モビリティのアナロジー

モビリティアナロジーはアドミタンスアナロジーやファイアストンアナロジーとも呼ばれ、機械システムを類似の電気システムで表現する方法です。これを行う利点は、特にフィルターの分野において、複雑な電気システムに関する理論と分析技術が大量にあることです。^[1] 電気表現に変換することにより、電気領域のこれらのツールを変更せずに機械システムに直接適用できます。電気機械システムでは、さらなる利点があります。そのようなシステムの機械部分を電気領域に変換することで、システム全体を統一された全体として分析できます。

シミュレートされた電気システムの数学的動作は、表現された機械システムの数学的動作と同一です。電気領域の各要素には、類似の構成方程式を持つ機械領域内の対応する要素があります。キルヒホッフの法則など、電気領域に適用されるすべての回路解析法則は、機械的移動性の類推にも適用されます。

モビリティアナロジーは、電気領域で機械システムを表すために使用される2つの主要な機械-電気アナロジーの1つであり、もう1つはインピーダンスアナロジーです。これら2つの方法では、電圧と電流の役割が逆になり、生成される電気的表現は互いのデュアル回路になります。モビリティアナロジーは、電気領域に転送されたときに機械システムのトポロジーを保存しますが、インピーダンスアナロジーは保存しません。一方、インピーダンスアナロジーは、電気インピーダンスと機械インピーダンス間のアナロジーを保存しますが、モビリティアナロジーは保存しません。

移動度の類推は、機械フィルタの動作をモデル化するために広く使用されています。これらは電子回路で使用することを意図したフィルタですが、完全に機械的な振動波によって機能します。 フィルタの入力と出力には、電気領域と機械領域を変換するためのトランスデューサが設けられています。^[2]

もう一つの非常に一般的な用途は、スピーカーなどのオーディオ機器の分野です。スピーカーはトランスデューサーと機械的な可動部品で構成されています。音波自体は、空気分子やその他の流体媒体の機械的運動の波です。^[3]

機械システムの電気的アナロジーを開発する前に、まず抽象的な機械ネットワークとして記述する必要があります。機械システムはいくつかの理想的な要素に分解され、各要素は電気的アナログとペアになります。^[4] ネットワーク図でこれらの機械要素に使用される記号は、各要素の次のセクションで示されています。

集中電気素子の機械的アナロジーも集中素子である。つまり、素子を備えた機械部品は、機械波が部品の一端から他端まで伝搬するのにかかる時間を無視できるほど小さいと仮定される。伝送線路などの分散素子についてもアナロジーを展開できるが、最も大きな利点は集中素子回路で得られる。抵抗、インダクタンス、静電容量という 3 つの受動電気素子には機械的アナロジーが必要である。これらのアナロジーが何であるかは、電圧を表すためにどの機械的特性が選択され、電流を表すためにどの特性が選択されるかによって決まる。^[5] 移動度のアナロジーでは、電圧のアナロジーは速度であり、電流のアナロジーは力である。^[6]機械インピーダンスは力と速度の比として定義されるため、電気インピーダンスとは類似していない。むしろ、インピーダンスの逆数である電気アドミタンスのアナロジーである。機械アドミタンスは、より一般的には移動度と呼ばれ、 ^[7]アナロジーの名前の由来となっている。^[8]

電気抵抗の機械的な類似性は、摩擦などのプロセスによる運動システムのエネルギー損失です。抵抗器に類似した機械部品はショックアブソーバーであり、逆抵抗（コンダクタンス）に類似した特性は減衰です（逆、電気インピーダンスは機械インピーダンスの逆の類似性であるため）。抵抗器はオームの法則の構成方程式によって支配されます。

${\displaystyle i=vG}$

機械領域における類似の方程式は、

${\displaystyle F=uR_{\mathrm {m} }}$

どこ、

G = 1/ Rはコンダクタンス

Rは抵抗

vは電圧です

私は現在

R _mは機械抵抗、または減衰

Fは力

uは力によって誘起される速度である。^[10]

