ポール分割

極分割は、電子増幅器で使用される周波数補償の一部の形式で利用される現象です。増幅器の入力側と出力側の間にコンデンサを挿入して、周波数が最も低い極（通常は入力極）を低い周波数に移動させると、極分割によって、次に周波数が高い極（通常は出力極）がより高い周波数に移動します。この極の移動により、速度が低下する代わりに、増幅器の安定性が向上し、ステップ応答が改善されます。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

この例は、図 1 の増幅器にコンデンサ C _{Cを導入すると 2 つの結果が生じることを示しています。まず、増幅器の最低周波数極がさらに低い周波数に移動し、次に、より高い周波数極がより高い周波数に移動します。} ^{[ 5 ]}この増幅器は、入力抵抗R _iと容量C _iが追加されているため、低周波数極を持ち、時定数はC _i ( R _A || R _i ) です。この極はミラー効果によって周波数が低くなります。負荷抵抗R _Lと容量C _Lが追加されているため、増幅器には高周波出力極が与えられ、時定数はC _L ( R _o || R _L ) です。高周波極が上昇するのは、ミラー増幅補償コンデンサC _{C が}出力電圧分圧器の周波数依存性を変化させるためです。

最初の目的である、最低極における周波数低下を示すことは、ミラーの定理に関する記事と同じアプローチを用いて確立される。その手順に従って、図1は図2の電気的等価回路に変換される。図2の入力側にキルヒホッフの電流法則を適用することで、入力電圧が決定される。${\displaystyle \ v_{i}}$印加信号電圧の関数として理想的なオペアンプに比例する${\displaystyle \ v_{a}}$すなわち、

${\displaystyle {\frac {v_{i}}{v_{a}}}={\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}{\frac {1}{1+j\omega (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\ ,}$

これは、周波数f ₁から始まるロールオフを示します。

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&={\frac {1}{2\pi (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\\&={\frac {1}{2\pi \tau _{1}}}\ ,\\\end{aligned}}}$

表記法を導入する${\displaystyle \tau _{1}}$最低極の時定数の場合。この周波数は、増幅器の初期低周波数よりも低く、C _C = 0 F の場合は次のようになります。 ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi C_{i}(R_{A}\|R_{i})}}}$。

次に、周波数における高極の増加を示すという2つ目の目的に移ります。回路の出力側を考慮すると、全体のゲインに2つ目の要因と追加の周波数依存性をもたらします。電圧${\displaystyle \ v_{o}}$アンプ内部の理想的なオペアンプのゲインによって決定される。

${\displaystyle \ v_{o}=A_{v}v_{i}\ .}$

この関係式を用い、回路の出力側にキルヒホッフの電流法則を適用すると、負荷電圧が求められる。${\displaystyle v_{\ell }}$電圧の関数として${\displaystyle \ v_{i}}$理想オペアンプの入力では次のようになります。

${\displaystyle {\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}=A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\,\!}$${\displaystyle \cdot {\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\ .}$

この式は、回路の入力側について先に求めたゲイン係数と組み合わされて、全体のゲインが得られます。

${\displaystyle {\frac {v_{\ell }}{v_{a}}}={\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}{\frac {v_{i}}{v_{a}}}}$

${\displaystyle =A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\,\!}$${\displaystyle \cdot {\frac {1}{1+j\omega (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\,\!}$${\displaystyle \cdot {\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\ .}$

このゲイン式は、2つの時定数を持つ単純な2極応答を示しているように見えます。また、分子にゼロがありますが、アンプゲインA _vが大きいと仮定すると、このゼロは、この議論では重要でないほど高い周波数でのみ重要になるため、分子は1と近似できます。しかし、アンプは確かに2極挙動を示しますが、2つの時定数は上記の式が示唆するよりも複雑です。これは、ミラー容量に、低周波数では重要ではないが高周波数では大きな影響を与える周波数依存性が隠されているためです。つまり、出力RC積 C _L ( R _o || R _L ) が低周波数極よりも十分に高い周波数に対応すると仮定すると、ミラー近似ではなく、ミラー容量の正確な形式を使用する必要があります。ミラー効果に関する記事によると、ミラー容量は次のように与えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{M}&=C_{C}\left(1-{\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}\right)\\&=C_{C}\left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}{\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\right)\ .\\\end{aligned}}}$

ミラー容量が正の場合、A _vは負になります。この結果を利得式に代入し、項をまとめると、利得は次のように書き換えられます。

${\displaystyle {\frac {v_{\ell }}{v_{a}}}=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}{\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{D_{\omega }}}\ ,}$

ここで、Dω_はωに関する二次式で与えられ、すなわち次のようになる。

${\displaystyle D_{\omega }\,\!}$${\displaystyle =[1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\,\!}$${\displaystyle \cdot \ [1+j\omega C_{i}(R_{A}\|R_{i})]\,\!}$${\displaystyle \ +j\omega C_{C}(R_{A}\|R_{i})\,\!}$${\displaystyle \cdot \left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{O}}}\right)\,\!}$${\displaystyle \ +(j\omega )^{2}C_{C}C_{L}(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})\ .}$

すべての二次式には2つの因数があり、この式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle \ D_{\omega }=(1+j\omega {\tau }_{1})(1+j\omega {\tau }_{2})}$

${\displaystyle =1+j\omega ({\tau }_{1}+{\tau }_{2}))+(j\omega )^{2}\tau _{1}\tau _{2}\ ,\ }$

