音響インピーダンス

音響測定
特性	シンボル
音圧	p、SPL、L PA
粒子速度	v、SVL
粒子変位	δ
音の強さ	私、義理の妹
音響パワー	P 、 SWL、LWA
音エネルギー	わ
音エネルギー密度	わ
音への露出	E、セル
音響インピーダンス	ず
オーディオ周波数	AF
伝送損失	翻訳
ヴ t e

音響インピーダンスと比音響インピーダンスは、システムに加えられた音圧から生じる音響流に対するシステムの抵抗の尺度です。音響インピーダンスのSI単位はパスカル秒/立方メートル（記号Pa·s/m ³）、またはMKS単位系ではレイル/平方メートル（Rayl/m ²）であり、比音響インピーダンスのSI単位はパスカル秒/メートル（Pa·s/m）またはMKS単位系ではレイル（Rayl）です。^[1]これらは電気インピーダンスと密接な類似点があり、電気インピーダンスはシステムに加えられた電圧から生じる電流に対するシステムの抵抗を測定します。

線形時間不変システムの場合、システムに加えられる音圧と、その適用点におけるその圧力の方向に垂直な表面を通過する結果として生じる音響体積流量との関係は、次のように表される。 ^{[引用が必要]}

${\displaystyle p(t)=[R*Q](t),}$

または同等に

${\displaystyle Q(t)=[G*p](t),}$

どこ

• pは音圧です。
• Q は音響体積流量です。
• ${\displaystyle *}$畳み込み演算子です。
• Rは時間領域における音響抵抗である。
• G = R ^−1は時間領域における音響コンダクタンスです（R ⁻¹はRの畳み込み逆数です）。

音響インピーダンス（Z ）はラプラス変換、またはフーリエ変換、あるいは時間領域音響抵抗の解析的表現である： ^[1]

${\displaystyle Z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[R](s)={\frac {{\mathcal {L}} [p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}},}$

${\displaystyle Z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[R](\omega )={\frac {{\mathcal {F }}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}},}$

${\displaystyle Z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

どこ

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ラプラス変換演算子です。
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$はフーリエ変換演算子です。
• 下付き文字「a」は解析表現演算子です。
• Q ^{−1 は}Qの畳み込み逆数です。

音響抵抗（R）と音響リアクタンス（X ）は、それぞれ音響インピーダンスの実数部と虚数部である。 ^[要出典]

${\displaystyle Z(s)=R(s)+iX(s),}$

${\displaystyle Z(\omega )=R(\omega )+iX(\omega ),}$

${\displaystyle Z(t)=R(t)+iX(t),}$

どこ

• i は虚数単位です。
• Z ( s )において、R ( s ) は時間領域音響抵抗R ( t )のラプラス変換ではありません。Z ( s )は、
• Z ( ω )、R ( ω )は時間領域音響抵抗R ( t )のフーリエ変換ではないが、Z ( ω )はそうである。
• Z ( t )において、R ( t )は時間領域音響抵抗であり、X ( t )は解析表現の定義に従って時間領域音響抵抗R ( t )のヒルベルト変換である。

誘導性音響リアクタンス（X _L）と容量性音響リアクタンス（X _{C ）}は、それぞれ音響リアクタンスの正の部分と負の部分である。 ^{[引用が必要]}

${\displaystyle X(s)=X_{L}(s)-X_{C}(s),}$

${\displaystyle X(\omega )=X_{L}(\omega )-X_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle X(t)=X_{L}(t)-X_{C}(t).}$

音響アドミタンス（Y）はラプラス変換、フーリエ変換、または時間領域音響コンダクタンスの解析的表現である：^[1]

${\displaystyle Y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[G](s)={\frac {1}{Z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[Q](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle Y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[G](\omega )={\frac {1}{Z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[Q](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle Y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}G_{\mathrm {a} }(t)=Z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[Q_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

どこ

• Z ^{−1 は}Zの畳み込み逆数です。
• p ⁻¹はpの畳み込み逆数です。

音響コンダクタンス（G）と音響サセプタンス（B）は、それぞれ音響アドミタンスの実数部と虚数部である。^[要出典]

${\displaystyle Y(s)=G(s)+iB(s),}$

${\displaystyle Y(\omega )=G(\omega )+iB(\omega ),}$

${\displaystyle Y(t)=G(t)+iB(t),}$

どこ

• Y ( s )では、G ( s ) は時間領域音響コンダクタンスG ( t )のラプラス変換ではありません。Y ( s )は、
• Y ( ω )では、G ( ω ) は時間領域音響コンダクタンスG ( t )のフーリエ変換ではありません。Y ( ω ) は、
• Y ( t )において、G ( t )は時間領域音響コンダクタンスであり、B ( t )は解析表現の定義に従って時間領域音響コンダクタンスG ( t )のヒルベルト変換である。