電気伝導率は電気アドミッタンスの実部を表す。同様に、機械抵抗は機械インピーダンスの実部を表す。^[11]

可動性のアナロジーにおけるインダクタンスの機械的アナロジーはコンプライアンスである。力学ではコンプライアンスの逆数である剛性について議論する方が一般的である。インダクタに類似した機械部品はバネである。インダクタは構成方程式によって支配される。

${\displaystyle v=L{\frac {di}{dt}}}$

力学領域における類似の方程式はフックの法則の一種である。

${\displaystyle u=C_{\mathrm {m} }{\frac {dF}{dt}}}$

どこ、

Lはインダクタンス

時間だ

C _m = 1/ Sは機械的コンプライアンスである

Sは剛性^[13]

インダクタのインピーダンスは純粋に虚数であり、次のように表される。

${\displaystyle Z=j\omega L}$

類似の機械的アドミタンスは次のように与えられる。

${\displaystyle Y_{\mathrm {m} }=j\omega C_{\mathrm {m} }}$

どこ、

Zは電気インピーダンス

jは虚数単位である

ωは角周波数

Ym_は機械的アドミタンスである。^[14]

移動性のアナロジーにおける静電容量の機械的なアナロジーは質量です。コンデンサーに類似した機械部品は、大きくて硬い重りまたは機械的なイナーターです。

コンデンサは構成方程式によって支配される。

${\displaystyle i=C{\frac {dv}{dt}}}$

力学領域における類似の方程式はニュートンの運動の第二法則である。

${\displaystyle F=M{\frac {du}{dt}}}$

どこ、

Cは静電容量

Mは質量

コンデンサのインピーダンスは純粋に虚数であり、次のように表される。

${\displaystyle Z={1 \over j\omega C}}$

類似の機械的アドミタンスは次のように与えられる。

${\displaystyle Y_{\mathrm {m} }={1 \over j\omega M}}$^[16 ]

質量を電気要素のアナロジーとして扱うと、奇妙な困難が生じる。これは、機械システムでは質量の速度（そしてより重要なことに、その加速度）が常に何らかの固定された基準フレーム（通常は地球）に対して測定されるという事実と関係している。2端子システム要素として考えると、質量の1つの端子は速度「u」で、電位に類似している。もう1つの端子は速度ゼロで、電気接地電位に類似している。したがって、質量は接地されていないコンデンサのアナロジーとして使用できない。^[17]

このことから、ケンブリッジ大学のマルコム・C・スミスは2002年に、機械ネットワーク用の新しいエネルギー貯蔵要素である慣性慣性を定義しました。慣性慣性を持つコンポーネントはイナーターと呼ばれます。イナーターの2つの端子は、質量とは異なり、2つの異なる任意の速度と加速度を持つことができます。イナーターの構成方程式は、次のように表されます。^[18]

${\displaystyle F=B\left({\frac {du_{\mathrm {2} }}{dt}}-{\frac {du_{\mathrm {1} }}{dt}}\right)=B{\frac {d\Delta u}{dt}}}$

どこ、

Fは2つの端子に適用される等しく反対方向の力である

Bは慣性抵抗

u ₁とu _{2 は}それぞれターミナル1と2の速度である。

Δu = u ₂ − u ₁​

イナータンスは質量と同じ単位（SIシステムではキログラム）を持ち、その名前は慣性との関係を示しています。スミスはネットワーク理論の要素を定義しただけでなく、実際の機械部品の構造も提案し、小さなプロトタイプを作成しました。スミスのイナーターは、シリンダーに出し入れできるプランジャーで構成されています。プランジャーはラックとピニオンギアに接続されており、シリンダー内のフライホイールを駆動します。トルクの発生を防ぐために、2つの逆回転フライホイールを配置できます。プランジャーを押し込むときに提供されるエネルギーは、プランジャーが反対方向に動くときに返されるため、このデバイスはエネルギーを消費するのではなく、質量の塊のようにエネルギーを蓄えます。ただし、イナーターの実際の質量は非常に小さく、理想的なイナーターには質量がありません。イナーターの2つのポイント、プランジャーとシリンダーケースは、どちらも必ずしも接地されなくても、機械システムの他の部分に独立して接続できます。^[19]

