ポーランドのスペース

一般位相幾何学という数学の分野において、ポーランド空間は、可分かつ 完全に距離化可能な 位相空間、すなわち、完全距離空間に同相で、可算な稠密部分集合を持つ空間である。ポーランド空間は、ポーランドの位相学者や論理学者、シェルピンスキー、クラトフスキー、タルスキらによって最初に広範に研究されたため、このように名付けられている。しかし、ポーランド空間が今日研究されるのは、ボレル同値関係の研究を含む記述的集合論の主要な舞台となっているためである。ポーランド空間は、特に確率論において、より高度な測度論の便利な舞台でもある。

ポーランド空間の一般的な例としては、実数直線、任意の可分な バナッハ空間、カントール空間、およびベール空間があります。さらに、通常の計量では完全な距離空間ではない空間もポーランド空間である場合があります。たとえば、開区間 (0, 1)はポーランド空間です。

任意の 2 つの非可算ポーランド空間の間には、ボレル同型、つまりボレル構造を保存する全単射が存在します。特に、すべての非可算ポーランド空間は連続体の濃度を持ちます。

ルシン空間、ススリン空間、ラドン空間はポーランド空間の一般化です。

1. すべてのポーランド空間は、（分離可能かつ距離化可能であるため）第二可算である。 ^[1]
2. ポーランド空間Pの部分空間Qは（誘導位相の下で）ポーランド空間であるためには、QがPの開部分集合の列の交差である必要がある（つまり、QはGδ集合である）。^[2 _]
3. (カントール・ベンディクソンの定理) Xがポーランド集合である場合、 Xの任意の閉部分集合は、完全集合と可算集合の互いに素な和集合として表すことができます。さらに、ポーランド空間Xが非可算である場合、完全集合と可算な開集合の互いに素な和集合として表すことができます。
4. あらゆるポーランド空間はヒルベルト立方体のGδ_部分集合（つまりINの部分集合、^ここでIは単位区間、Nは自然数集合）に同相である。 ^[3]

次のスペースはポーランド語です:

• ポーランド空間の閉部分集合、
• ポーランド空間の開集合、
• ポーランド空間の可算族の積と非結合和、
• 無限遠で距離化可能かつ可算な局所コンパクト空間、
• ハウスドルフ位相空間のポーランド部分空間の可算な交差、
• 実数直線の標準位相によって誘導される位相を持つ無理数の集合。

ウリゾーンの距離化定理など、第 2 可算位相空間が距離化可能であることを示す特徴付けは数多くあります。距離化可能な空間が完全に距離化可能かどうかを判断する問題はより困難です。開単位区間 (0,1) などの位相空間には、その位相を生成する完全距離と不完全距離の両方を与えることができます。

完全分離可能距離空間は、強いショケゲームと呼ばれるゲームの観点から特徴付けられます。分離可能距離空間は、2 番目のプレイヤーがこのゲームで勝利戦略を持っている場合にのみ、完全に距離化可能です。

2 番目の特徴付けは、アレクサンドロフの定理から得られます。これは、可分距離空間が完全に距離化可能であるのは、それが元の距離におけるその完備化のサブセットである場合のみであると述べています。 ${\displaystyle G_{\delta}}$

ポーランド空間は距離化可能であるが、それ自体は距離空間ではない。各ポーランド空間には、同じ位相を生じる多くの完全な距離が存在するが、そのうちのどれかが取り出されたり区別されたりはしない。区別された完全な距離を持つポーランド空間は、ポーランド距離空間と呼ばれる。ここで示したものと同等の別のアプローチは、まず「ポーランド距離空間」を「完全な分離可能な距離空間」という意味で定義し、次に「ポーランド空間」を距離を忘れることによってポーランド距離空間から得られる位相空間として定義することである。

ハウスドルフ位相空間は、より強い位相がポーランド空間に入る場合、 ルシン空間（ニコライ・ルシンにちなんで名付けられました）です。

ルシン空間を形成する方法はたくさんあります。特に:

• すべてのポーランド空間はルシン空間である^[4]
• ルシン空間の部分空間がルシン空間となるのは、それがボレル集合である場合に限る。^[5]
• ハウスドルフ空間のルシン部分空間の可算な和集合または積集合はルシン空間である。^[6]
• 可算個のルシン空間の積はルシン空間である。^[7]
• 可算個のルシン空間の互いに交わらない和はルシン空間である。^[8]

