音響インピーダンス

線形時不変システムの場合、システムに加わる音響圧力と、その圧力の作用点において圧力の方向に垂直な面を通過する音響体積流量との関係は、次式で表されます。

${\displaystyle p(t)=[R*Q](t),}$

または同等に

${\displaystyle Q(t)=[G*p](t),}$

どこ

• pは音圧を表す。
• Qは音響体積流量である。
• ${\displaystyle *}$は畳み込み演算子です。
• Rは時間領域における音響抵抗である。
• G = R ^−1は時間領域における音響伝導率です( R ⁻¹はRの畳み込み逆数です)。

音響インピーダンス（ Zで表される）は、ラプラス変換、フーリエ変換、または時間領域の音響抵抗の解析的表現である。 ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[R](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}},}$

${\displaystyle Z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[R](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}},}$

${\displaystyle Z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

どこ

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$はラプラス変換演算子です。
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$はフーリエ変換演算子です。
• 添え字「a」は解析的表現演算子です。
• Q ⁻¹はQの畳み込み逆関数です。

音響抵抗（ Rで表される）と音響リアクタンス（ Xで表される）は、それぞれ音響インピーダンスの実部と虚部である。

${\displaystyle Z(s)=R(s)+iX(s),}$

${\displaystyle Z(\omega )=R(\omega )+iX(\omega ),}$

${\displaystyle Z(t)=R(t)+iX(t),}$

どこ

• iは虚数単位である。
• Z ( s )では、R ( s )は時間領域音響抵抗R ( t )のラプラス変換ではなく、Z ( s )はラプラス変換です。
• Z ( ω )では、R ( ω ) は時間領域音響抵抗R ( t ) のフーリエ変換ではなく、Z ( ω ) はフーリエ変換です。
• 解析表現の定義によれば、Z ( t )において、R ( t )は時間領域の音響抵抗であり、X ( t )は時間領域の音響抵抗R ( t )のヒルベルト変換である。

誘導性音響リアクタンス（ X _Lと表記）と容量性音響リアクタンス（ X _Cと表記）は、それぞれ音響リアクタンスの正の部分と負の部分である。

${\displaystyle X(s)=X_{L}(s)-X_{C}(s),}$

${\displaystyle X(\omega )=X_{L}(\omega )-X_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle X(t)=X_{L}(t)-X_{C}(t).}$

音響アドミタンス（ Yと表記）は、ラプラス変換、フーリエ変換、または時間領域音響伝導率の解析的表現である。^{[ 1 ]}

${\displaystyle Y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[G](s)={\frac {1}{Z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[Q](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle Y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[G](\omega )={\frac {1}{Z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[Q](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle Y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}G_{\mathrm {a} }(t)=Z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[Q_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

どこ

• Z ⁻¹はZの畳み込み逆行列です。
• p ⁻¹はpの畳み込み逆関数です。

音響コンダクタンス（ Gと表記）と音響サセプタンス（ Bと表記）は、それぞれ音響アドミタンスの実部と虚部である。

${\displaystyle Y(s)=G(s)+iB(s),}$

${\displaystyle Y(\omega )=G(\omega )+iB(\omega ),}$

${\displaystyle Y(t)=G(t)+iB(t),}$

どこ

• Y ( s )において、G ( s ) は時間領域音響伝導率G ( t ) のラプラス変換ではなく、Y ( s ) はラプラス変換である。
• Y ( ω )では、G ( ω ) は時間領域音響伝導率G ( t ) のフーリエ変換ではなく、Y ( ω ) はフーリエ変換です。
• Y ( t )において、G ( t )は時間領域の音響伝導率であり、B ( t )は解析的表現の定義に従って時間領域の音響伝導率G ( t )のヒルベルト変換である。

音響抵抗は音波のエネルギー伝達を表します。圧力と運動は同位相であるため、波の前方の媒体に対して仕事が行われます。音響リアクタンスは運動と位相がずれた圧力を表し、平均的なエ​​ネルギー伝達は発生しません。例えば、オルガンパイプに接続された閉じたバルブには空気が流入し圧力が生じますが、これらは位相がずれているため、正味のエネルギーは伝達されません。圧力が上昇すると空気が流入し、圧力が下降すると空気が流出しますが、空気が流入するときの平均圧力は流出するときの平均圧力と同じであるため、電力は行き来しますが、時間平均のエネルギー伝達はありません。さらに電気的な類推として、送電線に接続されたコンデンサが挙げられます。コンデンサには電流が流れますが、電圧と位相がずれているため、正味の電力は伝達されません。

