嘘つきのパラドックス

哲学と論理学において、古典的な嘘つきのパラドックス、嘘つきのパラドックス、または嘘つきの二律背反は、嘘つきが嘘をついているという発言である。たとえば、「私は嘘をついている」と宣言する。嘘つきが本当に嘘をついているなら、嘘つきは真実を語っており、つまり嘘つきは嘘をついたということになる。「この文は嘘である」では、より厳密な論理分析に適応できるようにパラドックスが強化されている。抽象化はまさに嘘つきの発言から行われているが、これは一般に「嘘つきのパラドックス」と呼ばれている。強化された嘘つきのこの発言に古典的な二元的な真理値を割り当てようとすると、矛盾が生じる。

「この文は偽である」が真であれば、それは偽ですが、文は偽であると述べており、それが偽であれば、それは真でなければならない、などとなります。

エピメニデスのパラドックス（紀元前600年頃）は嘘つきのパラドックスの例として挙げられているが、論理的に同等ではない。クレタ人の半神話的予言者エピメニデス は「クレタ人は皆嘘つきだ」と述べたと伝えられている。^[1]しかし、エピメニデスが嘘をつかないクレタ人を少なくとも1人知っていることから、クレタ人は皆嘘つきであるというエピメニデスの発言は誤りであると解釈できる（あるいは、クレタ人は皆嘘をつくという発言に過ぎず、彼らが嘘しかつかないという発言ではないと解釈することもできる）。

このパラドックスの名前は、古代ギリシャ語でpseudómenos lógos (ψευδόμενος λόγος)と翻訳されます。嘘つきのパラドックスの1つのバージョンは、紀元前4世紀に生きたギリシャの哲学者、ミレトスのエウブリデスに帰せられます。エウブリデスは次のように尋ねたと伝えられています。「ある人が嘘をついていると言います。彼の言うことは真実ですか、それとも偽りですか?」^[2]

このパラドックスはかつてジェローム・オブ・ストリドンの説教で論じられました。

「私は驚いて言った、『人はみな嘘つきだ』。」ダビデは真実を語っているのか、それとも嘘をついているのか。もし、人はみな嘘つきであるというのが真実であり、ダビデの「人はみな嘘つきだ」という発言が真実であるなら、ダビデもまた嘘をついている。彼もまた人間である。しかし、もし彼もまた嘘をついているのなら、彼の「人はみな嘘つきだ」という発言は、結果的に真実ではない。この命題をどう解釈しても、結論は矛盾している。ダビデ自身も人間であるので、彼もまた嘘をついていることになる。しかし、もし彼が嘘をついているのが、すべての人が嘘つきだからであるのなら、彼の嘘は別の種類のものである。^[3]

インドの文法学者で哲学者のバートリハリ（5世紀後半）は、嘘つきのパラドックスをよく理解しており、それを「私が言っていることはすべて偽りである」（sarvam mithyā bravīmi）と定式化した。彼はこの発言を「意味不明」のパラドックスとともに分析し、日常生活で問題にならない発言とパラドックスの境界を探っている。^{[4] [5]}

初期のイスラムの伝統では、9世紀後半から少なくとも5世紀にわたって嘘つきのパラドックスについての議論があり、他の伝統の影響を受けていなかったようです。ナスィーリッディーン・アル・トゥーシーは、嘘つきのパラドックスを自己言及的なものとして特定した最初の論理学者であった可能性があります。^[6]

嘘つきのパラドックスの問題は、真実と虚偽についての一般的な信念が実際には矛盾につながることを示しているように見えることです。文法と意味の規則 に完全に一致しているにもかかわらず、一貫して真理値を割り当てることができない文が構築される可能性があります。

このパラドックスの最も単純なバージョンは次の文です。

(A) が真であれば、「この文は偽である」は真です。したがって、(A) は偽でなければなりません。(A) が真であるという仮説は、(A) が偽であるという結論を導きますが、これは矛盾です。

(A) が偽であれば、「この文は偽である」は偽です。したがって、(A) は真でなければなりません。(A) が偽であるという仮説は、(A) が真であるという結論につながりますが、これもまた矛盾です。どちらにしても、(A) は真であり偽でもあるため、パラドックスとなります。