ハウスドルフ位相空間は、連続写像によるポーランド空間の像である場合に、ススリン空間（ミハイル・ススリンにちなんで名付けられた）である。したがって、すべてのルシン空間はススリンである。ポーランド空間では、部分集合がススリン空間であるためには、それがススリン集合（ススリン演算の像）である必要がある。^[9]

以下は Suslin 空間です。

• ススリン空間の閉部分集合または開部分集合、
• ススリン空間の可算積と非結合和、
• ハウスドルフ位相空間のスースリン部分空間の可算交差または可算和、
• ススリン空間の連続画像、
• ススリン空間のボレル部分集合。

次のような特性があります。

• すべての Suslin 空間は分離可能です。

ヨハン・ラドンにちなんで名付けられたラドン空間は、M上のすべてのボレル確率測度が内部正則である位相空間です。確率測度は大域的に有限であり、したがって局所的に有限な測度であるため、ラドン空間上のすべての確率測度もラドン測度です。特に、分離可能な完全な計量空間( M、d )はラドン空間です。

すべてのスースリン空間はラドン空間です。

ポーランド群は、ポーランド空間でもある位相群Gであり、言い換えれば、可分完備距離空間に同相である。ポーランド群間の準同型性については、バナッハ、フロイデンタール、クラトフスキーによるいくつかの古典的な結果がある。^[10]まず、バナッハの議論^[11]は、必要な変更を加えて非可換ポーランド群に適用される。つまり、 GとHがGがポーランドである可分距離空間である場合、GからHへの任意のボレル準同型は連続である。^{[12]次に、クラトフスキーによる}開写像定理または閉グラフ定理のバージョンがある。^{[13]ポーランド部分群}Gから別のポーランド群Hへの連続注入準同型は、開写像である。その結果、それらの間の準同型である Baire 測定可能な写像 (つまり、任意の開集合の逆像がBaire の性質を持つもの) が自動的に連続するという、ポーランド群に関する注目すべき事実がある。^[14]ヒルベルト立方体 [0,1] ^Nの同相群は、すべてのポーランド群がその閉じた部分群に同型であるという意味で普遍ポーランド群である。

例:

• 可算数の成分を持つすべての有限次元リー群はポーランド群です。
• 可分ヒルベルト空間（強作用素位相を持つ）のユニタリ群はポーランド群である。
• コンパクト距離空間の同相群はポーランド群である。
• 可算個のポーランド群の積はポーランド群である。
• 可分完備距離空間の等長変換群はポーランド群である

• 標準ボレル空間

• ステファン・バナハ（1932年）。テオリ・デ・オペレーション・ラインネール。 Monografie Matematyczne (フランス語)。ワルシャワ。{{cite book}}: CS1 メンテナンス: 場所が見つかりません 発行者 (リンク)
• ブルバキ、ニコラス(1989)。「IX. 一般位相幾何学における実数の使用」。数学の要素: 一般位相幾何学、第 2 部。Springer -Verlag。3540193723。
• フロイデンタール、ハンス（1936）。 「Einige Sätze ueber topologische Gruppen」。アン。数学の。 37 (1): 46–56。土井：10.2307/1968686。JSTOR  1968686。
• クラトフスキー、K. (1966)。トポロジー第1巻。アカデミックプレス。ISBN 012429202X。
• ムーア、カルビン C. (1976)。「局所コンパクト群の群拡張とコホモロジー III」。アメリカ数学会誌 221 : 1–33。doi : 10.1090/S0002-9947-1976-0414775- X。
• Pettis, BJ (1950). 「位相群における準同型の連続性と開放性について」. Ann. of Math. 51 (2): 293–308. doi :10.2307/1969471. JSTOR  1969471.
• ロジャース、LCG。デビッド・ウィリアムズ (1994)。拡散、マルコフ過程、およびマーチンゲール、第 1 巻: 基礎、第 2 版。ジョン・ワイリー&サンズ株式会社
• シュワルツ、ローラン（1973）。任意の位相空間と円筒測度上のラドン測度。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0195605167。
• Srivastava, Sashi Mohan (1998)。ボレル集合のコース。数学の大学院テキスト。Springer - Verlag。ISBN 978-0-387-98412-4. 2008年12月4日閲覧。

• Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. (2005).計量空間と確率測度の空間における勾配フロー. バーゼル: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
• アーヴェソン、ウィリアム(1981)。C * -代数への招待。数学大学院テキスト。第39巻。ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-90176-0。
• Kechris, A. (1995).古典的記述集合論.数学の大学院テキスト. 第156巻. Springer. ISBN 0-387-94374-9。