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機械と電気のアナロジーとは、機械システムを電気回路として表現することです。当初、このようなアナロジーは、電気現象を馴染みのある機械用語で説明するために逆向きに使用されていました。 ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、 19 世紀にこの種のアナロジーを導入しました。しかし、電気回路解析が成熟するにつれて、特定の機械的な問題は電気的なアナロジーによってより簡単に解決できることがわかりました。電気領域における理論的発展[注 1 ]で特に有用だったのは、集中定数モデルを使用して電気回路を抽象的なトポロジー図 (回路図)として表現することと、所定の周波数関数を満たす回路を合成する回路解析の能力でした。
このアプローチは、機械式フィルタの設計において特に有用です。機械式フィルタは、機械装置を用いて電気的な機能を実装します。しかし、この手法は純粋に機械的な問題を解決するためにも使用でき、また、他の無関係なエネルギー領域にも拡張できます。今日では、類推による解析は、複数のエネルギー領域が関係するあらゆる場面で標準的な設計ツールとなっています。この手法の大きな利点は、システム全体を統一的かつ一貫性のある方法で表現できることです。電気的な類推は、その性質上、エネルギー領域をまたぐため、特にトランスデューサ設計者や制御システムで使用されます。制御システムのセンサやアクチュエータは、通常、領域をまたぐトランスデューサです。電気的な類推によって表現されるシステムには、電気的な部品が全く含まれていない場合もあります。そのため、制御システムのネットワーク図を作成する際には、領域に依存しない用語が好まれます。
機械と電気のアナロジーは、一方の領域の変数と他方の領域の変数との間に、数学的に同一の形式を持つ関係を見出すことによって開発されます。これを行う唯一の方法はなく、理論的には多数のアナロジーが可能ですが、広く使用されているアナロジーは、インピーダンスアナロジーと移動度アナロジーの2つです。インピーダンスアナロジーでは力と電圧が類似し、移動度アナロジーでは力と電流が類似します。これだけではアナロジーを完全に定義するには不十分であり、2つ目の変数を選択する必要があります。一般的な選択肢は、電力共役変数のペアを類似させることです。これらは、掛け合わせると電力の単位を持つ変数です。たとえば、インピーダンスアナロジーでは、これにより力と速度がそれぞれ電圧と電流に類似することになります。
これらの類推のバリエーションは、電気モーターなどの回転機械システムで使用されます。インピーダンス類推では、力の代わりにトルクが電圧に類推されます。回転部分と往復運動部分を含むシステムなどでは、両方のバージョンの類推が必要になる可能性があります。この場合、機械領域では力-トルク類推が必要であり、電気領域では力-トルク-電圧類推が必要です。音響システムには別のバリエーションが必要です。ここでは、圧力と電圧が類推されます（インピーダンス類推）。インピーダンス類推では、電力共役変数の比は常に電気インピーダンスに類推される量です。たとえば、力/速度は機械インピーダンスです。モビリティ類推では、領域間のインピーダンス間のこの類推は維持されませんが、インピーダンス類推よりも別の利点があります。モビリティ類推では、ネットワークのトポロジが維持され、機械ネットワーク図は、その類推する電気ネットワーク図と同じトポロジを持ちます。
機械電気アナロジーは、機械的パラメータと電気的パラメータの間に類似性を描くことにより、機械システムの機能を等価な電気システムとして表現するために使用されます。機械システム自体もこのように表現できますが、アナロジーは、機械部品と電気部品が接続されている電気機械システムで最も役立ちます。アナロジーは、機械フィルタの解析に特に役立ちます。これらは機械部品で構成されていますが、トランスデューサを介して電気回路で動作するように設計されたフィルタです。回路理論は一般的に電気領域で十分に発展しており、特にフィルタ理論は豊富に利用可能です。機械システムは、機械電気アナロジーを通じて、この電気理論を機械設計に利用できます。[ 1 ]