しかし、嘘つき文は、それが偽であれば真であり、真であれば偽であると証明できることから、一部の人はそれが「真でも偽でもない」という結論に至った。^{[7]このパラドックスに対する反応は、事実上、}排中律に関連する概念である二価性原理としても知られる、すべての文は真か偽のいずれかでなければならないという主張を否定するものである。

この文は真でも偽でもないという提案は、次のような強化されたバージョンのパラドックスを生み出しました。

(B) が真でも偽でもないなら、それは真ではないはずです。これは (B) 自体が述べていることなので、(B) は真でなければならないことを意味します。最初は (B) は真ではありませんでしたが、今は真なので、別のパラドックスが生じます。

(A) のパラドックスに対する別の反応は、グラハム・プリーストが主張したように、この文は真であり偽でもあると仮定することです。しかし、プリーストの分析でさえ、次のような嘘つきの解釈に影響を受けます。

(C) が真と偽の両方である場合、(C) は偽のみです。しかし、それでは真ではありません。最初は (C) が真であったが、現在は真ではないため、これはパラドックスです。しかし、 2値の関係意味論 (機能的意味論とは対照的) を採用することで、弁証法的アプローチはこのバージョンの嘘つきを克服できると主張されています。 ^[8]

嘘つきパラドックスには複数の文から成るバージョンもあります。以下は 2 つの文から成るバージョンです。

(D1) が真であると仮定します。すると (D2) が真になります。これは (D1) が偽であることを意味します。したがって、(D1) は真であり偽でもあります。

(D1) が偽であると仮定します。すると (D2) は偽になります。これは (D1) が真であることを意味します。したがって、(D1) は真であり偽でもあります。どちらにしても、(D1) は真であり偽であり、上記の (A) と同じパラドックスです。

嘘つきのパラドックスの複数文バージョンは、そのような文の循環的なシーケンス（最後の文が最初の文の真偽を主張する）に一般化されますが、後続の文の偽りを主張する文の数が奇数である必要があります。以下は、各文が後続の文の偽りを主張する 3 つの文バージョンです。

(E1) が真であると仮定します。すると (E2) は偽となり、つまり (E3) は真となり、したがって (E1) は偽となり、矛盾が生じます。

(E1) が偽であると仮定します。すると (E2) は真となり、これは (E3) が偽であることを意味し、したがって (E1) は真となります。いずれにしても、(E1) は真と偽の両方であり、(A) と (D1) の場合と同じパラドックスです。

他にも多くのバリエーションや補語が考えられます。通常の文の構成では、補語の最も単純なバージョンは次の文です。

F が真理値を持つと仮定すると、その値の対象を決定するという問題が生じます。しかし、単語「真」が真理値を持つと仮定すれば、より単純なバージョンが可能です。このパラドックスに類似しているのは、単語「偽」が同様に真理値を持つ、つまり偽であると仮定することです。これにより、パラドックスは、誤謬という概念自体が真理値を持つ、つまり誤謬という概念自体が偽であると仮定する精神的行為、つまり不当表示行為に還元できることがわかります。したがって、パラドックスの対称バージョンは次のようになります。

将来の偶発事象の問題に関連したバージョンもあり、これは矛盾が生じずには答えられない: ^[要出典]

答えが「はい」の場合、質問に対する答えは「いいえ」であり、答えが「いいえ」の場合、質問に対する答えは「はい」です。

ファジー論理では、文の真理値は0から1までの任意の実数（両端を含む）を取ることができます。これは、真理値が整数値0または1のみを取ることができるブール論理とは対照的です。このシステムでは、「この文は偽である」という文はもはや逆説的ではなく、真理値0.5を割り当てることができるため、^{[9] [10]}正確に半分が真で半分が偽になります。簡略化した説明を以下に示します。

「この文は偽である」という文の真理値を と表すと、文は次のようになる。 $x$

$${\displaystyle x=NOT(x)}$$

NOT演算子をファジー論理の等価なZadeh演算子に一般化すると、ステートメントは次のようになります。

$${\displaystyle x=1-x}$$

そこから

$${\displaystyle x=0.5}$$

アルフレッド・タルスキは、このパラドックスは「意味的に閉じた」言語でのみ生じると診断しました。つまり、ある文が同じ言語の別の文（またはそれ自体）の真偽を述語とすることができる言語のことです。自己矛盾を避けるために、真理値について議論する際には、各文が真偽を述語とできるのはより低いレベルの言語のみである言語のレベルを想定する必要があります。したがって、ある文が別の文の真理値を参照する場合、それは意味的に高いものです。参照される文は「オブジェクト言語」の一部であり、参照する文はオブジェクト言語に関して「メタ言語」の一部であると見なされます。意味階層の上位にある「言語」の文が「言語」階層の下位にある文を参照することは正当ですが、その逆は正しくありません。これにより、システムが自己参照的になることが防止されます。