スミスのイナーターは、 F1レースでJダンパーとして利用されている。現在では禁止されている同調質量ダンパーの代替として使用され、車両のサスペンションの一部を形成している。2005年にスミスとの協力によりマクラーレンが初めて秘密裏に使用した可能性がある。現在では他のチームも使用していると考えられている。イナーターは同調質量ダンパーよりもはるかに小さく、タイヤの接地面の負荷変動を平滑化する。 ^[20] スミスは、イナーターを使用して機械の振動を減らすことも提案している。^[21]

機械的な類推における質量の難しさは、移動度の類推に限ったことではありません。同様の問題はインピーダンスの類推でも発生しますが、その場合はコンデンサではなく接地されていないインダクタが標準的な要素で表現できません。^[22]

機械共振器は質量要素とコンプライアンス要素の両方から構成されます。機械共振器は、インダクタンスとキャパシタンスからなる電気LC 回路に似ています。実際の機械部品は必然的に質量とコンプライアンスの両方を持つため、共振器を単一の部品として作成することが現実的です。実際、純粋な質量または純粋なコンプライアンスを単一の部品として作成することはより困難です。スプリングは一定のコンプライアンスと最小の質量で作成できます。または、質量は最小のコンプライアンスで作成できますが、どちらも完全に排除することはできません。機械共振器は、機械フィルターの重要な部品です。^[23]

電圧源と電流源（発電機）の能動電気要素には類似物が存在する。定電流発電機の可動性類似物における機械的類似物は定力発電機である。定電圧発電機の機械的類似物は定速度発電機である。^[26]

定力発電機の例としては、定力ばねがあげられる。実用的な定速度発電機の例としては、ベルトを駆動するモーターなどの軽負荷の強力な機械があげられる。これは、負荷抵抗が電池の内部抵抗よりもはるかに高い限り、負荷がかかってもほぼ定電圧を維持する電池などの実際の電圧源に似ている。^[27]

電気機械システムには、電気領域と機械領域を変換するトランスデューサーが必要です。これらは2 ポート ネットワークに類似しており、2 つの同時方程式と 4 つの任意のパラメータで記述できます。表現方法は多数ありますが、移動度の類似性に最も適した形式は、アドミタンスの単位で任意のパラメータを持つものです。行列形式 (電気側をポート 1 とする) では、この表現は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}i\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v\\F\end{bmatrix}}}$

要素は短絡機械アドミタンス、つまり電気側にゼロ電圧（短絡）が印加されたときにトランスデューサの機械側によって提示されるアドミタンスです。逆に、要素は無負荷電気アドミタンス、つまり機械側が負荷を駆動していない（ゼロ力）ときに電気側に提示されるアドミタンスです。残りの2つの要素とは、それぞれトランスデューサの順方向および逆方向の伝達関数を表します。これらは両方とも伝達アドミタンスに類似しており、電気量と機械量のハイブリッド比です。^[28]${\displaystyle y_{22}\,}$${\displaystyle y_{11}\,}$${\displaystyle y_{21}\,}$${\displaystyle y_{12}\,}$

変圧器の機械的な類似点は、滑車やレバーなどの単純な機械です。負荷に適用される力は、機械の機械的利点がそれぞれ1より大きいか小さいかに応じて、入力力よりも大きくなったり小さくなったりします。機械的利点は、移動度の類似点における変圧器の巻数比の逆数に類似しています。機械的利点が1より小さい場合は昇圧変圧器に類似し、1より大きい場合は降圧変圧器に類似しています。^[29]

この図は、剛性Sのバネと抵抗R _mのダンパーによって基板上に吊り下げられた質量Mのプラットフォームの機械的配置を示しています。モビリティアナロジーの等価回路はこの配置の右側に示されており、並列共振回路で構成されています。このシステムは共振周波数を持ち、あまり強く減衰されない場合は固有振動数を持つ可能性があります。^[30]