線形時不変システムの場合、システムに加わる音響圧力と、その圧力が加わる点における圧力方向の粒子速度との関係は、次式で与えられる。

${\displaystyle p(t)=[r*v](t),}$

または同等の方法：

${\displaystyle v(t)=[g*p](t),}$

どこ

• pは音圧を表す。
• vは粒子の速度である。
• rは時間領域における比音響抵抗である。
• g = r ^−1は時間領域における特定の音響伝導率です( r ⁻¹はrの畳み込み逆数です)。

比音響インピーダンスは、zで表され、ラプラス変換、フーリエ変換、または時間領域における比音響抵抗の解析的表現です。^{[ 1 ]}

${\displaystyle z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[r](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[v](s)}},}$

${\displaystyle z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[r](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\omega )}},}$

${\displaystyle z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}r_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

ここで、v ⁻¹はvの畳み込み逆関数です。

比音響抵抗（ rで表される）と比音響リアクタンス（ xで表される）は、それぞれ比音響インピーダンスの実部と虚部である。

${\displaystyle z(s)=r(s)+ix(s),}$

${\displaystyle z(\omega )=r(\omega )+ix(\omega ),}$

${\displaystyle z(t)=r(t)+ix(t),}$

どこ

• z ( s )において、r ( s ) は時間領域固有の音響抵抗r ( t ) のラプラス変換ではなく、z ( s ) はラプラス変換です。
• z ( ω )では、r ( ω ) は時間領域固有の音響抵抗r ( t ) のフーリエ変換ではなく、z ( ω ) はフーリエ変換です。
• z ( t )において、r ( t )は時間領域固有の音響抵抗であり、x ( t )は解析表現の定義に従って時間領域固有の音響抵抗r ( t )のヒルベルト変換である。

比誘導性音響リアクタンス（ x _Lと表記）と比容量性音響リアクタンス（ x _Cと表記）は、それぞれ比音響リアクタンスの正の部分と負の部分である。

${\displaystyle x(s)=x_{L}(s)-x_{C}(s),}$

${\displaystyle x(\omega )=x_{L}(\omega )-x_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle x(t)=x_{L}(t)-x_{C}(t).}$

特定の音響アドミタンスyは、ラプラス変換、フーリエ変換、または時間領域における特定の音響伝導率の解析的表現です。^{[ 1 ]}

${\displaystyle y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[g](s)={\frac {1}{z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[v](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[g](\omega )={\frac {1}{z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[v](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}g_{\mathrm {a} }(t)=z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[v_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

どこ

• z ⁻¹はzの畳み込み逆関数です。
• p ⁻¹はpの畳み込み逆関数です。

比音響コンダクタンス（gで表される）と比音響サセプタンス（ bで表される）は、それぞれ比音響アドミタンスの実部と虚部である。

${\displaystyle y(s)=g(s)+ib(s),}$

${\displaystyle y(\omega )=g(\omega )+ib(\omega ),}$

${\displaystyle y(t)=g(t)+ib(t),}$

どこ

• y ( s )では、g ( s ) は時間領域音響伝導率g ( t ) のラプラス変換ではなく、y ( s ) はラプラス変換です。
• y ( ω )では、g ( ω ) は時間領域音響伝導率g ( t ) のフーリエ変換ではなく、y ( ω ) はフーリエ変換です。
• y ( t )において、g ( t )は時間領域の音響伝導率であり、b ( t )は解析的表現の定義に従って時間領域の音響伝導率g ( t )のヒルベルト変換である。

特定の音響インピーダンスzは、特定の媒体の示強性特性です（例えば、空気や水のzを指定できます）。一方、音響インピーダンスZは、特定の媒体と形状の示量性特性です（例えば、空気で満たされた特定のダクトのZを指定できます）。

音響オームは音響インピーダンスの測定単位です。圧力のSI単位はパスカル、流量のSI単位は立方メートル毎秒なので、音響オームは1  Pa·s/m ³に等しくなります。

