印刷数論

印刷的数論( TNT ) は、ダグラス・ホフスタッターの著書「ゲーデル、エッシャー、バッハ」に登場する自然数を記述する正式な公理体系です。これは、ゲーデルの不完全性定理を説明するためにホフスタッターが使用したペアノ算術の実装です。

ペアノ公理を実装するあらゆるシステムと同様に、TNT は自分自身を参照することができます (自己参照的です)。

TNT では、各自然数に個別の記号は使用されません。代わりに、各自然数に複合記号を割り当てる単純で統一された方法が使用されます。

記号S は、「 の次の数」または「 の後の数字」と解釈できます。ただし、これは数論であるため、このような解釈は便利ですが、厳密ではありません。4 が 3 の次の数であるから 4 はSSSS0であるとは言えませんが、3 は 2 の次の数であり、2 は 1 の次の数であり、1 は0 として記述されている 0の次の数であるため、4 はSSSS0であると「証明」できます。TNT は、すべてが証明されて初めて真実であると言えるように設計されています。

不特定の用語を参照するために、TNTは5つの変数を使用します。これらは

a、b、c、d、e。

変数の後ろにプライム記号を追加することで、さらに変数を構築できます。たとえば、

a ′、 b ′、 c ′、 a″、 a‴ はすべて変数です。

より硬いバージョンのTNTは「厳格」TNTとして知られており、

a ′、a″、a‴ などが使用されます。

印刷数論では、加算には「+」、乗算には「·」という通常の記号が使われます。つまり、「bプラスc」と書く場合は、

（b + c）

そして「a×d」は次のように書かれます。

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括弧は必須です。緩いとTNTの形成システムに違反します（ただし、この形式は可換かつ結合的な演算には不要であることが自明に証明されています）。また、一度に演算できる項は2つだけです。したがって、「a プラス b プラス c」と書く場合は、

((a + b) + c)

または

(a + (b + c))

「等しい」演算子は、等価性を表すために使用されます。これは記号「=」で定義され、数学で通常使用されるのとほぼ同じ意味を持ちます。たとえば、

(SSS0  +  SSS0)  =  SSSSSS0

は TNT の定理ステートメントであり、「3 プラス 3 は 6 に等しい」と解釈されます。

表記法数論では、否定、つまり文をその反対に変えることは、「~」または否定演算子で表されます。たとえば、

~( SSS0  +  SSS0 ) =  SSSSSSS0

TNT の定理で、「3 プラス 3 は 7 に等しくない」と解釈されます。

否定とは、単に反対という意味ではなく、ブール論理における否定(論理的否定) を意味します。たとえば、「私はグレープフルーツを食べています」と言う場合、その反対は「私はグレープフルーツを食べていません」であり、「私はグレープフルーツ以外のものを食べています」ではありません。同様に、「テレビがついています」は「テレビがオフになっています」ではなく「テレビがついていません」と否定されます。これは、たとえばテレビが壊れている可能性があるためです。これは微妙な違いですが、重要な違いです。

xとyが整形式の式であり、一方において自由である変数が他方において量化されていないとすると、以下の式はすべて整形式の式である。

<x∧y>, <x∨y>, <x⊃y>

例:

• <0=0∧~0=0>
• <b=b∨~∃c:c=b>
• <S0=0⊃∀c:~∃b:(b+b)=c>

ここでは変数の定量化ステータスは変更されません。

∀使用される量指定子はとの 2 つです∃。

集合上の量指定子が集合内の要素の存在を記述する必要がある他のほとんどの論理システム∀a:(a∈N):∀b:(b∈N):(a+b)=(b+a)とは異なり、TNTではすべての数と項が厳密に自然数または論理ブール文であるため、これは必要ではないことに注意してください。したがって、これは次のように言うのと同等です。∀a:∀b:(a+b)=(b+a)

• ∃「存在する」という意味
• ∀「すべての」または「全員」を意味する
• 記号は:、量指定子を他の量指定子や式の残りの部分から分離するために使用されます。一般的には「such that」と読みます。

例えば：

∀a:∀b:(a+b)=(b+a)

(「あらゆる数 a とあらゆる数 b について、a プラス b は b プラス a に等しい」、またはより比喩的に言えば、「加算は交換可能である」。)

~∃c:Sc=0

(「c に 1 を加えた値が 0 となるような数 c は存在しない」、またはより比喩的に言えば、「0 はいかなる (自然) 数の後続数でもない」)

原子記号を除く命題計算のすべての記号は、印刷的数論で使用され、それらの解釈は保持されます。

ここでアトムとは、次のような等式を表す文字列として定義される。

2 と 3 を足すと 5 になります。

( SS0  +  SSS0 ) =  SSSSS0

2 に 2 を加えると 4 になります。

（SS0  +  SS0） =  SSSS0

• ホフスタッター、ダグラス・R. (1999) [1979]、ゲーデル、エッシャー、バッハ：永遠の黄金の編み紐、ベーシックブックス、ISBN 0-465-02656-7。