シュトゥルム＝リウヴィル理論

特定のシュトゥルム・リウヴィル問題の解の振動特性と非振動特性については、いくつかの古典的な結果が確立されている。特に、これらの結果は、線形独立な解が「等しく速く」振動すること、および解がより速く振動する条件を明らかにしている。

シュトゥルム＝リウヴィル問題を考えてみよう。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]-q(x)y=0}$

上記の式には、ある閉区間上に無限個の零点を持つ非自明な解は存在しないことが示される。${\textstyle (a,b)}$この結果の証明は、おおよそ次のようになるでしょう。

仮に、そのような非自明な解が${\textstyle u}$存在していた、そしてその集合${\textstyle \{x\in (a,b):u(x)=0\}}$無限である。ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理によれば、この集合には極限点が存在する。${\textstyle c\in [a,b]}$、 ${\textstyle u}$は連続関数です$u(c)=0$平均値の定理により、すべての に対して次のことが成り立つ。${\textstyle h>0}$いくつか存在する${\textstyle \theta \in [0,1)}$そのために${\textstyle u(c+h)=u(c)+hu'(c+\theta h)}$そして${\textstyle c}$ゼロ列の極限点には、${\textstyle h}$そのために${\textstyle u(c+h)=0}$したがって、${\textstyle u'(c+\theta h)=0}$連続性を適用する$u(x)$私たちにそれを与えてくれる${\textstyle u'(c)=0}$これから、$u(x)=0$どこにでも。

シュトゥルムの分離定理：もし$y_1,y_2$は微分方程式の線形独立な解であり、${\textstyle y_{1}}$連続するゼロが2つあります${\textstyle x_{1}}$そして${\textstyle x_{2}}$、 それから${\textstyle y_{2}}$開区間内のどこかでゼロになる${\textstyle (x_{1},x_{2})}$非公式に言えば、これは、それぞれの線形独立な解の零点が、もう一方の解の零点の間にあることを意味します。

シュトゥルムの基本定理：${\textstyle u}$は

${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x)u'\right]-q_{1}(x)u=0,}$

そして${\textstyle v}$は

${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x)v'\right]-q_{2}(x)v=0,}$

どこ${\textstyle q_{1}(x)>q_{2}(x)}$。 もし${\textstyle x_{1},x_{2}}$連続する 2 つのゼロ${\textstyle u}$、 それから${\textstyle v}$区間内のどこかでゼロになる${\textstyle (x_{1},x_{2})}$特に、${\textstyle v}$ゼロになるとき${\textstyle u}$がゼロの場合、v はより速く振動します${\textstyle u}$。

$${\displaystyle x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)y=0}$$これはシュトゥルム・リウヴィル形式で次のように書くことができる（まずx で割り、次に左辺の最初の2項を1つの項にまとめる）。 $${\displaystyle \left(xy'\right)'+\left(x-{\frac {\nu ^{2}}{x}}\right)y=0.}$$

$${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+\nu (\nu +1)y=0}$$ これはシュトゥルム・リウヴィル形式に変換でき、⁠ d / dx ⁠ (1 − x ² ) = −2 xなので、ルジャンドル方程式は以下と同等である。 $${\displaystyle \left(\left(1-x^{2}\right)y'\right)'+\nu (\nu +1)y=0}$$

$${\displaystyle x^{3}y''-xy'+2y=0}$$

全体をx ³で割ります。 $${\displaystyle y''-{\frac {1}{x^{2}}}y'+{\frac {2}{x^{3}}}y=0}$$

全体に積分因子を掛ける $${\displaystyle \mu (x)=\exp \left(\int -{\frac {dx}{x^{2}}}\right)=e^{{1}/{x}},}$$ 与える $${\displaystyle e^{{1}/{x}}y''-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}y'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0}$$ これはシュトゥルム・リウヴィル形式にすることができる。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{{1}/{x}}=-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}}$$ したがって、微分方程式は以下と同等である。 $${\displaystyle \left(e^{{1}/{x}}y'\right)'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0.}$$

$${\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0}$$

積分因子を掛け合わせる $${\displaystyle \mu (x)={\frac {1}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right),}$$ そしてそれらをまとめると、シュトゥルム＝リウヴィル形式が得られる。 $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\mu (x)P(x)y'\right)+\mu (x)R(x)y=0,}$$ あるいは、より具体的に言うと： $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y'\right)+{\frac {R(x)}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y=0.}$$

シュトゥルム＝リウヴィル問題を考えてみよう。

未知数はλとu ( x )である。境界条件としては、例えば以下のものを用いる。 $${\displaystyle u(0)=u(\pi )=0.}$$

kが任意の整数である場合、関数は $${\displaystyle u_{k}(x)=\sin kx}$$これは固有値λ = k ² を持つ解です。シュトゥルム・リウヴィル問題の解は直交基底を形成することがわかっています。また、フーリエ級数から、この正弦関数の集合が直交基底であることがわかります。直交基底は常に最大であるため (定義により)、この場合のシュトゥルム・リウヴィル問題には他の固有ベクトルがないと結論付けられます。

