σコンパクト空間

数学では、位相空間が可算個のコンパクト部分空間の和集合である場合、その空間はσコンパクトであると言われる。^{[ 1 ]}

空間がσ-コンパクトかつ（弱）局所コンパクトである場合、その空間はσ-局所コンパクトであると言われる。 [ 2 ]この用語は^{、 σ- （} 性質）が（性質）を満たす空間の可算和集合を意味するという通常のパターンに当てはまらないため、やや混乱を招く可能性がある。そのため、このような空間は、より一般的にはσ-コンパクト（弱）局所コンパクトと明示的に呼ばれ、これはコンパクト集合によって網羅可能であることと同値である。^{[ 3 ]}

• すべてのコンパクト空間はσコンパクトであり、すべてのσコンパクト空間はリンデレーフである(すなわち、すべての開被覆は可算部分被覆を持つ)。^{[ 4 ]}逆の含意は成り立たない。例えば、標準ユークリッド空間( R ⁿ ) はσコンパクトであるがコンパクトではない。^{[ 5 ]}また、実数直線上の下限位相はリンデレーフであるがσコンパクトではない。^{[ 6 ]}実際、任意の非可算集合上の可算補空間位相はリンデレーフであるが、σコンパクトでも局所コンパクトでもない。^{[ 7 ]}しかし、任意の局所コンパクト リンデレーフ空間はσコンパクトであることは確かである。
• （無理数）${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$σコンパクトではない。^{[ 8 ]}
• ハウスドルフ空間であり、かつσコンパクトであるベール空間は、少なくとも一点で局所コンパクトでなければならない。
• Gが位相群であり、ある点で局所コンパクトであるならば、 Gはあらゆる点で局所コンパクトである。したがって、前述の性質から、Gがσコンパクトかつハウスドルフ位相群であり、かつベール空間であるならば、Gは局所コンパクトであることがわかる。これは、ハウスドルフ位相群であり、かつベール空間でもある場合、σコンパクト性は局所コンパクト性を意味することを示している。
• 前述の性質は、例えばR ^ωがσコンパクトではないことを示唆している。もしσコンパクトであれば、 R ^ωは位相群であり、かつベール空間でもあるため、必然的に局所コンパクトになるはずである。
• すべての半コンパクト空間はσコンパクトである。^{[ 9 ]}しかし、その逆は真ではない。^{[ 10 ]}例えば、通常の位相を持つ有理数の空間はσコンパクトであるが、半コンパクトではない。
• 有限個のσコンパクト空間の積はσコンパクトである。しかし、無限個のσコンパクト空間の積はσコンパクトにならない可能性がある。^{[ 11 ]}
• σコンパクト空間Xが第2カテゴリー（またはベール）であるのは、Xが局所的にコンパクトである点の集合がXにおいて空でない（または稠密である）場合に限る。^{[ 12 ]}

• コンパクトセットによる疲労
• リンデレーフ空間– 位相空間の一種 
• 局所コンパクト空間– 数学における位相空間の一種 

• スティーン、リン A.およびシーバック、J. アーサー Jr. ; 『位相幾何学における反例』、ホルト、ラインハート・アンド・ウィンストン (1970) 。ISBN 0-03-079485-4。
• ウィラード、スティーブン（2004）。一般トポロジー。ドーバー出版。ISBN 0-486-43479-6。