ヘビーテール分布

確率論では、重裾分布とは、裾が指数的に制限されていない確率分布のことである。 ^[1]つまり、指数分布よりも裾が重い分布である。多くの応用では、分布の右裾が重要になるが、分布の左裾が重い場合や、両方の裾が重い場合もある。

重裾分布には、太裾分布、長裾分布、準指数分布という3つの重要なサブクラスがあります。実際には、一般的に使用される重裾分布はすべて、 Jozef Teugelsによって導入された準指数クラスに属します。^[2]

ヘビーテールという用語の使用については、まだ意見の相違があります。使用されている定義は他に 2 つあります。一部の著者は、この用語を、すべてのべき乗モーメントが有限ではない分布を指すために使用し、他の著者は、有限の分散を持たない分布を指すために使用します。この記事で示す定義は、最も一般的に使用されている定義であり、代替定義に含まれるすべての分布と、すべてのべき乗モーメントを持ちながらも一般にヘビーテールであると見なされる対数正規分布などの分布を含みます。(ヘビーテールは、正規分布よりも重い裾を持つ分布に対して使用されることがあります。)

分布関数Fを持つランダム変数 Xの分布は、Xのモーメント生成関数MX ( t )がすべてのt>0に対して無限大である_場合、 重い（右の）裾を持つと言われる。^[3]

つまり

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)=\infty \quad {\mbox{すべてのt>0に対して}$ ^[4]

これは裾分布関数で表すこともできる。

${\displaystyle {\overline {F}}(x)\equiv \Pr[X>x]\,}$

として

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{tx}{\overline {F}}(x)=\infty \quad {\mbox{すべての }}t>0.\,}$

分布関数Fを持つ確率変数 Xの分布は、すべてのt  > 0 ^に対して、

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\Pr[X>x+t\mid X>x]=1,\,}$

または同等

${\displaystyle {\overline {F}}(x+t)\sim {\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .\,}$

これは、右裾が長く裾が広がる分布量に対する直感的な解釈であり、長く裾が広がる量がある高い水準を超えると、他のより高い水準を超える確率が 1 に近づくというものです。

すべてのロングテール分布はヘビーテールですが、その逆は偽であり、ロングテールではないヘビーテール分布を構築することは可能です。

指数関数未満性は、確率分布の畳み込みによって定義されます。共通の分布関数を持つ2 つの独立した同一分布のランダム変数 について、とそれ自身との畳み込み(畳み込み平方と表記) は、ルベーグ・スティルチェス積分を使用して次のように定義されます。 ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F^{*2}}$

${\displaystyle \Pr[X_{1}+X_{2}\leq x]=F^{*2}(x)=\int _{0}^{x}F(xy)\,dF(y),}$

n倍畳み込みは次の規則によって帰納的に定義されます。 ${\displaystyle F^{*n}}$

${\displaystyle F^{*n}(x)=\int _{0}^{x}F(xy)\,dF^{*n-1}(y).}$

裾分布関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle {\overline {F}}}$${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$

正の半直線上の分布は、指数関数的分布である^{[1] [5] [2]}。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\overline {F^{*2}}}(x)\sim 2{\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .}$

これは^[6]、任意のに対して、 ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\overline {F^{*n}}}(x)\sim n{\overline {F}}(x)\quad {\mbox{as }}x\to \infty .}$

これの確率論的解釈^[6]は、共通の分布を持つ独立した確率変数の和に対して、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle \Pr[X_{1}+\cdots +X_{n}>x]\sim \Pr[\max(X_{1},\ldots ,X_{n})>x]\quad {\text{as }}x\to \infty .}$

これは、単一の大きなジャンプの原理^[7]またはカタストロフィー原理^{[8]としてよく知られています。}

実数直線上の 分布が指数関数的であるのは、分布が指数関数的である場合である。^[9]ここで、正の半直線の指示関数である 。あるいは、実数直線上でサポートされるランダム変数が指数関数的である場合、かつ、が指数関数的である場合に限ります。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle FI([0,\infty ))}$${\displaystyle I([0,\infty ))}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+}=\max(0,X)}$

すべての準指数分布は長い裾を持ちますが、準指数分布ではない長い裾を持つ分布の例を作成することもできます。

一般的に使用される重裾分布はすべて準指数分布である。^[6]

片側検定には次のものがあります:

• パレート分布;
• 対数正規分布;
• レヴィ分布;
• 形状パラメータが 0 より大きく 1 より小さいワイブル分布。
• バー分布;
• 対数ロジスティック分布;
• 対数ガンマ分布;
• フレシェ分布;
• q-ガウス分布;
• 対数コーシー分布は対数減衰を示し、パレート分布よりも重い裾を持つため、「超重い裾」を持つと言われることもある。 ^{[10] [11]}

両側型のものには次のものがあります:

• コーシー分布は、安定分布と t 分布の両方の特殊なケースです。
• 安定分布の族 ^[12] 。ただし、その族内の正規分布の特殊なケースは除く。安定分布の中には片側（または半直線でサポートされている）のものもあります。例えば、レヴィ分布を参照してください。また、ロングテール分布を持つ金融モデルやボラティリティクラスタリングも参照してください。
• t分布。
• 歪んだ対数正規カスケード分布。^[13]