しかし、このシステムは不完全です。「階層のαレベルにあるすべての文に対して、最初の文が偽であることを主張するα +1 レベルの文が存在する」などの文を記述できればよいのですが、これはタルスキが定義する階層に関する真で意味のある文ですが、階層のすべてのレベルの文を参照するため、階層のすべてのレベルの上にある必要があり、したがって階層内では不可能です (ただし、文の境界付きバージョンは可能です)。^{[11] [12]} ソール・クリプキは、引用数の多い論文「真理理論の概要」^[12]でタルスキの階層のこの不完全性を特定したとされ、階層言語の一般的な問題として認識されています。^{[12] [13]}

アーサー・プライアーは、嘘つきのパラドックスには逆説的なところは何もないと主張している。彼の主張（彼はこれをチャールズ・サンダース・パースとジョン・ビュリダンに帰している）は、すべての文にはその文自体の真実性についての暗黙の主張が含まれているというものである。^[14] したがって、たとえば、「2 プラス 2 は 4 であるというのは真実である」という文は、「2 プラス 2 は 4 であるというのは真実である」という文よりも多くの情報を含んでいない。なぜなら、「... であるというのは真実である」というフレーズが常に暗黙のうちに存在するからである。そして、嘘つきのパラドックスの自己言及的精神において、「... であるというのは真実である」というフレーズは、「この文全体が真実であり、...」と同等である。

したがって、次の 2 つのステートメントは同等です。

後者は「AかつAではない」という単純な矛盾であり、したがって偽である。したがって、この2つの論理積の嘘つきが偽であるという主張は矛盾をもたらさないため、パラドックスは存在しない。ユージン・ミルズも同様の答えを提示している。^[15]

ソール・クリプキは、文が逆説的であるかどうかは偶発的な事実に依存すると主張した。^{[11] : 6}スミスがジョーンズについて言っているのは

そしてジョーンズはスミスについて次の3つのことだけを述べています。

もしスミスが本当に大金使いだが犯罪に対して甘くないのであれば、スミスのジョーンズに関する発言とジョーンズのスミスに関する最後の発言は両方とも矛盾している。

クリプキは、次のような方法で解決策を提案しています。 文の真理値が、世界についての評価可能な事実に最終的に結びついている場合、その文は「根拠がある」ことになります。 そうでない場合、その文は「根拠がない」ことになります。 根拠のない文には真理値がありません。 嘘つきの文や嘘つきのような文は根拠がないため、真理値がありません。

ジョン・バーワイズとジョン・エチェメンディは、嘘つきの文（彼らはこれを強化された嘘つきと同義と解釈している）は曖昧であると提唱している。彼らはこの結論を「否定」と「否定」の区別に基づいている。嘘つきが「この文が真実であるわけではない」という意味であれば、それは自分自身を否定している。嘘つきが「この文は真実ではない」という意味であれば、それは自分自身を否定している。彼らはさらに、状況意味論に基づいて、「否定の嘘つき」は矛盾なく真実である可能性があり、「否定の嘘つき」は矛盾なく偽である可能性があると主張している。彼らの1987年の本は、根拠のない集合論を多用している。^[16]

グレアム・プリーストや、JC ビール、ブラッドリー・アーマー＝ガーブなどの論理学者は、嘘つき文は真でも偽でもあるとみなすべきだと提唱しており、この見解は二元論として知られている。 二元論は、真の矛盾が存在するという見解である。 二元論は独自の問題を引き起こす。 その主なものは、二元論が嘘つきパラドックス、つまり本質的な矛盾を真であると認めているため、 長く認められてきた爆発の原理を放棄しなければならないという点である。爆発の原理とは、矛盾からあらゆる命題を演繹できると主張するが、二元論者が自明主義、つまりすべての命題は真であるという見解を受け入れる意思がない限りは。 自明主義は直感的に誤った見解であるため、二元論者はほぼ常に爆発の原理を拒否する。爆発の原理を拒否する論理は矛盾無矛盾と呼ばれる。