音響抵抗は、音波のエネルギー伝達を表します。圧力と運動は同位相であるため、仕事は音波の前の媒体で行われます。音響リアクタンスは、運動と位相がずれていて平均エネルギー伝達を引き起こさない圧力を表します。^[要出典]たとえば、オルガンのパイプに接続された閉じた電球には空気が流入し、圧力がかかりますが、位相がずれているため、正味のエネルギーは伝達されません。圧力が上昇すると空気が流入し、圧力が低下すると空気が出ていきますが、空気が流入するときの平均圧力は空気が出ていくときと同じであるため、電力は前後に流れますが、時間平均のエネルギー伝達はありません。^[要出典]さらに電気的な類似点は、電力線に接続されたコンデンサです。電流はコンデンサを流れますが、電圧と位相がずれているため、正味の電力は伝送されません。

線形時間不変システムの場合、システムに加えられる音圧と、その適用点におけるその圧力の方向の 粒子速度との関係は次のように表される。

${\displaystyle p(t)=[r*v](t),}$

または同等に次のようになります:

${\displaystyle v(t)=[g*p](t),}$

どこ

• pは音圧です。
• v は粒子の速度です。
• rは時間領域における特定の音響抵抗である。
• g = r ^−1は時間領域における特定の音響コンダクタンスです（r ⁻¹はrの畳み込み逆数です）。^{[引用が必要]}

比音響インピーダンス（z）はラプラス変換、またはフーリエ変換、あるいは時間領域比音響抵抗の解析的表現である：^[1]

${\displaystyle z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[r](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[v](s)}},}$

${\displaystyle z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[r](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\omega )}},}$

${\displaystyle z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}r_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

ここで、v ⁻¹はvの畳み込み逆数です。

比音響抵抗rと比音響リアクタンスxは、それぞれ比音響インピーダンスの実部と虚部である。^[要出典]

${\displaystyle z(s)=r(s)+ix(s),}$

${\displaystyle z(\omega )=r(\omega )+ix(\omega ),}$

${\displaystyle z(t)=r(t)+ix(t),}$

どこ

• z ( s )において、r ( s ) は時間領域特定の音響抵抗r ( t )のラプラス変換ではなく、z ( s ) は次のように表されます。
• z ( ω )、r ( ω )は時間領域の特定の音響抵抗r ( t )のフーリエ変換ではないが、z ( ω )はそうである。
• z ( t )において、r ( t )は時間領域特有の音響抵抗であり、x ( t )は解析表現の定義に従って、時間領域特有の音響抵抗r ( t )のヒルベルト変換です。

比音響誘導リアクタンス（x _L）と比音響容量リアクタンス（x _{C ）}は、それぞれ比音響リアクタンスの正の部分と負の部分である：^[要出典]

${\displaystyle x(s)=x_{L}(s)-x_{C}(s),}$

${\displaystyle x(\omega )=x_{L}(\omega )-x_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle x(t)=x_{L}(t)-x_{C}(t).}$

比音響アドミタンス（ yと表記）はラプラス変換、またはフーリエ変換、あるいは時間領域における比音響コンダクタンスの解析的表現である：^[1]

${\displaystyle y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[g](s)={\frac {1}{z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[v](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[g](\omega )={\frac {1}{z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[v](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}g_{\mathrm {a} }(t)=z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[v_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

どこ

• z ⁻¹はzの畳み込み逆数です。
• p ⁻¹はpの畳み込み逆数です。

比音響コンダクタンス（g）と比音響サセプタンス（b）は、それぞれ比音響アドミタンスの実部と虚部である。^[要出典]

${\displaystyle y(s)=g(s)+ib(s),}$

${\displaystyle y(\omega )=g(\omega )+ib(\omega ),}$

${\displaystyle y(t)=g(t)+ib(t),}$

どこ

• y ( s )において、g ( s ) は時間領域音響コンダクタンスg ( t )のラプラス変換ではありません。y ( s )は、
• y ( ω )において、g ( ω ) は時間領域音響コンダクタンスg ( t )のフーリエ変換ではありません。y ( ω ) は、
• y ( t )において、g ( t )は時間領域音響コンダクタンスであり、b ( t )は解析表現の定義に従って時間領域音響コンダクタンスg ( t )のヒルベルト変換である。

比音響インピーダンスz は、特定の媒体の強度特性です(たとえば、空気や水のz を指定できます)。一方、音響インピーダンスZ は、特定の媒体と形状の強度特性です(たとえば、空気で満たされた特定のダクトのZ を指定できます)。^{[引用が必要]}