裾が厚い分布とは、大きな x に対して確率密度関数がべき乗としてゼロになる分布です。このようなべき乗は常に指数分布の確率密度関数によって下方に制限されるため、裾が厚い分布は常に裾が重い分布です。ただし、分布によっては、ゼロになるのが指数関数よりも遅い (つまり裾が重い) ものの、べき乗よりも速い (つまり裾が厚くない) ものもあります。例としては、対数正規分布^{[矛盾]があります。ただし、}対数ロジスティック分布やパレート分布など、他の多くの裾が重い分布も裾が厚い分布です。 ${\displaystyle x^{-a}}$

テールインデックス推定の問題にはパラメトリック^[6]とノンパラメトリック^[14]のアプローチがある。 ^{[どのように定義されるか? ]}

パラメトリックアプローチを使用してテールインデックスを推定するために、一部の著者は GEV 分布またはパレート分布を使用します。また、最大尤度推定量 (MLE) を適用する場合もあります。

独立かつ同一の密度関数のランダムシーケンスを用いると、 一般化極値密度の最大吸引領域^[15]は、 となる。 かつ の場合には、 ピックアンドのテールインデックス推定は^{[6] [15]となる。}${\displaystyle (X_{n},n\geq 1)}$${\displaystyle F\in D(H(\xi ))}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }k(n)=\infty }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {k(n)}{n}}=0}$

${\displaystyle \xi _{(k(n),n)}^{\text{Pickands}}={\frac {1}{\ln 2}}\ln \left({\frac {X_{(n-k(n)+1,n)}-X_{(n-2k(n)+1,n)}}{X_{(n-2k(n)+1,n)}-X_{(n-4k(n)+1,n)}}}\right),}$

ここで、この推定量は確率的に に収束します。 ${\displaystyle X_{(n-k(n)+1,n)}=\max \left(X_{n-k(n)+1},\ldots ,X_{n}\right)}$${\displaystyle \xi }$

を分布関数（一般化極値分布の最大吸引領域）を持つ独立かつ同一に分布するランダム変数のシーケンスとします。ここで、サンプルパスはであり、はサンプルサイズです。 が中間次数シーケンス、つまり、 の場合、ヒルテールインデックス推定量は^{[16]です。}${\displaystyle (X_{t},t\geq 1)}$${\displaystyle F\in D(H(\xi ))}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$${\displaystyle {X_{t}:1\leq t\leq n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{k(n)\}}$${\displaystyle k(n)\in \{1,\ldots ,n-1\},}$${\displaystyle k(n)\to \infty }$${\displaystyle k(n)/n\to 0}$

${\displaystyle \xi _{(k(n),n)}^{\text{Hill}}=\left({\frac {1}{k(n)}}\sum _{i=n-k(n)+1}^{n}\ln(X_{(i,n)})-\ln(X_{(n-k(n)+1,n)})\right)^{-1},}$

ここで、 はの- 番目の順序統計量です。この推定量は確率的に に収束し、 が高次の正規変動特性^[17]に基づいて制限されている場合、漸近的に正規です 。^{[18]一貫性}と漸近正規性は、 が観測されるか、または誤って指定されたモデルや従属する誤差を持つモデルを含む、モデルと推定量の大規模なクラスから計算された残差またはフィルタリングされたデータであるかに関係なく、従属および異質なシーケンスの大規模なクラスに拡張されます。^{[21] [22] [23]} Pickand と Hill のテールインデックス推定量はどちらも、順序統計量の対数を一般的に使用することに注意してください。^[24]${\displaystyle X_{(i,n)}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle k(n)\to \infty }$${\displaystyle X_{t}}$

テールインデックスの比率推定量（RE推定量）は、ゴールドとスミスによって導入されました。^[25] これはヒルの推定量と同様に構築されていますが、非ランダムな「調整パラメータ」を使用します。

ヒル型推定量とRE型推定量の比較についてはNovakの論文を参照のこと。^[14]

• aest Archived 2020-11-25 at the Wayback Machine、ヘビーテール指数を推定するCツール。 ^[26]

ヘビーテールおよびスーパーヘビーテールの確率密度関数を推定するノンパラメトリックアプローチは、マルコビッチによって提案されました。^[27]これらは、可変帯域幅とロングテールカーネル推定量に基づくアプローチ、有限または無限間隔で予備データを新しいランダム変数に変換するアプローチ（推定と得られた密度推定値の逆変換に便利です）、および密度のテールに特定のパラメトリックモデルを提供し、密度のモードを近似するノンパラメトリックモデルを提供する「つなぎ合わせアプローチ」です。ノンパラメトリック推定量では、カーネル推定量の帯域幅やヒストグラムのビン幅などの調整（平滑化）パラメータを適切に選択する必要があります。このような選択を行うデータ駆動型のよく知られた方法は、クロスバリデーションとその修正、平均二乗誤差（MSE）の最小化とその漸近線、およびそれらの上限に基づく方法です。^[28]コルモゴロフ・スミルノフ、フォン・ミーゼス、アンダーソン・ダーリングなどのよく知られたノンパラメトリック統計を分布関数（dfs）の空間における測定基準として、そして後者の統計量の分位数を既知の不確実性または不一致値として使用する不一致法は、 [27] で見つけることができます。ブートストラップは、異なる再サンプル選択スキームによる未知のMSEの近似値を使用して平滑化パラメータを見つけるための別のツールです。たとえば、^{[29]を参照してください。}

• 尖鋭分布
• 一般化極値分布
• 一般化パレート分布
• 外れ値
• ロングテール
• べき乗則
• ランダム性の7つの状態
• ファットテール分布
  • タレブ分布と聖杯分布