AKLTモデル

凝縮系物理学において、AKLTモデル（アフレック・ケネディ・リーブ・タサキモデルとしても知られる）は、1次元量子 ハイゼンベルクスピンモデルの拡張である。イアン・アフレック、エリオット・H・リーブ、トム・ケネディ、ハル・タサキ [ja] ^[1]によるこのモデルの提案と正確な解は、スピン1ハイゼンベルク鎖の物理学に重要な洞察をもたらした。^{[2] [3] [4] [5]}また、価電子結合固体秩序、対称性保護位相秩序^{[6] [7] [8] [9]}、行列積状態波動関数などの概念の有用な例としても役立っている。

AKLT モデルの主な動機は、マジュムダール・ゴーシュ連鎖でした。マジュムダール・ゴーシュ基底状態における 3 つの隣接するスピンの各セットのうち 2 つは、シングレットまたは価電子結合にペアになっているため、3 つのスピンが一緒になってスピン 3/2 状態になることは決してありません。実際、マジュムダール・ゴーシュ ハミルトニアンは、3 つの隣接するスピンの 3/2 状態へのすべての射影の合計に他なりません。

AKLT 論文の主な洞察は、この構成を一般化して、1/2 以外のスピン サイズに対して正確に解けるモデルを取得できることです。原子価結合の一方の端がスピン 1/2 であるのと同様に、2 つの原子価結合の端を組み合わせてスピン 1 にしたり、3 つを組み合わせてスピン 3/2 にしたりすることができます。

Affleck らは、各サイトのペア間に価電子結合を持つ 1 次元状態を構築することに興味を持っていました。これにより、各サイトに 2 つのスピン 1/2 が生じるため、結果はスピン 1 システムの波動関数になるはずです。

スピン1の隣接するペアごとに、4つの構成スピン1/2のうち2つが合計スピンゼロの状態に留まっています。したがって、スピン1の各ペアは、結合スピン2の状態になることが禁止されています。この条件を、スピン1のペアのスピン2状態を支持する射影子の合計として記述することにより、AKLTは次のハミルトニアンに到達しました。

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{\langle ij\rangle }{\textit {P}}_{\langle ij\rangle }^{(2)}\sim \sum _{j} {\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}+{\frac {1}{3}}({\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1})^{2}}$

定数まで、ここで はスピン 1 演算子であり、隣接するスピンのペアのスピン 2 状態を優先するローカル 2 点プロジェクターです。 ${\textstyle {\vec {S_{i}}}}$${\textstyle {\textit {P}}_{\langle ij\rangle }^{(2)}}$

このハミルトニアンは、スピン 1 の 1 次元量子 ハイゼンベルク スピン モデルに似ていますが、追加の「双二次」スピン相互作用項があります。

AKLTハミルトニアンの基底状態は、隣接するサイト同士を1つの原子価結合でつなぐ原子価結合固体である。図式的に表現すると、

ここで、実線は、一重項状態になるスピン 1/2 を表します。スピン 1/2 を結ぶ線は、一重項のパターンを示す価電子結合です。楕円は、2 つのスピン 1/2 を 1 つのスピン 1 に「結び付ける」射影演算子です。この演算子は、スピン 0 または一重項サブスペースを射影し、スピン 1 または三重項サブスペースのみを保持します。記号「+」、「0」、「-」は、標準のスピン 1 基底状態 (演算子の固有状態) を表します。^[10]${\displaystyle S^{z}}$

リング状に配置されたスピンの場合 (周期境界条件)、AKLT 構成は固有の基底状態を生み出します。ただし、オープン チェーンの場合、最初と最後のスピン 1 には 1 つの隣接スピンしかなく、構成スピン 1/2 の 1 つはペアになっていません。その結果、チェーンの端は、システムがスピン 1 のみで構成されていても、自由スピン 1/2 モーメントのように動作します。

AKLT鎖のスピン1/2エッジ状態は、いくつかの方法で観測できます。短い鎖の場合、エッジ状態はシングレットまたはトリプレットに混ざり、一意の基底状態または基底状態の3倍の多重項になります。長い鎖の場合、エッジ状態は鎖の長さの関数として指数関数的に急速に分離し、4倍縮退した基底状態マニホールドにつながります。^[11] DMRGなどの数値的方法を使用して鎖に沿った局所磁化を測定することにより、エッジ状態を直接確認し、実際のスピン1/2を端に配置することでエッジ状態を除去できることを示すこともできます。^[12]鎖を有限のセグメントに分割する役割を果たす少量の不純物を含む準1D磁性化合物の測定で、スピン1/2エッジ状態を検出できることさえ証明されています。^[13] 2021年には、スピン1の多環芳香族炭化水素であるトリアンギュレンから構築された孤立した量子スピン鎖において、スピン1/2エッジ状態の直接的な分光特性が発見されました。^[14]

AKLT基底状態は単純であるため、行列積状態として簡潔に表現できる。これは次の形式の波動関数である。

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} [A^{s_{1}}A^{s_{2}}\ldots A^{s_{N}}]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle .}$

ここで、A は によってラベル付けされた 3 つの行列のセットであり、トレースは周期境界条件を仮定して生成されます。 ${\displaystyle s_{j}}$

AKLT基底状態波動関数は次の選択に対応する：^[10]

${\displaystyle A^{+}=+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}}$

${\displaystyle A^{0}=-{\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\ \sigma ^{z}}$

${\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}}$

ここで はパウリ行列です。 ${\displaystyle \sigma}$

AKLTモデルは、高次元の格子上で解かれており、^{[1] [15]}準結晶においても解かれています。^{[要出典]このモデルは、} SU( n )、^{[16] [17]} SO( n )、^[18] Sp(n) ^[19] などの高次リー代数に対しても構築されており、量子群SUq( n ) ^[20]に拡張されています。