機械と電気のアナロジーは、一般的に、システムが異なるエネルギー領域間の変換器を含む場合に有用です。 [注1 ] もう一つの応用分野は、レコードプレーヤーのピックアップやトーンアームなどの音響システムの機械部品です。これは、初期の蓄音機では、音声がピックアップ針からホーンまでさまざまな機械部品を介して電気増幅なしで完全に伝達されるため、ある程度重要でした。初期の蓄音機は、機械部品の不要な共振にひどく悩まされていました。これらの共振は、機械部品を低域通過フィルタの部品として扱うことで除去できることがわかり、これにより通過帯域が平坦化されます。[ 2 ]
機械システムの電気的アナロジーは、機械システムの挙動を理解するための教育補助としてのみ使用できます。20世紀初頭頃までは、逆のアナロジーが使用されることが多かった。つまり、当時ほとんど理解されていなかった電気現象から機械的アナロジーが形成されていました。[ 3 ]
電気システムは一般的に回路図によって記述されます。これらは、特殊なグラフ表記法を用いて電気システムのトポロジーを記述するネットワーク図です。回路図は、電気部品の実際の物理的寸法や、それらの実際の空間的関係を表現しようとはしません。これは、電気部品が理想的な集中定数素子として表現されるためです。つまり、素子は単一の点を占めているかのように扱われます（その点に集中しています）。非理想的な部品は、複数の要素を使用して部品を表現することで、このモデルに組み込むことができます。たとえば、インダクタとして使用することを目的としたコイルは、インダクタンスだけでなく抵抗も持ちます。これは、回路図上では、インダクタと直列に接続された抵抗として表現できます。 [ 4 ] したがって、機械システムのアナロジーを形成する最初のステップは、それを同様の方法で、つまり理想的な要素のトポロジーグラフとして、機械ネットワークとして記述することです。[ 5 ] あるいは、回路図よりも抽象的な表現も可能です。たとえば、ボンドグラフなどです。[ 6 ]
線形システムに限定した電気回路図には、抵抗、インダクタンス、容量の3 つの受動要素と、電圧発生器と電流発生器の2 つの能動要素があります。[注 2 ] これらの要素の機械的類似物を使用して、機械回路図を作成できます。これらの要素の機械的類似物が何であるかは、基本変数としてどの変数を選択するかによって異なります。使用できる変数は多岐にわたりますが、最も一般的に使用されるのは、べき乗共役の変数ペア(以下で説明) と、これらから導出されるハミルトニアン変数ペアです。[ 7 ]
この集中定数モデルの適用範囲には限界があります。このモデルは、コンポーネントが十分に小さく、波がコンポーネントを通過するのにかかる時間が無視できるほど小さい場合、または同等に、コンポーネントの両側の波に大きな位相差がない場合にうまく機能します。何が「大きい」かは、モデルに求められる精度によって異なりますが、一般的な経験則では、コンポーネントを波長の 16 分の 1 未満にする必要があります。[ 8 ] 波長は周波数とともに減少するため、この種の設計でカバーできる周波数に上限があります。この上限は、電気領域における同等の上限よりも機械領域でははるかに低くなっています。これは、電気領域では伝搬速度がはるかに速いため、波長が長くなるためです (鋼鉄の機械的振動は約 6,000 m/s で伝搬し、[ 9 ]一般的なケーブルタイプの電磁波は約2 × 10 8 m/sで伝搬します[ 10 ] )。例えば、従来の機械式フィルタは600kHz程度までしか作られていません [ 11 ] （ただし、MEMSデバイスは非常に小さいため、はるかに高い周波数で動作できます）。一方、電気領域では、集中定数モデルから分布定数モデルへの移行は数百メガヘルツの領域で起こります[ 12 ] 。
