単語（群論）

群論では、ワードとは群の元とその逆元の書面による積のことである。例えば、x、y、zが群Gの元である場合、xy、z ⁻¹ xzz、y ⁻¹ zxx ⁻¹ yz ⁻¹は集合 { x、  y、  z } 内のワードである。2つの異なるワードがG内で同じ値に評価されることがある。^[1]またはすべて群内で評価されることもある。^{[2]ワードは}自由群と表現の 理論で重要な役割を果たし、組合せ群論における中心的な研究対象である。

G をグループとし、 S を G の部分集合とする。S内の単語とは、次の形式の 表現である。

${\displaystyle s_{1}^{\varepsilon _{1}}s_{2}^{\varepsilon _{2}}\cdots s_{n}^{\varepsilon _{n}}}$

ここで、s ₁、...、s _{n は}Sの要素であり、生成元と呼ばれ、各ε _{i は}±1 です。数値n は単語の 長さとして知られています。

Sの各ワードはGの元、つまり式の積を表す。慣例により、一意の^[3] 単位元は、長さがゼロの一意のワードである空ワードで表すことができる。

単語を書くときは、略語として指数表記を使用するのが一般的です。たとえば、

${\displaystyle xxy^{-1}zyzzzx^{-1}x^{-1}\,}$

次のように書くことができる。

${\displaystyle x^{2}y^{-1}zyz^{3}x^{-2}.\,}$

この後者の表現は単語そのものではなく、単に元の表現を短く表現したものにすぎません。

長い単語を扱うときは、 Sの要素の逆を表すために上線を使用すると便利です。上線表記を使用すると、上記の単語は次のように記述されます。

${\displaystyle x^{2}{\overline {y}}zyz^{3}{\overline {x}}^{2}.\,}$

生成子が自身の逆数（ xx ⁻¹またはx ⁻¹ x ）の隣に現れる単語は、冗長なペアを省略することで簡略化できます。

${\displaystyle y^{-1}zxx^{-1}y\;\;\longrightarrow \;\;y^{-1}zy.}$

この操作は縮約と呼ばれ、単語によって表される群の要素は変更されません。縮約は、群の公理から導かれる関係（以下で定義）と考えることができます。

簡約語とは、冗長なペアを含まない単語です。任意の単語は、一連の簡約を実行することで簡約語に簡略化できます。

${\displaystyle xzy^{-1}xx^{-1}yz^{-1}zz^{-1}yz\;\;\longrightarrow \;\;xyz.}$

結果は、削減が実行される順序に依存しません。

単語が循環的に縮小される のは、単語の すべての循環順列が縮小される場合のみです。

2 つの単語の積は連結によって得られます。

${\displaystyle \left(xzyz^{-1}\right)\left(zy^{-1}x^{-1}y\right)=xzyz^{-1}zy^{-1}x^{-1}y.}$

2 つの単語が短縮されても、結果は短縮されない場合があります。

単語の逆は、各ジェネレータを反転し、要素の順序を逆にすることで得られます。

${\displaystyle \left(zy^{-1}x^{-1}y\right)^{-1}=y^{-1}xyz^{-1}.}$

単語とその逆単語の積は、空の単語に簡約できます。

${\displaystyle zy^{-1}x^{-1}y\;y^{-1}xyz^{-1}=1.}$

活用によってジェネレーターを単語の先頭から末尾に移動することができます。

${\displaystyle x^{-1}\left(xy^{-1}z^{-1}yz\right)x=y^{-1}z^{-1}yzx.}$

群Gの部分集合S は、 Gのすべての要素がS内の単語で表せる場合、生成集合と呼ばれます。

S がGの生成集合でない場合、 S内の単語によって表される要素の集合はGのサブグループであり、 Sによって生成されるGのサブグループとして知られ、通常は と表記されます。これは、 Sの要素を含むGの最小のサブグループです。 ${\displaystyle \langle S\rangle }$

生成集合Sを持つ群Gの正規形は、Gの各要素に対してS内の 1 つの簡約語を選択することです。例:

• 単語 1、i、j、ij は、 S = { i、   j }のKlein 4 元群の正規形であり、1 は空の単語 (群の単位元) を表します。
• 単語 1、r、r ²、...、r ^n-1、s、sr、...、sr ^{n-1は、上記のように}S = { s、   r } および 1を持つ二面体群Dih _nの正規形です。
• m,n  ∈  Zに対してx ^m y ⁿという形式の単語の集合は、巡回群⟨ x ⟩と⟨ y ⟩の直積の正規形であり、 S = { x ,   y }である。
• S内の簡約語の集合は、S上の自由群の唯一の正規形です。

S がグループGの生成集合である場合、関係はGの同じ要素を表すS内の単語のペアです。これらは通常、等式として記述されます。たとえば、関係の 集合は、 G内のすべての関係がグループ の公理を使用して内の関係から論理的に続く場合、G を定義します。Gの表現はペア です。ここで、S はGの生成集合であり、 は関係の定義集合です。 ${\displaystyle x^{-1}yx=y^{2}.\,}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \langle S\mid {\mathcal {R}}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

例えば、クラインの4群は次のように定義できる。

${\displaystyle \langle i,j\mid i^{2}=1,\,j^{2}=1,\,ij=ji\rangle .}$

ここで 1 は空の単語を示し、単位元を表します。

S が任意の集合である場合、 S上の自由群は、表示 を持つ群です。つまり、S上の自由群は、追加の関係を持たないSの要素によって生成される群です。自由群のすべての要素は、 S内の簡約語として一意に記述できます。 ${\displaystyle \langle S\mid \;\rangle }$

• 文章題（数学）
• グループ向けの文章問題

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• Novikov, PS (1955). 「群論における単語問題のアルゴリズム的不可能性について」Trudy Mat. Inst. Steklov (ロシア語). 44 : 1–143.
• ロビンソン、デレク・ジョン・スコット（1996年）。群論講座。ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-94461-3。
• ロトマン、ジョセフ・J. (1995)。群論入門。ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-94285-8。
• ポール・Ｅ・シュップ;リンドン、ロジャー C. (2001)。組み合わせ群理論。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 3-540-41158-5。
• ソリター、ドナルド、マグナス、アブラハム (2004)。組み合わせ群論：生成元と関係による群の表現。ニューヨーク：ドーバー。ISBN 0-486-43830-9。
• スティルウェル、ジョン（1993）。古典位相幾何学と組合せ群論。ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-97970-0。