不連続和（トポロジー）

一般位相幾何学および関連する数学の分野において、位相空間の族の不連続和（ 直和、自由和、自由和、位相和、または余積とも呼ばれる）は、基礎となる集合の不連続和に不連続和位相と呼ばれる自然な位相を備えることによって形成される空間です。大まかに言えば、不連続和では、与えられた空間は、それぞれが単独で見え、互いに隔離された単一の新しい空間の一部であると見なされます。

余積という名前は、分離した和が積空間構成のカテゴリカルな双対であるという事実に由来しています。

{ X _i  : i ∈ I } をIで添え字付けされた位相空間の族とする。

${\displaystyle X=\coprod _{i}X_{i}}$

を基礎集合の互いに素な和集合と する。I内の各iについて、

${\displaystyle \varphi _{i}:X_{i}\to X\,}$

を正準注入（ によって定義される）とする。X上の分離和位相は、すべての正準注入が連続するX上の最良位相として定義される（つまり、正準注入によって誘導されるX上の最終位相である）。 ${\displaystyle \varphi_{i}(x)=(x,i)}$${\displaystyle \varphi_{i}}$

明示的には、分離和位相は次のように記述できます。Xの部分集合UがXにおいて開いているのは、その原像が各i ∈ Iに対してX _iにおいて開いている場合のみです。さらに別の定式化では、 Xの部分集合VがXに対して開いているのは、各iに対して、そのX _iとの交差がX _iに対して開いている場合のみです。 ${\displaystyle \varphi _{i}^{-1}(U)}$

非素和集合X は、標準的注入とともに、次の普遍的性質によって特徴付けることができる。Y が位相空間であり、f _i  : X _i → Yが各i ∈ Iに対する連続写像である場合、次の図式集合が可換となるような連続写像f  : X → Yが正確に 1 つ存在する。

これは、互いに素な和が位相空間のカテゴリにおける余積であることを示しています。上記の普遍的性質から、写像f  : X → Yが連続であるためには、f _i = f o φ _{i が}I内のすべてのiに対して連続である必要があります。

連続であることに加えて、正準な注入 φ _i  : X _i → Xは開いた写像と閉じた写像です。したがって、注入は位相的な埋め込みであり、各X _{i は}Xのサブスペースとして正準的に考えることができます。

各X _{i が}固定空間Aに同相である場合、非結合和X は積空間A × Iに同相であり、ここでI は離散位相を持ちます。

• 離散空間の互いに交わらない和集合はすべて離散的である
• 分離
  • T ₀空間の任意の非結合和はT _{0である。}
  • T ₁空間の任意の非結合和はT _{1である。}
  • ハウスドルフ空間の任意の非交差和はハウスドルフである
• つながり
  • 2つ以上の空でない位相空間の不連続な和は不連続である

• 積トポロジー、二重構造
• 部分空間位相とその双対商位相
• 位相的和集合、断片が互いに素でない場合への一般化