安定半径

数学において、ある公称点における対象（システム、関数、行列、パラメータ） の安定半径とは、その公称点を中心とする球体のうち、すべての要素が予め定められた安定条件を満たす最大の球体の半径のことである。この直感的な概念を図で表すと次のようになる。

どこ${\displaystyle {\hat {p}}}$公称点を表す。 ${\displaystyle P}$オブジェクトのすべての可能な値の空間を表します${\displaystyle p}$、そして影付き部分、${\displaystyle P(s)}$は、安定条件を満たす点の集合を表します。赤色で示されている青い円の半径は、安定半径です。

この概念の正式な定義は、適用分野によって異なります。次の抽象的な定義は非常に有用です^{[ 1 ] [ 2 ]}

$\displaystyle {\hat {\rho }}({\hat {p}}):=\max \ \{\rho \geq 0:p\in P(s),\forall p\in B(\rho ,{\hat {p}})\}}$

どこ${\displaystyle B(\rho ,{\hat {p}})}$半径の閉じた球を表す ${\displaystyle \rho }$で${\displaystyle P}$中心は${\displaystyle {\hat {p}}}$。

この概念は1960年代初頭に考案されたようです。^{[ 3 ] [ 4 ]} 1980年代には制御理論^{[ 5 ]や最適化[ 6 ]}で普及しました。対象物の与えられた公称値に対する小さな摂動に対する局所的なロバスト性のモデルとして広く使用されています。

^{[ 2 ]}では、安定半径モデルはワルドのマキシミンモデルの一例であることが示された。つまり、

${\displaystyle \max \ \{\rho \geq 0:p\in P(s),\forall p\in B(\rho ,{\hat {p}})\}\equiv \max _{\rho \geq 0}\min _{p\in B(\rho ,{\hat {p}})}f(\rho ,p)}$

どこ

${\displaystyle f(\rho ,p)=\left\{{\begin{array}{cc}\rho &,\ p\in P(s)\\-\infty &,\ p\notin P(s)\end{array}}\right.}$

大きな罰金（${\displaystyle -\infty }$) は強制するための装置です${\displaystyle \max }$プレイヤーは、システムの安定半径を超えて公称値を乱してはならない。これは、安定性モデルがグローバルなモデルではなく、ローカルな安定性／堅牢性のモデルであることを示している。

情報ギャップ意思決定理論は、最近登場した非確率的意思決定理論です。不確実性下での意思決定に関する既存の理論とは根本的に異なるとされています。しかし、その堅牢性モデル、すなわち情報^{ギャップ意思決定理論は、}

${\displaystyle {\hat {\alpha }}(q,{\tilde {u}}):=\max \ \{\alpha \geq 0:r_{c}\leq R(q,u),\forall u\in U(\alpha ,{\tilde {u}})\}}$

実際には、次の形式の単純な安定性要件によって特徴付けられる安定半径モデルです。${\displaystyle r_{c}\leq R(q,u)}$どこ${\displaystyle q}$検討中の決定を表す。 ${\displaystyle u}$は関心のあるパラメータを表します。 $\displaystyle {\tilde {u}}}$は、真の値の推定値を表します。${\displaystyle u}$そして${\displaystyle U(\alpha ,{\チルダ {u}})}$半径の球を表す${\displaystyle \alpha }$中心は$\displaystyle {\tilde {u}}}$。

安定性半径モデルはパラメータの公称値の小さな変動に対処するように設計されているため、info-gapのロバスト性モデルは推定値の近傍における決定の局所的なロバスト性を測定する。$\displaystyle {\tilde {u}}}$。

スニエドヴィッチ^{[ 2 ]}は、この理由から、この理論は、不正確な推定と広大な不確実性空間によって特徴付けられる深刻な不確実性を扱うのに適していないと主張している。

安定半径を少し異なる方法で定義する方が便利な場合もあります。たとえば、制御理論の多くの応用では、安定半径は、対象となるパラメータの公称値における最小の不安定化摂動の大きさとして定義されます。^{[ 7 ]}イメージは次のとおりです。

より正式には、

${\displaystyle {\hat {\rho }}(q):=\min _{p\notin P(s)}dist(p,{\hat {p}})}$

どこ${\displaystyle dist(p,{\hat {p}})}$距離を表す${\displaystyle p\in P}$から${\displaystyle {\hat {p}}}$。

関数空間F内の連続関数fの、開安定領域Dに対する安定半径は、 fと( Dに関して) 不安定関数の集合との間の距離です。関数のスペクトルがDに含まれる場合、その関数はDに関して安定であると言います。ここで、スペクトルの概念は、以下で説明するように、場合に応じて定義されます。

• 安定多項式
• ウォルドのマキシミンモデル