カイラルスピン状態が導入されました。^{[5] [6]当初、物理学者は}カイラルスピン状態を説明するためにランダウ対称性の破れ理論を使用しようとしました。彼らは、カイラル スピン状態を、時間反転対称性とパリティ対称性を破るが、スピン回転対称性は破らない状態であると特定しました。ランダウの対称性の破れの秩序の説明によれば、これで話は終わりのはずです。しかし、まったく同じ対称性を持つさまざまなカイラル スピン状態が多数存在し、対称性だけではさまざまなカイラル スピン状態を特徴付けるのに十分ではないことがすぐに認識されました。これは、カイラル スピン状態が、通常の対称性の説明を超えた新しい種類の秩序を含むことを意味します。^[15] 提案された新しい種類の秩序は「トポロジカル秩序」と名付けられました。^[1]「位相秩序」という名前は、位相量子場理論(TQFT)であるカイラルスピン状態の低エネルギー有効理論に由来しています。 ^{[16] [17] [18]}基底状態の縮退^[15] (閉空間またはギャップのある境界を持つ開空間で定義でき、アーベル位相秩序^{[19] [20]}と非アーベル位相秩序^{[21] [22]}の両方を含む) や縮退基底状態 の非アーベル幾何学的位相^[1]などの新しい量子数は、カイラルスピン状態におけるさまざまな位相秩序を特徴付け、定義するために導入されました。最近では、位相秩序は位相エントロピーによっても特徴付けられることが示されました。^{[23] [24]}

しかし、実験によりすぐに [どのように？] カイラルスピン状態は高温超伝導体を記述しないことが示され^{、トポロジカル秩序の理論}は実験的に実現されていない理論になりました。しかし、カイラルスピン状態と量子ホール状態の類似性により、^{トポロジカル}秩序の理論を使用してさまざまな量子ホール状態を記述することができます。^[2]カイラルスピン状態と同様に、さまざまな量子ホール状態はすべて同じ対称性を持ち、ランダウ対称性の破れの記述の範囲外です。さまざまな量子ホール状態のさまざまな秩序は実際にトポロジカル秩序によって記述できることがわかっているので、トポロジカル秩序は実験的に実現されています。

分数量子ホール状態（FQH）は、1989年にトポロジカル秩序の概念が導入される前の1982年に発見されました^{[9] [10] 。しかし、FQH状態は実験的に発見された最初のトポロジカル秩序状態ではありません。1911年に発見された}超伝導体は、実験的に発見された最初のトポロジカル秩序状態であり、 Z ₂トポロジカル秩序を持っています。 ^[注1]

位相的に秩序立った状態は通常、強く相互作用するボソン/フェルミオン系に現れるが、単純な種類の位相的秩序は自由フェルミオン系にも現れることがある。この種の位相的秩序は整数量子ホール状態に対応し、格子上の整数量子ホール状態を考えると、満たされたエネルギーバンドのチャーン数によって特徴付けられる。理論計算では、このようなチャーン数は自由フェルミオン系で実験的に測定できることが提案されている。 ^{[28] [29]} また、このようなチャーン数はエッジ状態によって（おそらく間接的に）測定できることもよく知られている。

位相的秩序の最も重要な特徴付けは、基礎となる分数化された励起（エニオンなど）とそれらの融合統計および編組統計（ボソンやフェルミオンの量子統計を超える可能性がある）であろう。現在の研究では、3+1次元時空における位相的秩序に対してループや弦のような励起が存在し、それらの多重ループ/弦編組統計が3+1次元位相的秩序を識別するための重要な特徴であることが示されている。^{[30] [31] [32]} 3+1次元位相的秩序の多重ループ/弦編組統計は、4次元時空における特定の位相的量子場理論のリンク不変量によって捉えることができる。 ^[32]

2+1Dの位相的秩序の大きなクラスは、ストリングネット凝縮と呼ばれるメカニズムによって実現されます。^[33]このクラスの位相的秩序はギャップのあるエッジを持つことができ、ユニタリ融合カテゴリ（またはモノイドカテゴリ）理論によって分類されます。ストリングネット凝縮は、無限に多くの異なるタイプの位相的秩序を生成できることがわかっており、これは発見されていない多くの異なるタイプの物質が残っていることを示している可能性があります。

凝縮弦の集団運動は、弦網の凝縮状態を超える励起を引き起こす。これらの励起はゲージボソンであることが判明している。弦の端は欠陥であり、別の種類の励起に対応する。これらの励起はゲージ電荷であり、フェルミ統計または分数統計を運ぶことができる。^[34]

「膜」 ^[35]、「ブレーンネット」^[36]、フラクタルなどの他の拡張オブジェクトの凝縮も、位相的に秩序立った位相^{[37]や「量子ガラス性」 [38]}につながる。 [39 ^]

群論が対称性の破れの秩序の数学的基礎であることは知られています。では、位相的秩序の数学的基礎とは何でしょうか? 2+1D 位相的秩序のサブクラスであるアーベル位相的秩序は、K 行列アプローチによって分類できることがわかっています。^{[40] [41] [42] [43]ストリングネット凝縮は、テンソルカテゴリ (}融合カテゴリやモノイドカテゴリなど) が 2+1D における位相的秩序の数学的基礎の一部であることを示唆しています。最近の研究では、(分数化励起を持たない可逆位相的秩序まで) 次のことが示唆されています。