場合によっては、分布要素解析が必要なコンポーネントが存在する場合でも、トポロジーネットワーク図を引き続き使用できることがあります。電気領域では、基本的な分布要素コンポーネントである伝送線路を、電気的長さの追加要素を導入することでモデルに含めることができます。[ 13 ] 伝送線路は、その長さに沿って不変であるため、完全な形状をモデル化する必要がないという点で特殊なケースです。[ 14 ] 分布要素を扱うもう 1 つの方法は、分布要素を多数の小さな集中要素で近似する有限要素解析を使用することです。まさにこのようなアプローチが、ある論文で人間の耳の蝸牛をモデル化するために使用されました。 [ 15 ] 集中要素モデルを適用するために電気システムに求められるもう 1 つの条件は、コンポーネントの外部に有意な電界が存在しないことです。これは、これらの電界が他の無関係なコンポーネントと結合する可能性があるためです。 [ 16 ]ただし、これらの影響は、ストレイまたは寄生要素 と呼ばれる仮想集中要素を導入することでモデル化できる場合がよくあります。[ 17 ] 機械システムにおけるこれの類似例は、あるコンポーネントの振動が無関係なコンポーネントに結合していることだ。[ 18 ]
電力共役変数は、積が電力となる変数のペアです。電気領域では、電力共役変数として電圧( v ) と電流( i ) が必ず選択されます。したがって、機械領域における電力共役変数は、これと類似しています。しかし、これだけでは機械の基本変数の選択が一意になるわけではありません。並進運動する機械システムの場合、通常は力 ( F ) と速度 ( u ) が選択されますが、これが唯一の選択肢ではありません。回転システムなど、異なる形状のシステムでは、別のペアの方が適切な場合もあります。[ 19 ]
機械の基本変数が選択された後でも、一意の類似物のセットはまだ存在しません。 2 組の電力共役変数を類似性の中で互いに関連付ける方法は 2 つあります。たとえば、Fとv、uとi を関連付けることができます。ただし、uとv、Fとiという別の関連付けも可能です。 これにより、インピーダンス類似性と移動度類似性という 2 つのクラスの類似性が生じます。[ 20 ] これらの類似性は互いに双対です。同じ機械ネットワークは、2 つの異なる電気ネットワークに類似物を持っています。これら 2 つの電気ネットワークは互いに双対回路です。 [ 21 ]
ハミルトン変数（エネルギー変数とも呼ばれる）は、ハミルトンの方程式に従って共役な変数r = ( q , p )である。[ 22 ]
さらに、ハミルトニアン変数の時間微分は、べき乗共役変数である。
電気領域におけるハミルトニアン変数は電荷（q）と磁束鎖交（λ）である。なぜなら、
並進運動の力学的領域では、ハミルトニアン変数は距離変位（x）と運動量（p）である。なぜなら、
他の類推や変数セットについても同様の相関関係が存在する。[ 23 ] ハミルトニアン変数はエネルギー変数とも呼ばれる。ハミルトニアン変数に関するべき乗共役変数の被積分関数はエネルギーの尺度である。例えば、
これらはどちらもエネルギーの表現です。これらは、力学領域における類似概念にちなんで、一般化運動量および一般化変位とも呼ばれます。一部の著者は、この用語は領域中立ではないため推奨していません。同様に、 I型およびV型（電流および電圧にちなんで）という用語の使用も推奨されていません。[ 24 ]
使用されている類推には主に 2 つの種類があります。インピーダンス類推 (マックスウェル類推とも呼ばれる) は、機械的、音響的、電気的インピーダンス間の類推を保持しますが、ネットワークのトポロジーは保持しません。機械的ネットワークは、対応する電気的ネットワークとは異なる配置になっています。移動性類推 (ファイアストーン類推とも呼ばれる) は、エネルギー領域間のインピーダンス間の類推を失う代わりに、ネットワークのトポロジーを保持します。また、スルーアンドアクロス類推 (トレント類推とも呼ばれる) もあります。電気領域と機械領域間のスルーアンドアクロス類推は、移動性類推と同じです。ただし、電気領域と音響領域間の類推は、インピーダンス類推に似ています。スルーアンドアクロス類推における機械領域と音響領域間の類推は、インピーダンス類推と移動性類推の両方と二重の関係にあります。[ 25 ]
