サスリン作戦

数学において、ススリン演算 𝓐は、正の整数の有限列でインデックス付けされた集合のコレクションから集合を構築する演算です。ススリン演算は、アレクサンドロフ (1916) とススリン(1917) によって導入されました。ロシアでは、アレクサンドロフにちなんでA 演算 と呼ばれることもあります。通常、記号 𝓐 (カリグラフィの大文字の A) で表されます。

定義

ススリン法は、非負整数の有限列でインデックスされた集合の部分集合の族である。この法にススリン演算を適用すると、集合 $P=\{P_{s}:s\in \omega ^{<\omega }\}$ $X$

{\mathcal {A}}P=\bigcup _{x\in {\omega ^{\omega }}}\bigcap _{n\in \omega }P_{x\upharpoonright n}

あるいは、ススリンスキーム、つまり有限の正の整数列から集合への関数があるとします。ススリン演算の結果は集合 $M$ $n_{1},\dots ,n_{k}$ $M_{n_{1},...,n_{k}}$

{\mathcal {A}}(M)=\bigcup \left(M_{n_{1}}\cap M_{n_{1},n_{2}}\cap M_{n_{1},n_{2},n_{3}}\cap \dots \right)

ここで、和集合はすべての無限列にわたってとられる。 $n_{1},\dots ,n_{k},\dots$

が集合の部分集合の族である場合、は、に含まれるすべての集合に対して上記のようにSuslin 演算を適用することによって得られるの部分集合の族です。の部分集合のコレクションに対する Suslin 演算は、という特性を持ちます。この族は可算な和集合または積集合を取ることについては閉じていますが、補集合を取ることについては一般には閉じていません。 $M$ $X$ ${\mathcal {A}}(M)$ $X$ ${\mathcal {A}}$ $M_{n_{1},...,n_{k}}$ $M$ $X$ ${\mathcal {A}}({\mathcal {A}}(M))={\mathcal {A}}(M)$ ${\mathcal {A}}(M)$

が位相空間の閉部分集合の族である場合、の元はススリン集合、または空間がポーランド空間である場合は解析集合と呼ばれます。 $M$ ${\mathcal {A}}(M)$

例

各有限シーケンスに対して、をを拡張する無限シーケンスとします。これはの閉開部分集合です。がポーランド空間でが連続関数である場合、とします。このとき、はおよびの閉部分集合からなる Suslin スキームです。 $s\in \omega ^{n}$ $N_{s}=\{x\in \omega ^{\omega }:x\upharpoonright n=s\}$ $s$ $\omega ^{\omega }$ $X$ $f:\omega ^{\omega }\to X$ $P_{s}={\overline {f[N_{s}]}}$ $P=\{P_{s}:s\in \omega ^{<\omega }\}$ $X$ ${\mathcal {A}}P=f[\omega ^{\omega }]$

参考文献

アレクサンドロフ、PS (1916)、「測定可能なアンサンブルのシュールラピュイサンスB」、CR Acad。科学。パリ、162 : 323–325
「A演算」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
サスリン、M.Ya. （1917）、「Sur un definition des ensembles measurables B sans nombres transfinis」、CR Acad。科学。パリ、164 : 88–91