実際の構造

数学において、複素ベクトル空間上の実構造とは、複素ベクトル空間を2つの実ベクトル空間の直和に分解する方法である。このような構造の原型は、複素数体そのものであり、複素数体自身を複素ベクトル空間と共役写像とみなしたものである。${\displaystyle \sigma$ :{\mathbb {C} }\to {\mathbb {C} }\,} 、${\displaystyle \sigma (z)={\bar {z}}}$に「標準的な」実際の構造を与える${\displaystyle {\mathbb {C} }\,}$つまり${\displaystyle {\mathbb {C} }={\mathbb {R} }\oplus i{\mathbb {R} }\,}$。

共役写像は反線形である。${\displaystyle \sigma (\lambda z)={\bar {\lambda }}\sigma (z)\,}$そして${\displaystyle \sigma (z_{1}+z_{2})=\sigma (z_{1})+\sigma (z_{2})\,}$。

複素ベクトル空間V上の実構造は反線形対合である${\displaystyle \sigma :V\to V}$実構造は実部分空間を定義する。${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\subset V}$その固定位置と自然地図

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }{\mathbb {C} }\to V}$

これは同型写像である。逆に、 実ベクトル空間の複素化である任意のベクトル空間は、自然な実構造を持つ。

まず、すべての複素空間Vには、元の集合と同じベクトルを取り、スカラーを実数に制限することによって得られる実在化が存在することに注意する。${\displaystyle t\in V\,}$そして$t ≠ 0$次にベクトル${\displaystyle t\,}$そして${\displaystyle it\,}$Vの実現において、これらは線形独立である。したがって、

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V=2\dim _{\mathbb {C} }V}$

当然ながら、 V を2 つの実ベクトル空間の直和、すなわち「Vの実部と虚部」として表現したいと考えるだろう。しかし、これを行う標準的な方法は存在しない。このような分割は、Vにおける追加の実構造となる。それは次のように導入できる。^{[ 1 ]}${\displaystyle \sigma :V\to V\,}$反線形写像である。${\displaystyle \sigma \circ \sigma =id_{V}\,}$つまり、複素空間Vの反線形対合である。任意のベクトル${\displaystyle v\in V\,}$書くことができる${\displaystyle {v=v^{+}+v^{-}}\,}$、 どこ${\displaystyle v^{+}={1 \over {2}}(v+\sigma v)}$そして${\displaystyle v^{-}={1 \over {2}}(v-\sigma v)\,}$。

したがって、ベクトル空間の直和が得られる。${\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}$どこ：

${\displaystyle V^{+}=\{v\in V|\sigma v=v\}}$そして${\displaystyle V^{-}=\{v\in V|\sigma v=-v\}\,}$。

両方のセット${\displaystyle V^{+}\,}$そして${\displaystyle V^{-}\,}$実ベクトル空間である。線形写像${\displaystyle K:V^{+}\to V^{-}\,}$、 どこ${\displaystyle K(t)=it\,}$は実ベクトル空間の同型写像であり、したがって次のようになる。

${\displaystyle \dim _{\mathbb {R} }V^{+}=\dim _{\mathbb {R} }V^{-}=\dim _{\mathbb {C} }V\,}$。

最初の要因${\displaystyle V^{+}\,}$また、${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$そして、不変のままです${\displaystyle \sigma \,}$つまり${\displaystyle \sigma (V_{\mathbb {R} })\subset V_{\mathbb {R} }\,}$2つ目の要因${\displaystyle V^{-}\,}$通常は次のように表される${\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}$直接合計${\displaystyle V=V^{+}\oplus V^{-}\,}$現在は次のように表示されます。

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}$、

つまり、「実数」の直接の合計として${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$そして「想像上の」${\displaystyle iV_{\mathbb {R} }\,}$Vの部分。この構成は、複素ベクトル空間Vの反線形対合の選択に大きく依存します。実ベクトル空間の複素化${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$つまり、 ${\displaystyle V^{\mathbb {C} }=V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,}$は自然な実構造を持ち、したがって 2 つのコピーの直和と正準的に同型である${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\,}$:

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }\,}$。

これは自然な線形同型性に従う。${\displaystyle V_{\mathbb {R} }\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \to V\,}$与えられた実構造を持つ複素ベクトル空間の間。

複素ベクトル空間V上の実構造、すなわち反線形対合${\displaystyle \sigma :V\to V\,}$は、線形マップの観点から同等に記述できる。${\displaystyle {\hat {\sigma }}:V\to {\bar {V}}\,}$ベクトル空間から${\displaystyle V\,}$複素共役ベクトル空間へ${\displaystyle {\bar {V}}\,}$定義される

${\displaystyle v\mapsto {\hat {\sigma }}(v):={\overline {\sigma (v)}}\,}$[ ^{2 ]​}

実数体の部分体上で定義された代数多様体の場合、実構造とは、複素射影空間またはアフィン空間における多様体の点に作用する複素共役のことである。その固定軌跡とは、多様体の実点の空間（空集合の場合もある）である。

実数体の部分体上で定義されたスキームにおいて、複素共役は、基底体の代数閉包のガロア群の自然な構成要素となる。実構造とは、基底体の代数閉包上のスキームの拡張に対するこの共役のガロア作用である。実点とは、剰余体が固定される点（空集合の場合もある）のことである。

数学において、複素ベクトル空間V上の現実構造とは、 Vを2つの実部分空間（Vの実部と虚部と呼ばれる）に分解したものである。

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}$

ここで、V _RはVの実部分空間、すなわち実数上のベクトル空間として考えられるVの部分空間です。Vが複素次元n (実次元 2 n )を持つ場合、V _{R は}実次元nを持つ必要があります。

ベクトル空間上の標準的な現実構造${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$分解とは

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\oplus i\,\mathbb {R} ^{n}.}$

現実構造が存在する場合、Vのすべてのベクトルは実部と虚部を持ち、それぞれがV _Rのベクトルである。

${\displaystyle v=\オペレータ名 {Re} \{v\}+i\,\オペレータ名 {Im} \{v\}}$

この場合、ベクトルvの複素共役は次のように定義されます。

${\displaystyle {\overline {v}}=\オペレータ名 {Re} \{v\}-i\,\オペレータ名 {Im} \{v\}}$

この地図${\displaystyle v\mapsto {\overline {v}}}$反線形対合である、すなわち

${\displaystyle {\overline {\overline {v}}}=v,\quad {\overline {v+w}}={\overline {v}}+{\overline {w}},\quad {\text{and}}\quad {\overline {\alpha v}}={\overline {\alpha }}\,{\overline {v}}.}$

逆に、反線形対合が与えられた場合${\displaystyle v\mapsto c(v)}$複素ベクトル空間V上では、次のようにV上の実数構造を定義することができる。

${\displaystyle \operatorname {Re} \{v\}={\frac {1}{2}}\left(v+c(v)\right),}$

そして定義する

${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\left\{\operatorname {Re} \{v\}\mid v\in V\right\}.}$

それから

${\displaystyle V=V_{\mathbb {R} }\oplus iV_{\mathbb {R} }.}$

これは実際には、実線形演算子cの固有空間としてのVの分解です。 cの固有値は+1 と −1 であり、固有空間はV _Rと${\displaystyle i}$ それぞれV _Rです。通常、固有空間分解ではなく、演算子c自体がV上の実数構造と呼ばれます。

• 反線形マップ
• 正準複合体共役マップ
• 複合体共役体
• 複素共役ベクトル空間
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• 線状複素構造
• 線形マップ
• 半直線形
• スピノル解析

• ホーンとジョンソン著『行列解析』ケンブリッジ大学出版局、1985年。ISBN 0-521-38632-2（反線形写像については4.6節で説明します。）
• ブディニッチ、P.とトラウトマン、A.スピノリアル チェス盤。シュプリンガー版、1988 年。ISBN 0-387-19078-3（反線形写像については3.3節で説明します。）
• ペンローズ、ロジャー；リンドラー、ヴォルフガング（1986）、『スピノルと時空』第2巻、ケンブリッジ数理物理学モノグラフ、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-25267-6MR 0838301​