機械的な並進運動と回転運動では異なる基本変数が選択され、それぞれの類推に対して 2 つのバリエーションが生じます。たとえば、直線距離は並進運動における変位変数ですが、回転運動では角度が用いられるため、これはあまり適切ではありません。音響的な類推も 3 番目のバリエーションとして説明に含まれています。音響エネルギーは究極的には機械的な性質を持ちますが、文献では流体領域という別のエネルギー領域の一例として扱われ、異なる基本変数を持っています。電気、機械、音響の 3 つの領域すべてにおける類推は、電気機械式オーディオ システムを完全に表現するために必要です。[ 26 ]
インピーダンス類推（マクスウェル類推とも呼ばれる）では、電力共役ペアを構成する 2 つの変数を、努力変数と流れ変数に分類します。エネルギー領域における努力変数は、機械領域における力に相当する変数です。エネルギー領域における流れ変数は、機械領域における速度に相当する変数です。類推領域における電力共役変数は、力と速度に何らかの類似性を持つように選択されます。[ 27 ]
電気領域では、作用変数は電圧、流れ変数は電流です。電圧と電流の比は電気抵抗（オームの法則）です。他の領域でも、作用変数と流れ変数の比は抵抗として表されます。電圧と電流が振動し、それらの間に位相差がある場合、電気インピーダンスの概念が生じます。インピーダンスは抵抗の概念の拡張と考えることができます。抵抗はエネルギー散逸と関連していますが、インピーダンスはエネルギーの蓄積と散逸の両方を含みます。
インピーダンスの類推は、他のエネルギー領域におけるインピーダンスの概念を生み出します（ただし、測定単位は異なります）。[ 28 ] 並進インピーダンスの類推は、単一の線形次元で移動する機械システムを記述し、機械インピーダンスの概念を生み出します。機械インピーダンスの単位は機械オームです。SI 単位では、これは Ns/m または Kg/s です。[ 29 ]回転インピーダンスの類推は、回転する機械システムを記述し、回転インピーダンスの概念を生み出します。SI システムにおける回転インピーダンスの単位は Nms/rad です。[ 30 ]音響インピーダンスの類推は、音響インピーダンスの概念を生み出します。音響インピーダンスの単位は音響オームです。SI 単位では、これは Ns/m 5です。[ 31 ]
移動性アナロジー（ファイアストーンアナロジーとも呼ばれる）は、インピーダンスアナロジーの電気的双対である。つまり、機械領域における努力変数は電気領域における電流（流量変数）に類似しており、機械領域における流量変数は電気領域における電圧（努力変数）に類似している。機械システムを表す電気ネットワークは、インピーダンスアナロジーにおけるネットワークの双対ネットワークである。 [ 33 ]
移動度のアナロジーは、インピーダンスのアナロジーがインピーダンスによって特徴付けられるのと同様に、アドミタンスによって特徴付けられます。アドミタンスはインピーダンスの代数的逆数です。機械領域では、機械的アドミタンスは通常、移動度と呼ばれます。[ 34 ]
スルー・アンド・アクロス・アナロジー（トレント・アナロジーとも呼ばれる）は、べき乗共役対を構成する2つの変数を、アクロス変数とスルー変数に分類します。アクロス変数は、要素の2つの端子間に現れる変数です。アクロス変数は、要素の端子を基準として測定されます。スルー変数は、要素を通過する、または要素を通して作用する変数であり、つまり、要素の両端で同じ値をとります。スルー・アンド・アクロス・アナロジーの利点は、スルー・ハミルトニアン変数を保存量として選択すると、キルヒホッフの節点規則を使用でき、モデルが実際のシステムと同じトポロジーを持つことです。