• 2+1D ボゾン位相秩序は、ユニタリ モジュラー テンソル カテゴリによって分類されます。
• 対称性 G を持つ 2+1D ボゾン位相秩序は、G 交差テンソル カテゴリによって分類されます。
• 対称性 G を持つ 2+1D ボゾン/フェルミオン位相秩序は、モジュラー拡張を持つ対称融合カテゴリ上のユニタリ編組融合カテゴリによって分類されます。ボゾン系では対称融合カテゴリ Rep(G)、フェルミオン系では sRep(G) です。

高次元における位相的秩序は、n カテゴリー理論と関連している可能性があります。量子作用素代数は、位相的秩序を研究する上で非常に重要な数学的ツールです。

トポロジカル秩序は拡張された量子対称性によって数学的に記述されると主張する人もいます。^[44]

ランダウ対称性の破れ理論によって説明される材料は、テクノロジーに大きな影響を与えてきました。たとえば、スピン回転対称性を破る強磁性材料は、デジタル情報ストレージのメディアとして使用できます。強磁性材料で作られたハードドライブは、ギガバイト単位の情報を保存できます。 分子の回転対称性を破る液晶は、ディスプレイ技術で幅広く使用されています。並進対称性を破る結晶は、明確に定義された電子バンドをもたらし、トランジスタなどの半導体デバイスの作成を可能にします。さまざまな種類の位相秩序は、さまざまな種類の対称性の破れ秩序よりもさらに豊富です。これは、刺激的で新しいアプリケーションの可能性を示唆しています。

理論上の応用例の 1 つは、トポロジカル量子コンピューティングと呼ばれる技術で、トポロジカルに秩序だった状態を量子コンピューティングの媒体として使用することである。トポロジカルに秩序だった状態とは、複雑な非局所的量子エンタングルメントを持つ状態である。非局所性とは、トポロジカルに秩序だった状態の量子エンタングルメントが多くの異なる粒子に分散していることを意味する。その結果、量子エンタングルメントのパターンは局所的な摂動によって破壊されることはない。これにより、デコヒーレンスの影響が大幅に軽減される。これは、トポロジカルに秩序だった状態の異なる量子エンタングルメントを使用して量子情報をエンコードすると、情報がはるかに長く持続する可能性があることを示唆している。^[45]トポロジカル量子エンタングルメントによってエンコードされた量子情報は、トポロジカル欠陥を互いにドラッグすることでも操作できる。このプロセスは、量子コンピューティングを実行するための物理的装置を提供する可能性がある。^{[46]したがって、トポロジカルに秩序だった状態は、}量子メモリと量子コンピューティングの両方に自然な媒体を提供できる可能性がある。量子メモリと量子コンピューティングのこのような実現は、潜在的にフォールト トレラントにできる可能性がある。^[11]

位相的に秩序立った状態は一般に、非自明な境界状態を含むという特殊な性質を持っています。多くの場合、これらの境界状態は熱を発生することなく電気を伝導できる完全な伝導チャネルになります。^[47]これは、電子機器における位相的秩序のもう一つの潜在的な応用となり得ます。

トポロジカル秩序と同様に、トポロジカル絶縁体^{[48] [49]}にもギャップレス境界状態があります。トポロジカル絶縁体の境界状態は、トポロジカル絶縁体の検出と応用において重要な役割を果たします。この観察から当然、次のような疑問が生じます。トポロジカル絶縁体はトポロジカル秩序状態の例なのでしょうか? 実際、トポロジカル絶縁体は、この記事で定義されているトポロジカル秩序状態とは異なります。トポロジカル絶縁体は短距離のエンタングルメントのみを持ち、トポロジカル秩序はありませんが、この記事で定義されているトポロジカル秩序は長距離のエンタングルメントのパターンです。トポロジカル秩序は、どのような摂動に対しても堅牢です。創発ゲージ理論、創発分数電荷、分数統計があります。対照的に、トポロジカル絶縁体は、時間反転と U(1) 対称性を尊重する摂動に対してのみ堅牢です。それらの準粒子励起には、分数電荷と分数統計がありません。厳密に言えば、トポロジカル絶縁体は対称性が保護されたトポロジカル秩序（SPT秩序）の一例であり、^[50] SPT秩序の最初の例はスピン1鎖のハルデン相である。 ^{[51] [52] [53] [54]}しかし、スピン2鎖のハルデン相にはSPT秩序がない。

ランダウ対称性の破れ理論は、凝縮物質物理学の基礎となる理論です。凝縮物質研究の領域を定義するために使用されています。位相秩序の存在は、自然がランダウ対称性の破れ理論がこれまで示してきたよりもはるかに豊かであることを示しているようです。そのため、位相秩序は凝縮物質物理学に新しい方向性、つまり高度に絡み合った量子物質の新しい方向性を開きます。物質の量子相（つまり、物質のゼロ温度相）は、長距離絡み合い状態と短距離絡み合い状態の2つのクラスに分けられることがわかります。^[3]位相秩序は、長距離絡み合い状態を説明する概念です。位相秩序 = 長距離絡み合いのパターン。短距離絡み合い状態は、すべて1つの相に属するという意味で自明です。ただし、対称性がある場合、短距離絡み合い状態であっても自明ではなく、異なる相に属する可能性があります。それらの相はSPT 秩序を含むと言われています。^[50] SPT秩序は位相絶縁体の概念を相互作用系に一般化します。

局所ボソン（スピン）モデルにおける位相的秩序（より正確には、弦ネット凝縮）は、宇宙における光子、電子、その他の素粒子の統一的な起源を提供する可能性があると示唆する人もいます。 ^[4]

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