フルヴィッツ多項式

数学において、フルヴィッツ多項式（ドイツの数学者アドルフ・フルヴィッツにちなんで名付けられた ）は、根（零点） が複素平面の左半平面または虚軸上にある多項式、つまりすべての根の実部が零または負である多項式である。^[1] このような多項式の係数は正の実数でなければならない。この用語は、虚軸を除いて根の実部が厳密に負である多項式（つまり、フルヴィッツ安定多項式）に限定されることもある。^{[2] [3]}

複素変数sの多項式関数P ( s )は、次の条件が満たされる場合、フルヴィッツ関数であると言われる。

1. sが実数の場合、 P ( s ) は実数です。
2. P ( s )の根の実部はゼロまたは負です。

フルヴィッツ多項式は、安定した線形システムの特性方程式を表すため、制御システム理論では重要です。多項式がフルヴィッツ多項式であるかどうかは、方程式を解いて根を求めるか、またはラウス・フルヴィッツ安定基準によって方程式を解かずに係数から判断できます。

フルヴィッツ多項式の簡単な例は次のとおりです。

${\displaystyle x^{2}+2x+1.}$

唯一の実数解は−1である。

${\displaystyle (x+1)^{2}.}$

一般に、正の係数を持つすべての二次多項式はフルヴィッツ多項式です。これは二次方程式の公式から直接導かれます。

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$

ここで、判別式b ² −4 acがゼロより小さい場合、多項式には実部が − b /2 aの複素共役解が 2 つあります。これは、 aとb が正の場合に負になります。判別式がゼロに等しい場合は、 − b /2 aに一致する実数解が 2 つあります。最後に、判別式がゼロより大きい場合は、 a、b、c が正の場合に2 つの負の実数解があるためです。 ${\displaystyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}}b}$

多項式がフルヴィッツ多項式であるためには、その係数がすべて正であることが必要ですが、それだけでは十分ではありません（2 次多項式は例外で、これも十分性を意味します）。多項式がフルヴィッツ多項式であるための必要かつ十分な条件は、ラウス - フルヴィッツ安定基準を満たすことです。与えられた多項式がフルヴィッツ多項式であるかどうかを、ラウス連分数展開法を使用して効率的にテストできます。

• Wayne H. Chen (1964) 「線形ネットワークの設計と合成」、63 ページ、McGraw Hill。