以上のことを踏まえて、次に不均質問題を解いてみよう。 $${\displaystyle Ly=x,\qquad x\in (0,\pi )}$$ 同じ境界条件で${\displaystyle y(0)=y(\pi )=0}$この場合、f ( x ) = x をフーリエ級数に展開する必要があります。読者は、∫ e ^ikx x dxを積分するか、フーリエ変換表を参照することによって、次の式が得られることを 確認できます。$${\displaystyle Ly=\sum _{k=1}^{\infty }-2{\frac {\left(-1\right)^{k}}{k}}\sin kx.}$$

このフーリエ級数は収束特性が悪いため厄介です。級数が点ごとに収束するかどうかは事前に明らかではありません。フーリエ解析により、フーリエ係数は「二乗和可能」であるため、フーリエ級数はL ²で収束します。これは、この特定の理論が機能するために必要なすべてです。興味のある読者のために述べておくと、この場合、フーリエ級数は微分可能なすべての点で収束し、ジャンプ点 (周期関数とみなされる関数xはπでジャンプします) では左極限と右極限の平均に収束するという結果に頼ることができます (フーリエ級数の収束を参照)。 

したがって、式（ 4 ）を用いると、解が得られる。 $${\displaystyle y=\sum _{k=1}^{\infty }2{\frac {(-1)^{k}}{k^{3}}}\sin kx={\tfrac {1}{6}}(x^{3}-\pi ^{2}x).}$$

この場合、逆微分法を用いて答えを求めることもできたが、微分方程式が多変数である場合、ほとんどの場合、この方法はもはや役に立たない。

特定の偏微分方程式は、シュトゥルム・リウヴィル理論を用いて解くことができる。長方形の枠（ 0 ≤ x ≤ L ₁、0 ≤ y ≤ L _2）内に保持された薄膜の振動モードに関心があるとしよう。垂直方向の膜の変位W ( x、y、t )の運動方程式は、次の波動方程式で与えられる。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial y^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial t^{2}}}.}$$

変数分離法で は 、まず単純な形式W = X ( x ) × Y ( y ) × T ( t )の解を探すことを提案しています。このような関数Wの場合、偏微分方程式は⁠ X ″ / X ⁠ + ⁠ Y ″ / Y ⁠ = ⁠ 1 / c ² ⁠ ⁠ T ″ / T ⁠となります。この方程式の 3 つの項はそれぞれx、y、tの関数であるため、定数でなければなりません。たとえば、最初の項は定数λに対してX ″ = λXを与えます。境界条件 (「長方形の枠内に保持される」) は、 x = 0、L ₁またはy = 0、L _{2 の}ときにW = 0であり、例のように可能な限り最も単純な Sturm–Liouville 固有値問題を定義し、調和的な時間依存性を持つWの「正規モード解」が得られます。  $${\displaystyle W_{mn}(x,y,t)=A_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{L_{1}}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{L_{2}}}\right)\cos \left(\omega _{mn}t\right)}$$ ここで、mとnはゼロでない整数であり、A _mnは任意の定数であり、 $${\displaystyle \omega _{mn}^{2}=c^{2}\left({\frac {m^{2}\pi ^{2}}{L_{1}^{2}}}+{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{2}^{2}}}\right).}$$

関数W _{mn は}、波動方程式の（一般化された）解のヒルベルト空間の基底を形成します。つまり、任意の解W は、それぞれの周波数ω _mnで振動するこれらのモードの和に分解できます。この表現には、収束する無限和が必要となる場合があります。

空間次元1、時間次元1の線形2階微分方程式を以下のように考えます。 $${\displaystyle f(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+g(x){\frac {\partial u}{\partial x}}+h(x)u={\frac {\partial u}{\partial t}}+k(t)u,}$$$${\displaystyle u(a,t)=u(b,t)=0,\qquad u(x,0)=s(x).}$$

変数を分離すると、次のようになります。$${\displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).}$$すると、上記の偏微分方程式は次のように書き換えることができます。 $${\displaystyle {\frac {{\hat {L}}X(x)}{X(x)}}={\frac {{\hat {M}}T(t)}{T(t)}}}$$ どこ $${\displaystyle {\hat {L}}=f(x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+g(x){\frac {d}{dx}}+h(x),\qquad {\hat {M}}={\frac {d}{dt}}+k(t).}$$

定義により、L̂とX ( x )は時間tに依存せず、M̂とT ( t )は位置xに依存しないため、上記の式の両辺は定数に等しくなければなりません。 $${\displaystyle {\hat {L}}X(x)=\lambda X(x),\qquad X(a)=X(b)=0,\qquad {\hat {M}}T(t)=\lambda T(t).}$$

