カッシュリング

抽象代数学のサブフィールドである環論において、右カッシュ環とは、すべての単純右R加群がRの右イデアルに同型となるような環Rのことである。^[1]同様に左カッシュ環の概念が定義され、2つの性質は互いに独立している。

カッシュ環は数学者フリードリヒ・カッシュにちなんで名付けられました。カッシュはもともと、真イデアルが非零消滅子を持つアルティン環をS環と呼んでいました。^[2]^[3]以下の特徴付けは、カッシュ環がS環を一般化していることを示しています。

意味

同等の定義は右側のバージョンについてのみ導入されますが、左側の類似物も真であるという理解のもとで導入されます。Kasch 条件には、消滅子の概念を使用した同等の記述がいくつかあり、この記事では消滅子の記事で使用されているのと同じ表記を使用します。

序論で与えられた定義に加えて、環R が右 Kasch となるための同値な定義として次の性質がある。これらは Lam (1999, p. 281) に記載されている。

以下の内容は、Faith (1999, p. 109)、Lam (1999, §§8C,19B)、Nicholson & Yousif (2003, p.51) などの参考文献に記載されています。

R を、ヤコブソン基数Jを持つ半基本環とします。Rが可換である場合、またはR / J が単純環である場合、Rは右 (および左) カッシュです。特に、可換アルティン環は右カッシュと左カッシュです。
分割環 kについて、kからの要素を持つ4 行 4 列の行列環の特定の部分環 R を考えます。部分環R は次の形式の行列で構成されます。

{\begin{bmatrix}a&0&b&c\\0&a&0&d\\0&0&a&0\\0&0&0&e\end{bmatrix}}

これは右カッシュですが左カッシュではない、右と左のアルティニアン環です。

S を、体Fからの係数を持つ2 つの非可換変数XとY上の冪級数の環とします。イデアルA を2 つの要素YXとY ²によって生成されるイデアルとします。商環S / A は、右カシュ環ですが左カシュ環ではない局所環です。
RがA _{k という}ラベルの付いた無限個の非ゼロ環の直積であるとします。A _kの直和はRの適切なイデアルを形成します。このイデアルの左および右の消滅がゼロであることは簡単に確認できるので、Rは右または左のカッシュではありません。
2行2列の上（または下）三角行列リングは、右カッシュでも左カッシュでもありません。
右底がゼロの環(つまり ) は、極小右イデアルを含まないため、右カッシュにはなり得ません。したがって、たとえば、分割環ではない領域は、右カッシュでも左カッシュでもありません。 $\mathrm {soc} (R_{R})=\{0\}$

フェイス、カール (1999)、「リングと物と20世紀の連想代数の素晴らしい配列」、数学調査とモノグラフ、第65巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、pp. xxxiv+422、ISBN 978-0-8218-0993-8、MR 1657671
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ラム・ツィット・ユエン（1999）「モジュールと環に関する講義」、大学院数学テキスト第189号、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98428-5、MR 1653294
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