移動度アナロジーがインピーダンスアナロジーよりも優れている主な点は、機械システムのトポロジーが維持されることです。機械システムで直列になっている要素は、電気等価回路でも直列になり、機械システムで並列になっている要素は、電気等価回路でも並列のままになります。^[31]

移動度の類推の主な欠点は、電気インピーダンスと機械インピーダンスの類推が維持されないことである。機械インピーダンスは電気アドミタンスとして表され、機械抵抗は電気等価回路の電気コンダクタンスとして表される。力は電圧に類似しているのではなく（発電機の電圧は起電力と呼ばれることが多い）、むしろ電流に類似している。^[17]

歴史的に、インピーダンスのアナロジーはモビリティのアナロジーよりずっと前から使われていました。機械的アドミタンスとそれに関連するモビリティのアナロジーは、位相保存の問題を克服するために FA ファイアストンによって 1932 年に導入されました。^[32] W. ヘンレはドイツで独立して同じアイデアを持っていました。 ホレス M. トレントは数学的なグラフ理論の観点からアナロジー一般の扱い方を開発し、独自の新しいアナロジーを導入しました。^[33]

• アトキンス、トニー、エスキュディエ、マルセル、『機械工学辞典』、オックスフォード大学出版局、2013年ISBN  0199587434。
• Beranek, Leo Leroy; Mellow, Tim J., Acoustics: Sound Fields and Transducers、Academic Press、2012年ISBN 0123914213。 
• Busch-Vishniac, Ilene J.、「電気機械センサーおよびアクチュエータ」、Springer Science & Business Media、1999年ISBN 038798495X。 
• Carr, Joseph J.、「RF コンポーネントと回路」、Newnes、2002 年ISBN 0-7506-4844-9。 
• Debnath, MC; Roy, ​​T.、「非均一表面音響波トランスデューサの伝達散乱行列」、International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences、 vol. 10、号 3、pp. 563–581、1987 年。
• デ・グルーテ、スティーブン、「F1 における J ダンパー」、F1 テクニカル、2008 年 9 月 27 日。
• Eargle, John、「Loudspeaker Handbook」、Kluwer Academic Publishers、2003年ISBN 1402075847。 
• Fahy, Frank J.; Gardonio, Paolo, Sound and Structural Vibration: Radiation, Transmission and Response、Academic Press、2007年ISBN 0080471102。 
• Findeisen、Dietmar、「システム ダイナミクスと機械振動」、Springer、2000 ISBN 3540671447。 
• ファイアストン、フロイド A.、「機械システムと電気システムの新しい類似性」、アメリカ音響学会誌、第 4 巻、pp. 249–267 (1932–1933)。
• Hähnle, W.、「Die Darstellung elektromechanischer Gebilde durch rein elektrische Schaltbilder」、Wissenschaftliche Veröffentlichungen aus dem Siemens-Konzern、vol. 1、iss。 11、1–23ページ、1932年。
• クライナー、メンデル、電気音響学、CRCプレス、2013年ISBN 1439836183。 
• ピアス、アラン D.、「音響：その物理的原理と応用入門」、アメリカ音響学会、1989年、ISBN 0883186128。 
• Pusey, Henry C. (編)、「衝撃および振動技術の 50 年」、Shock and Vibration Information Analysis Center、Booz-Allen & Hamilton、Inc.、1996 年ISBN 0964694026。 
• スミス、マルコム C.、「機械ネットワークの合成: イナーター」、IEEE Transactions on Automatic Control、第 47 巻、第 10 号、pp. 1648–1662、2002 年 10 月。
• Talbot-Smith、Michael、Audio Engineer's Reference Book、Taylor & Francis、2013年ISBN 1136119736。 
• Taylor, John; Huang, Qiuting、「CRC Handbook of Electrical Filters」、CRC Press、1997年、ISBN 0849389518。 
• Trent, Horace M.、「有向線形グラフと集中物理システム間の同型性」、アメリカ音響学会誌、第 27 巻、500 ～ 527 ページ、1955 年。