アンドリュー・アーヴァインは、このパラドックスに対する非認知主義的な解決法を支持し、一見整然とした文が真でも偽でもないことが判明し、「形式的な基準だけでは、パラドックスを解決するには必然的に不十分である」と主張している。^[7]

インドの文法学者で哲学者のバートリハリ（5世紀後半）は、彼の最高傑作であるヴァーキャパディーヤの章の1つで、嘘つきなどのパラドックスを扱っています。^[要出典]バートリハリの解決策は、言語、思考、現実に対する彼の一般的なアプローチに適合しており、一部の人々からは「相対主義的」、「非拘束的」、「観点主義的」と特徴付けられています。^{[17]嘘つきのパラドックス（} sarvam mithyā bravīmi 「私が言っていることはすべて偽りである」）に関して、バートリハリは、日常のコミュニケーションで問題のない状況を頑固なパラドックスに変えてしまう可能性のある隠れたパラメーターを特定しています。バートリハリの解決法は、1992 年にジュリアン・ロバーツが提案した解決法で理解できる。「パラドックスはそれ自体を消滅させる。しかし、時間的文脈化という単純な手段で、矛盾の対立する側を引き離すことができる。ある時点に関して「真実」であるものが、別の時点においても真実である必要はない。オースティンの議論の全体的な力は、単に「物事は変化する」ということではなく、合理性は本質的に時間的であり、そうでなければ相互に破壊的な状態となるものを和解させ、管理するために時間が必要であるということである。」^[18]ロバーツの示唆によれば、分離した「世界の部分」を和​​解させる「時間」という要素が、バーワイズとエチェメンディの解決において重要な役割を果たしている。^{[16] : 188}時間の能力は、2 つの「世界の部分」の直接の対立を防ぐことができるが、ここでは「嘘つき」の外部にある。しかし、バートルハリの分析に照らすと、世界に対する2つの視点、あるいは「世界の2つの部分」、つまり機能がその役割を果たす前の部分と果たした後の部分を分ける時間の延長は、あらゆる「機能」に内在しており、また「嘘つき」を含む各発言の根底にある意味を示す機能も内在している。^{[5] [説明が必要]}解決不可能なパラドックス、つまり矛盾 ( virodha ) または無限後退 ( anavasthā ) のいずれかがある状況は、嘘つきや、意味不可能性パラドックス (バートルハリのパラドックス)などの他のパラドックスの場合に、この機能 ( vyāpāra ) とその時間の延長から抽象化が行われ、同時に前の機能を無効にする 反対の機能 ( apara vyāpāra )を受け入れることで生じる。

嘘つきのパラドックスをよりよく理解するには、より正式な方法で書き出すと便利です。「この文は偽である」が A で示され、その真理値が求められている場合、A の可能な真理値の選択を制限する条件を見つける必要があります。A は自己参照的であるため、方程式で条件を与えることができます。

ある文 B が偽であると仮定すると、「B = 偽」と書きます。文 B が偽であるという文 (C) は、「C = 'B = 偽'」と書きます。ここで、嘘つきのパラドックスは、文 A、つまり A が偽であると表現できます。

これは、A = 「この文は偽である」という真理値がうまくいけば得られる方程式である。ブール領域では、「A = 偽」は「A ではない」と同等であり、したがって方程式は解くことができない。これが A の再解釈の動機である。方程式を解けるようにする最も単純な論理的アプローチは、弁証法的アプローチであり、この場合、解決策は A が「真」と「偽」の両方である。他の解決法は、ほとんどの場合、方程式に何らかの修正を加える。アーサー・プライアーは、方程式は「A = 'A = 偽であり、A = 真'」であるべきであり、したがって A は偽であると主張している。計算動詞論理では、嘘つきのパラドックスは「私は彼の言うことを聞き、彼は私が聞いていないことを言う」などのステートメントに拡張され、パラドックスを解決するには動詞論理を使用する必要があります。^[19]