音響オームは音響インピーダンスの測定単位です。圧力の SI 単位はパスカル、流量の SI 単位は立方メートル/秒なので、音響オームは 1 Pa·s/m ³に等しくなります。

音響抵抗は、音響の領域外の流体の流れに適用できます。このような用途では、同じ定義を持つ油圧抵抗を使用できます。油圧抵抗の測定値は、油圧と油圧の体積流量の比になります。

面積Aの開口部を通過する1 次元波の場合、音響体積流量Qは開口部を 1 秒あたりに通過する媒体の体積です。音響流が距離d x = v d t移動すると、通過する媒体の体積はd V = A d xとなるため、次の式が成り立ちます。^{[引用が必要]}

${\displaystyle Q={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=A{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=Av.}$

波が1次元の場合、

${\displaystyle Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{A{\mathcal {L}}[v](s)}}={\frac {z(s)}{A}},}$

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{A{\mathcal {F}}[v](\omega )}}={\frac {z(\omega )}{A}},}$

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left({\frac {v^{-1}}{A}}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {z(t)}{A}}.}$

1次元の非分散線形音響の構成法則は、応力とひずみの関係を示している。^[1]

${\displaystyle p=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}},}$

どこ

• pは媒体内の音圧である。
• ρは媒体の体積質量密度である。
• c は媒体中を伝わる音波の速度です。
• δ は粒子の変位である。
• x は音波の伝播方向に沿った空間変数です。

この式は流体と固体の両方に当てはまります。

• 流体の場合、ρc ² = K（Kは体積弾性係数を表す）。
• 固体の場合、縦波ではρc ² = K + 4/3 G（Gはせん断弾性係数を表す）、横波ではρc ² = Gである。^[要出典]

ニュートンの第二法則を媒体に局所的に適用すると次の式が得られる: ^[2]

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}.}$

この方程式を前の方程式と組み合わせると、1次元波動方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial x^{2}}}.}$

平面波

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta (x,\,t)}$

この波動方程式の解は、 xに沿って同じ速度で反対方向に移動する2 つの進行平面波の和から構成されます。^[要出典]

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}$

そこから派生できる

${\displaystyle v(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\partial \delta }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)=-c{\big [}f'(x-ct)-g'(x+ct){\big ]},}$

${\displaystyle p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}}(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\big [}f'(x-ct)+g'(x+ct){\big ]}.}$

進行平面波の場合: ^{[引用が必要]}

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,f'(x-ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=-c\,f'(x-ct)\end{cases}}}$

または

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,g'(x+ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=c\,g'(x+ct).\end{cases}}}$

最後に、比音響インピーダンスzは

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](\mathbf {r} ,\,s)}{{\mathcal {L}}[v](\mathbf {r} ,\,s)}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\mathbf {r} ,\,\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\mathbf {r} ,\,\omega )}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(\mathbf {r} ,\,t)=\pm \rho c.}$^[要出典]

この比音響インピーダンスの絶対値は、特性音響インピーダンスと呼ばれ、z ₀と表記される。^[1]

${\displaystyle z_{0}=\rho c.}$

この方程式はまた、

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{v(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm \rho c=\pm z_{0}.}$

温度は音速と質量密度に作用し、したがって比音響インピーダンスにも作用します。^[要出典]

面積A の開口部を通過する1 次元波の場合、Z = z / Aとなるので、波が進行平面波である場合は、次の式が成り立ちます。^{[引用が必要]}

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,s)=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,\omega )=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,t)=\pm {\frac {\rho c}{A}}.}$

この音響インピーダンスの絶対値は特性音響インピーダンスと呼ばれ、Z ₀と表記される。^[1]

${\displaystyle Z_{0}={\frac {\rho c}{A}}.}$

そして、特性音響インピーダンスは

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{Q(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm {\frac {\rho c}{A}}=\pm Z_{0}.}$

面積Aの開口部がパイプの始まりであり、平面波がパイプに送り込まれると、開口部を通過する波は反射がない場合には進行する平面波となり、通常、パイプのもう一方の端（開いているか閉じているかに関わらず）からの反射は、一方の端からもう一方の端まで伝わる波の合計となります。^[3]（パイプが非常に長い場合は、反射波が戻るまでに長い時間がかかり、パイプの壁での損失によって減衰するため、反射がまったくない可能性があります。^[3]）このような反射とその結果生じる定在波は、管楽器の設計と操作において非常に重要です。^[4]

• 音の波動方程式
• 音響インピーダンスとは何ですか? なぜ重要なのですか?