したがって、電気領域では、横方向の変数は電圧であり、縦方向の変数は電流です。機械領域では、移動度のアナロジーと同様に、対応する変数は速度と力です。[ 36 ] 音響システムでは、圧力は絶対圧力としてではなく、要素の2つの端子に対する相対値として測定されるため、横方向の変数です。したがって、圧力は単位面積あたりの力の単位であっても、縦方向の変数である力とは類似していません。力は要素を通して作用します。上部に力が加えられた棒は、下部に接続された要素に同じ力を伝達します。したがって、縦方向と横方向のアナロジーでは、機械領域は移動度のアナロジーのように電気領域に類似していますが、音響領域はインピーダンスのアナロジーのように電気領域に類似しています。[ 37 ]
電気的アナロジーは、他の多くのエネルギー領域にも拡張できます。センサーやアクチュエータの分野、およびそれらを使用する制御システムでは、システム全体の電気的アナロジーを開発することが一般的な分析方法です。センサーは任意のエネルギー領域の変数を感知することができ、同様にシステムからの出力も任意のエネルギー領域にある可能性があるため、すべてのエネルギー領域のアナロジーが必要です。次の表は、アナロジーを形成するために使用される最も一般的な電力共役変数の概要を示しています。[ 39 ]
熱領域では、エントロピーとは異なり直接測定できるため、温度と熱出力を基本変数として選択することがより一般的である。熱抵抗の概念はこの類推に基づいている。しかし、これらは電力共役変数ではなく、表の他の変数と完全に互換性があるわけではない。この熱類推を含む複数の領域にわたる統合電気類推では、エネルギーの流れを正しくモデル化できない。[ 41 ]
同様に、磁気抵抗の概念を生み出す基本変数として起磁力と磁束を用いる一般的な類推は、エネルギーの流れを正しくモデル化していません。変数ペアの起磁力と磁束は、電力共役ペアではありません。この抵抗モデルは、これら2つの量を類似させるため、抵抗抵抗モデルと呼ばれることがあります。表に示されている、電力共役ペアを使用する類推は、ジャイレータ・キャパシタモデルと呼ばれることがあります。[ 42 ]
トランスデューサは、ある領域からエネルギーを入力として受け取り、それを別のエネルギー領域に変換して出力する装置です。多くの場合可逆的ですが、そのように使用されることはまれです。トランスデューサには多くの用途があり、種類も多く、電気機械システムではアクチュエータやセンサとして使用できます。オーディオエレクトロニクスでは、電気領域と音響領域間の変換を提供します。トランスデューサは機械領域と電気領域間のリンクを提供するため、統一された電気的アナロジーを開発するには、ネットワーク表現が必要です。[ 43 ]これを行うために、電気領域のポート の概念が他の領域に拡張されます。 [ 44 ]
トランスデューサは（少なくとも[注5 ]）2つのポートを持ち、1つは機械領域、もう1つは電気領域にあり、電気的な2ポートネットワークに類似しています。これは、これまで議論してきた要素がすべて1ポートであることと比較されます。2ポートネットワークは、2×2行列として、または同等に、2つの従属ジェネレータと2つのインピーダンスまたはアドミタンスのネットワークとして表現できます。これらの表現には、インピーダンスパラメータ、チェーンパラメータ、ハイブリッドパラメータ、およびそれらの逆の6つの標準形式があります 。いずれの形式も使用できます。ただし、類似変数間（たとえば、インピーダンス類似における努力変数から別の努力変数へ）を変換する受動トランスデューサの表現は、従属ジェネレータをトランスフォーマーに置き換えることで簡略化できます。[ 45 ]