ゲーデルの不完全性定理は、数学の十分に強力な公理体系の固有の限界を述べた数学論理の2つの基本定理である。この定理は1931年にクルト・ゲーデルによって証明され、数学の哲学において重要である。大まかに言えば、最初の不完全性定理を証明する際に、ゲーデルは嘘つきパラドックスの修正版を使用し、「この文は偽である」を「この文は証明できない」に置き換えた「ゲーデル文G」と呼ばれる。彼の証明は、十分に強力な理論Tに対して、Gは真であるが、Tでは証明できないことを示した。Gの真偽と証明可能性の分析は、嘘つき文の真偽の分析の形式化されたバージョンである。^[20]

最初の不完全性定理を証明するために、ゲーデルは文を数で表しました。すると、数についての特定の事実を証明すると想定されている理論は、自身の文についての事実も証明することになります。文の証明可能性に関する疑問は、数の特性に関する疑問として表現されます。これは、理論が完全であれば理論によって決定できるものです。これらの用語では、ゲーデルの文は、ある奇妙な特性を持つ自然数は存在しないと述べています。この特性を持つ数は、理論の矛盾の証明をエンコードします。そのような数があれば、理論は矛盾しており、無矛盾仮説に反しています。したがって、理論が無矛盾であるという仮定の下では、そのような数は存在しません。

ゲーデルの文では、「証明不可能」を「偽」に置き換えることはできません。なぜなら、「Q は偽の式のゲーデル数である」という述語は算術式として表現できないからです。タルスキの定義不可能定理として知られるこの結果は、ゲーデル (不完全性定理の証明に取り組んでいたとき) とアルフレッド・タルスキによって独立に発見されました。

ジョージ・ブーロスはその後、嘘つきのパラドックスではなく ベリーのパラドックスを使用して、真実だが証明不可能な式を構築する、第一不完全性定理の代替証明を概説しました。

嘘つきのパラドックスは、文章を処理できない人工知能を停止させるためにフィクションで時々使用される。スタートレック: オリジナルシリーズのエピソード「I, Mudd」では、嘘つきのパラドックスはカーク船長とハリー・マッドによって使用され、彼らを捕らえているアンドロイドを混乱させ、最終的に無力化している。1973年のドクター・フーの連続ドラマ「The Green Death」では、ドクターが狂ったコンピューターBOSSに「私が次に言うことは真実だが、最後に言ったことは嘘だと言ったら、あなたは私を信じますか?」と尋ねて一時的に困惑させる。BOSSは理解しようとするができず、最終的に質問は無関係であると判断して警備員を呼ぶ。

1967 年の映画「悪魔のいけにえ」では、悪魔が被験者のスタンリー・ムーンに「彼の言うことはすべて嘘だ、これもそうだ」と言います。

2011年のビデオゲームPortal 2では、人工知能GLaDOS が「この文は偽である」というパラドックスを利用して別の人工知能Wheatley を殺そうとします。しかし、その文がパラドックスであることを理解する知能がないため、彼は単に「うーん、本当だ。本当でいいだろう。ほら、簡単だった」と答え、影響を受けません。面白いことに、GLaDOS を除く他のすべての AI は、彼女と Wheatley よりも知覚力と明晰さがはるかに劣っており、パラドックスを聞くことでやはり殺されます。しかし、GLaDOS は後に、Wheatley を殺そうとして自分自身も死にかけたことに気づきます。

ディーヴォの曲「Enough Said」には、「次に君に言うことは真実になる/最後に言ったことは嘘だ」という歌詞がある。

Minecraft: Story Modeの第 7 話「アクセス拒否」では、主人公のジェシーとその友人たちが PAMA というスーパーコンピューターに捕らえられます。PAMA がジェシーの友人 2 人を操作した後、ジェシーは PAMA が処理中に停止することを知り、パラドックスを使ってジェシーを混乱させ、最後の友人とともに脱出します。プレイヤーがジェシーに言わせることができるパラドックスの 1 つは、嘘つきパラドックスです。

ロバート・アール・キーンの曲「The Road Goes On and On」にはこのパラドックスが歌われている。この曲はキーンとトビー・キースの確執に関するもので、キーンが言及する「嘘つき」とはおそらくキーンの言うトビー・キースである。^[21]

• 騎士と悪党
• パフォーマンス上の矛盾
• 自己言及
• 自己言及的パラドックスのリスト

• ダウデン、ブラッドリー。「嘘つきのパラドックス」。インターネット哲学百科事典。
• Beall, JC; Glanzberg, Michael. 「嘘つきのパラドックス」。Zalta , Edward N. (編)。スタンフォード哲学百科事典。