中空マトリックス

数学において、中空行列は、疎行列、ゼロの大きなブロックを持つ行列、または対角要素がすべてゼロである行列など、 いくつかの関連する行列のクラスのいずれかを指す場合があります。

中空行列とは、ゼロ以外の要素が「少数」ある行列、つまり疎行列のことである。^[1]

中空行列は、 r + s > nであるr × sのゼロブロック を持つ正方n × n行列である。^[2]

中空行列は、対角要素がすべてゼロに等しい正方行列である。 ^[3]つまり、n × n行列A = ( a _ij )は、 i = jのときは常にa _ij = 0である（つまり、すべてのiに対してa _ii = 0である）場合、中空である。最も明白な例は、実数の歪対称行列である。他の例としては、有限単純グラフの隣接行列や、距離行列またはユークリッド距離行列がある。

言い換えれば、形式をとる正方行列はすべて 中空行列であり、記号は任意のエントリを表します。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&\ast &&\ast &\ast \\\ast &0&&\ast &\ast \\&&\ddots \\\ast &\ast &&0&\ast \\\ast &\ast &&\ast &0\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle \ast}$

たとえば、 中空マトリックスです。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&6&{\frac {1}{3}}&4\\2&0&4&8&0\\9&4&0&2&933\\1&4&4&0&6\\7&9&23&8&0\end{pmatrix}}}$$

• 中空マトリックスのトレースはゼロです。
• A が固定基底に関する線型写像 を表す場合、各基底ベクトルe をeのスパンの補集合に写像する。つまり、${\displaystyle L:V\to V}$${\displaystyle L(\langle e\rangle )\cap \langle e\rangle =\langle 0\rangle }$${\displaystyle \langle e\rangle =\{\lambda e:\lambda \in F\}.}$
• ゲルシュゴリンの円定理は、中空行列の固有値のモジュライが、非対角行の要素のモジュライの合計以下であることを示しています。