一方、非類似の電力共役変数を変換するトランスデューサは、変圧器では表すことができません。電気領域でこれを行う2ポート要素はジャイレータと呼ばれます。このデバイスは、電圧を電流に、電流を電圧に変換します。類推により、エネルギー領域間で非類似の変数を変換するトランスデューサもジャイレータと呼ばれます。たとえば、電磁トランスデューサは、電流を力に、速度を電圧に変換します。[ 46 ] インピーダンス類推では、このようなトランスデューサはジャイレータです。[ 47 ] トランスデューサがジャイレータか変圧器かは類推に関連しています。同じ電磁トランスデューサは、モビリティ類推では、類似の変数間で変換を行うため変圧器です。[ 48 ]
ジェームズ・クラーク・マクスウェルは、電気現象の非常に詳細な機械的類推を開発した。彼は力と電圧を関連付けた最初の人物であり（1873年）、その結果、インピーダンス類推の創始者として一般的に認められている。[ 49 ] これは最も初期の機械と電気の類推であった。[ 50 ] しかし、インピーダンスという用語は、マクスウェルの死後ずっと後の1886年にオリバー・ヘヴィサイドによって造語された。[ 51 ]複素インピーダンス の概念は1893年にアーサー・E・ケネリーによって導入され、インピーダンスの概念は1920年にケネリーとアーサー・ゴードン・ウェブスターによって機械的領域に拡張された。[ 52 ]
マクスウェルがこの類推を構築した目的は、機械システムを電気回路で表現することではなく、電気現象をより馴染みのある機械用語で説明することであった。[ 53 ] 1899年にジョージ・アシュリー・キャンベルが電話線の改善に負荷コイルの使用を初めて実証した とき、彼は周期的な重りを負荷した機械線に関するチャールズ・ゴッドフリーの研究との類推により、コイル間の必要な距離を計算した。[ 54 ] 電気現象の理解が深まるにつれて、この類推の逆、つまり機械システムを説明するために電気類推を使用することがより一般的になり始めた。実際、電気解析の集中定数抽象トポロジーは、機械領域の問題、そして他のエネルギー領域の問題にも大いに役立つ。1900年までに、機械領域の電気類推は一般的になりつつあった。1920年頃から、電気類推は標準的な解析ツールとなった。 ヴァネヴァー・ブッシュはアナログコンピュータの開発においてこの種のモデリングの先駆者であり、この方法の首尾一貫した説明はクリフォード・A・ニックルによる1925年の論文で発表された。[ 55 ]
電気回路解析、特に新しく開発されたフィルタ理論の分野を機械システムや音響システムに適用することで、性能が大幅に向上しました。ウォーレン・P・メイソンによれば、船舶用電気霧笛の効率は1パーセント未満から50パーセントに向上しました。機械式蓄音機の帯域幅は、音響伝送の機械部品を電気フィルタの要素のように設計することで、 3オクターブから5オクターブに広がりました（機械式フィルタ§音響再生も参照）。驚くべきことに、同時に変換効率も向上しました（増幅システムでは、ゲインと帯域幅の積が一定になるようにゲインをトレードオフできるのが一般的です）。[ 56 ]
1933年、フロイド・A・ファイアストーンは、電圧ではなく電流に力を類似させる新しい類推である移動性類推を提案した。ファイアストーンはこの論文で、横断変数と貫通変数の概念を導入し、類推を他のエネルギー領域に拡張するための構造を提示した。[ 57 ] 1955年にホレス・M・トレント が力と電流の類推の変形を提案し、一般的に横断と貫通の類推と呼ばれるのはこのバージョンである。[ 58 ] トレントは、ネットワークを表現するために線形グラフ法を使用したため、歴史的に力と電流の類推は線形グラフと関連付けられるようになった。力と電圧の類推は、歴史的にヘンリー・ペインターが1960年に導入したボンドグラフ表現で使用されているが、必要に応じてどちらの類推もどちらの表現でも使用できる。[ 59 ]
機械と電気のアナロジーの主な目的の1つは、抽象的なトピックをより具体的にすることであり、そのため機械と電気のアナロジーの物理的な実装が存在します。幅広い電気回路に非常に近いアナロジーを提供する機械システムの1つは、スピントロニクス玩具です。[ 60 ]