どこ${\displaystyle \tau _{1}}$そして${\displaystyle \tau _{2}}$これらは、 Dω_の式における容量と抵抗の組み合わせです。^{[ 6 ]}これらは、増幅器の 2 つの極の時定数に対応します。どちらかの時定数が最も長くなります。${\displaystyle \tau _{1}}$は最も長い時定数であり、最も低い極に対応し、${\displaystyle \tau _{1}}$>>${\displaystyle \tau _{2}}$（良好なステップ応答には${\displaystyle \tau _{1}}$>>${\displaystyle \tau _{2}}$_{（下記のC C}の選択を参照してください。）

_{この増幅器の最下極付近の低周波数では、通常、} ωの線形項が二次項よりも重要になるため、Dωの低周波数特性は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\ D_{\omega }&=1+j\omega [(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\\&=1+j\omega (\tau _{1}+\tau _{2})\approx 1+j\omega \tau _{1}\ ,\ \\\end{aligned}}}$

ここで、C _Mはミラー近似を用いて次のように 再定義される。

${\displaystyle C_{M}=C_{C}\left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\right)\ ,}$

これは単に低周波数で評価された以前のミラー容量です。${\displaystyle \tau _{1}}$決定する、ただし${\displaystyle \tau _{1}}$>>${\displaystyle \tau _{2}}$C _Mが大きいので、時定数は${\displaystyle {\tau }_{1}}$元の値C _i ( R _A || R _i ) よりもはるかに大きい。^{[ 7 ]}

高周波では二次項が重要になる。上記の結果を仮定すると、${\displaystyle \tau _{1}}$が有効な場合、第 2 時定数、高周波極の位置は、D _ωの二次項から次のように求められます。

${\displaystyle \tau _{2}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}}}\approx {\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}\ .}$

この式に、積に対応する二次係数を代入すると${\displaystyle \tau _{1}\tau _{2}}$見積もりとともに${\displaystyle \tau _{1}}$2番目のポールの位置の推定値が得られた。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{2}&={\frac {(C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C})(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})}{(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\\&\approx {\frac {C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C}}{C_{M}}}(R_{O}\|R_{L})\ ,\\\end{aligned}}}$

C _Mが大きいので、${\displaystyle \tau _{2}}$元の値C _L ( R _o || R _L )からサイズが縮小される。つまり、C _Cのためにより高い極が周波数でさらに高くなった。^{[ 8 ]}

要するに、コンデンサC_を導入することで低極が下がり、高極が上がったため、「極分割」という用語が適切な表現と言えるでしょう。

_{C C}の選択

C _Cにはどのような値が適切でしょうか? 一般的な用途では、従来の設計 (しばしばドミナントポール補償またはシングルポール補償と呼ばれる) では、アンプのゲインが コーナー周波数から 0  dB ゲイン、あるいはそれ以下まで 20 dB/decade で低下する必要があります。^{[ 9 ] [ 10 ]}この設計では、アンプは安定しており、ユニティゲイン電圧バッファであってもほぼ最適なステップ応答が得られます。より積極的な手法は、2 ポール補償です。^{[ 11 ] [ 12 ]}

設計を得るためにf ₂を配置する方法を図 3 に示します。最低極f ₁では、ボードゲインプロットの傾きが 20  dB/decade に変化します。目標は、0  dB まで 20 dB/decade の傾きを維持することです。ゲインの低下 (dB 単位) 20 log ₁₀ A _vと必要な周波数変化 (対数周波数スケール^{[ 13 ]}上) ( log ₁₀ f ₂ − log ₁₀ f ₁ ) = log ₁₀ ( f ₂ / f _{1 ) の比を取ると、} f ₁とf ₂の間のセグメントの傾きは次のようになります。  

周波数の10倍あたりの傾き ${\displaystyle =20{\frac {\mathrm {log_{10}} (A_{v})}{\mathrm {log_{10}} (f_{2}/f_{1})}}\ ,}$

これは、 f ₂ = A _v f ₁の場合、20  dB/decade となります。f 2 がこれほど大きくない場合、₂番目の極で発生するボード線図の 2 番目のブレークにより、ゲインが 0 dB に低下する前に線図が中断され、結果として安定性が低下し、ステップ応答が劣化します。 

図3は、周波数に対する正しいゲイン依存性を得るためには、第2極の周波数が第1極の周波数よりも少なくともAv_倍高い必要があることを示しています。ゲインはアンプの入力と出力にある分圧器によって若干減少するため、入力と出力の分圧器に対するAvの補正を加えると_、良好なステップ応答を得るための極比条件は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}\approx A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,}$

上記で導出した時定数の近似値を用いると、

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}\approx {\frac {(\tau _{1}+\tau _{2})^{2}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\approx A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,}$

または

${\displaystyle {\frac {[(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]^{2}}{(C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C})(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})}}\,\!}$${\displaystyle {\color {White}\cdot }=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,}$

これにより、C _Cの適切な値を決定するための二次方程式が得られます。図 4 は、この方程式を使用した例を示しています。ゲインが低い場合、この例の増幅器は補償なしで極比条件を満たします (つまり、図 4 では、補償コンデンサC _Cは低ゲインで小さいです)。しかし、ゲインが増加すると、必要な極比がゲインとともに増加するため、補償容量が急速に必要になります (つまり、図 4 では、補償コンデンサC _{C は}ゲインとともに急速に増加します)。さらに大きなゲインでは、必要なC _{C は}ゲインの増加とともに減少します。これは、ゲインとともに増加するC _Cのミラー増幅(ミラー方程式を参照) により、 C _Cの値が小さくなるためです。

設計上の不確実性に対する安全マージンを増やすために、この方程式の右辺のA _vをA _{v の}2 倍または 3 倍に増やすことがよくあります。 ^{[ 14 ]} Sansen ^{[ 4 ]}または Huijsing ^{[ 10 ]}およびステップ応答に関する記事を参照してください。

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