音響オームは、音響領域外の流体流れにも適用できる。そのような用途では、定義が同一の油圧オームを用いることができる。油圧オームの測定値は、油圧と水力体積流量の比となる。

面積Aの開口部を通過する一次元波の場合、音響体積流量Qは、開口部を毎秒通過する媒質の体積です。音響流が距離d x = v d tだけ移動すると、通過する媒質の体積はd V = A d xとなるので、次のようになります。

${\displaystyle Q={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=A{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=Av.}$

波が一次元であれば、

${\displaystyle Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{A{\mathcal {L}}[v](s)}}={\frac {z(s)}{A}},}$

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{A{\mathcal {F}}[v](\omega )}}={\frac {z(\omega )}{A}},}$

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left({\frac {v^{-1}}{A}}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {z(t)}{A}}.}$

一次元における非分散線形音響の構成法則は、応力とひずみの関係を与える。^{[ 1 ]}

${\displaystyle p=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}},}$

どこ

• pは媒質中の音圧である。
• ρは媒体の体積質量密度である。
• cは媒質中を伝わる音波の速度である。
• δは粒子の変位である。
• xは音波の伝播方向に沿った空間変数である。

この方程式は流体と固体両方に有効です。

• 流体、ρc ² = K ( Kは体積弾性率を表す)
• 固体の場合、縦波ではρc ² = K + 4/3 G ( Gはせん断弾性率を表す) 、横波ではρc ² = Gとなる。

媒体内で局所的に適用されるニュートンの第二法則は次のようになる。 ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}.}$

この式を前の式と組み合わせると、一次元波動方程式が得られる。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial x^{2}}}.}$

平面波

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta (x,\,t)}$

この波動方程式の解は、 x軸に沿って同じ速度で逆方向に伝播する2つの進行平面波の和から構成される。

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}$

そこから導き出すことができる

${\displaystyle v(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\partial \delta }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)=-c{\big [}f'(x-ct)-g'(x+ct){\big ]},}$

${\displaystyle p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}}(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\big [}f'(x-ct)+g'(x+ct){\big ]}.}$

進行平面波の場合：

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,f'(x-ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=-c\,f'(x-ct)\end{cases}}}$

または

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,g'(x+ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=c\,g'(x+ct).\end{cases}}}$

最後に、特定の音響インピーダンスzは

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](\mathbf {r} ,\,s)}{{\mathcal {L}}[v](\mathbf {r} ,\,s)}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\mathbf {r} ,\,\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\mathbf {r} ,\,\omega )}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(\mathbf {r} ,\,t)=\pm \rho c.}$

この特定の音響インピーダンスの絶対値は、特性特定の音響インピーダンスと呼ばれ、z 0と_表記されることが多い。^{[ 1 ]}

${\displaystyle z_{0}=\rho c.}$

また、これらの式は、

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{v(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm \rho c=\pm z_{0}.}$

温度は音速と質量密度に影響を与え、ひいては音響インピーダンスにも影響を与える。

面積Aの開口部を通過する一次元波の場合、Z = z / Aとなるので、波が進行平面波であれば、次のようになります。

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,s)=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,\omega )=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,t)=\pm {\frac {\rho c}{A}}.}$

この音響インピーダンスの絶対値は、特性音響インピーダンスと呼ばれ、Z 0と_表記されることが多い。^{[ 1 ]}

${\displaystyle Z_{0}={\frac {\rho c}{A}}.}$

そして特性比音響インピーダンスは

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{Q(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm {\frac {\rho c}{A}}=\pm Z_{0}.}$

面積Aの開口部がパイプの始点であり、平面波がパイプ内に送られる場合、反射がない限り、開口部を通過する波は進行平面波となり、パイプのもう一方の端（開いているか閉じているかにかかわらず）からの反射は、一方の端からもう一方の端まで伝わる波の和となる。^{[ 3 ]}（パイプが非常に長い場合、反射波が戻ってくるのに時間がかかり、パイプ壁での損失によって減衰するため、反射が全く起こらないこともある。^{[ 3 ]}）このような反射とそれに伴う定常波は、管楽器の設計と動作において非常に重要である。^{[ 4 ]}