これらの式のうち最初の式は、固有関数X _n ( x )と固有値λ _nを用いてシュトゥルム・リウヴィル問題として解く必要があります。これらの式のうち2番目の式は、固有値が分かれば解析的に解くことができます。

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}T_{n}(t)={\bigl (}\lambda _{n}-k(t){\bigr )}T_{n}(t)}$$$${\displaystyle T_{n}(t)=a_{n}\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,d\tau \right)}$$$${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n}a_{n}X_{n}(x)\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,d\tau \right)}$$$${\displaystyle a_{n}={\frac {{\bigl \langle }X_{n}(x),s(x){\bigr \rangle }}{{\bigl \langle }X_{n}(x),X_{n}(x){\bigr \rangle }}}}$$

どこ $${\displaystyle {\bigl \langle }y(x),z(x){\bigr \rangle }=\int _{a}^{b}y(x)z(x)w(x)\,dx,}$$$${\displaystyle w(x)={\frac {\exp \left(\int {\frac {g(x)}{f(x)}}\,dx\right)}{f(x)}}.}$$

シューティング法は、 λの値を推測し、区間[ a , b ]の一方の端点（例えばa ）における境界条件によって定義される初期値問題を解き、この解がもう一方の端点bで取る値をもう一方の目的の境界条件と比較し、最後に必要に応じてλを増減させて元の値を修正するという手順で進められます。この方法は、複素固有値を求める場合には適用できません。

スペクトルパラメータべき級数 (SPPS) 法は、同次 2 階線形常微分方程式に関する次の事実の一般化を利用します。y が方程式( 1 )の解であり、 [ a , b ]のどの点でもゼロにならない場合、関数は $${\displaystyle y(x)\int _{a}^{x}{\frac {dt}{p(t)y(t)^{2}}}}$$ は同じ方程式の解であり、yとは線形独立です。さらに、すべての解はこれら 2 つの解の線形結合です。SPPS アルゴリズムでは、任意の値λ ^∗ ₀ (多くの場合λ ^∗ ₀ = 0であり、固有値である必要はありません) と、[ a , b ]上でゼロにならないλ = λ ^∗ ₀の ( 1 )の任意の解y ₀から始めなければなりません。(適切なy ₀とλ ^∗ ₀を見つける方法については、以下で説明します。) [ a , b ]上の2 つの関数列X ^{( n )} ( t )、X̃ ^{( n )} ( t )は、反復積分と呼ばれ、次のように再帰的に定義されます。まず、n = 0の場合、 [ a , b ]上で 1 に恒等的に等しいとみなされます。次の関数を得るために、それらは交互に⁠ 1 / py ² ₀ ⁠とwy ² ₀を乗算され、積分されます。具体的には、n > 0 の場合です。

得られた反復積分は、 λに関する以下の2つのべき級数の係数として適用される。  $${\displaystyle u_{0}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}{\tilde {X}}^{(2k)},}$$$${\displaystyle u_{1}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}X^{(2k+1)}.}$$すると、任意のλ（実数または複素数） に対して、 u₀とu₁_は 対応する方程式（1）の線形独立な解となる。（関数p（x）とq（x）は_、y₀の選択に影響を与えることで_、この構成に関与する。）

次に、係数c ₀とc _{1 を}選択して、組み合わせy = c ₀ u ₀ + c ₁ u _{1 が}最初の境界条件 ( 2 ⁾を満たすようにします。これは、 n > 0の場合、 X ^{( n )} ( a ) = 0およびX̃ ^{( n )} ( a ) = 0であるため、簡単にできます。X ( ^{n )} ( b )とX̃ ^{( n )} ( b )の値から、 u ₀ ( b )とu ₁ ( b )の値、および導関数u ′ ₀ ( b )とu ′ ₀ ( b )の値が得られるため、2 番目の境界条件 ( 3 ) はλのべき級数の方程式になります。数値計算では、この級数を有限個の項に切り捨てることで、根が求める固有値の近似値となるλの計算可能な多項式が得られます。 

λ = λ ₀の場合、これは、与えられた解に線形独立な解について上述した元の構成に帰着します。表現 ( 5 ) および ( 6 ) は、シュトゥルム・リウヴィル理論においても理論的応用があります。^{[ 6 ]}

SPPS法自体を使って、初期解y₀を_求めることができます。方程式( py ′)′ = μqyを考えます。つまり、 ( 1 )のq、w、λをそれぞれ0、−q、μに置き換えます。すると、定数関数1は、固有値μ₀ = 0に対応する非零解となります。u₀またはu₁_がゼロにならないという保証はありませんが、複素関数y₀ = u₀ + iu₁は決してゼロになりません。これは_、 Sturm分離定理の結果として、正則Sturm–Liouville方程式の2つの線形独立解が同時にゼロになることはないためです_{。このトリックにより、λ₀} = 0_の値に対する(1)の解y₀が得られます。_実際には、( 1 )が実数係数を持つ場合、y₀に基づく解は非常に小さな虚数部を持つ_ため、それを破棄する必要があります。