シータ真空

量子場の理論において、シータ真空は、非可換ヤン＝ミルズ理論の半古典的な真空状態であり、位相的に異なる真空状態の無限集合の重ね合わせとして記述されるときに生じる真空角θによって指定される。真空の動的効果は、ラグランジアン形式ではθ項の存在を通じて捉えられ、量子色力学では強い CP 問題として知られる微調整問題につながる。これは 1976 年にカーティス・キャラン、ロジャー・ダシェン、デビッド・グロスによって^[1]発見され、ローマン・ジャキウとクラウディオ・レビによって独立に発見された。^[2]

非アーベルヤン＝ミルズ理論の半古典的な真空構造は、時間ゲージ などの固定されたゲージ内のユークリッド時空でよく研究される。この理論の古典的な基底状態は、純粋なゲージ構成に対応する消失する場の強度テンソルを持ち、ここで時空内の各点は非アーベルゲージ群に属する何らかのゲージ変換である。作用が有限であることを保証するために、は として何らかの固定値に近づく。空間無限遠にあるすべての点は単一の新しい点として振舞うため、空間多様体は3 次元球面として振舞い、ゲージ場に対するすべての純粋なゲージ選択はマッピング によって記述される。^[3] ${\displaystyle A_{0}=0}$${\displaystyle A_{i}=i\Omega \nabla _{i}\Omega ^{-1}}$${\displaystyle \Omega (x)}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Omega (x)}$${\displaystyle \Omega _{\infty }}$${\displaystyle |{\boldsymbol {x}}|\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}}$${\displaystyle \Omega (x):S^{3}\rightarrow G}$

すべての基底状態構成が滑らかなゲージ変換によって他のすべての基底状態構成に滑らかに変換できる場合、理論には単一の真空状態がありますが、位相的に異なる構成がある場合は複数の真空があります。これは、滑らかに接続されていない 2 つの異なる構成がある場合、一方を他方に変換するには、ゼロではないエネルギーを持つ、ゼロではない場の強度テンソルを持つ構成を通過する必要があるためです。これは、2 つの真空の間にエネルギー障壁があり、それらを区別することを意味します。

2 つのゲージ構成が互いに滑らかに変形できるかどうかという問題は、マッピング のホモトピー群によって正式に記述されます。たとえば、ゲージ群には の基礎多様体があるため、マッピングは となり、ホモトピー群は となります。これは、すべてのマッピングに、その巻き数と呼ばれる整数が関連付けられていることを意味します。巻き数はポンチャギン指数とも呼ばれ、おおよそ、空間がグループ に何回マッピングされるかを表します。向きが反転しているため、負の巻きが発生します。同じ巻き数を持つマッピングのみが互いに滑らかに変形でき、同じホモトピークラスに属すると言われています。巻き数を保存するゲージ変換は小ゲージ変換と呼ばれ、巻き数を変更するゲージ変換は大ゲージ変換と呼ばれます。^[4]${\displaystyle \Omega (x):S^{3}\rightarrow G}$${\displaystyle G={\text{SU}}(2)}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \Omega (x):S^{3}\rightarrow S^{3}}$${\displaystyle \pi _{3}({\text{SU}}(2))=\mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$

他の非アーベルゲージ群については、そのサブグループの1つに注目するだけで十分であり、 であることが保証される。これは、へののあらゆる写像が のサブグループへの写像に連続的に変形できるためであり、これはボッツの定理から導かれる結果である。^[5]これは、あらゆる写像が定数写像に変形できるため、連結された真空状態が1つ存在するアーベルゲージ群とは対照的である。ゲージ場構成 の場合、その巻き数は、時間ゲージでは次のように与えられる体積積分から常に計算できる。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} }$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S^{3}\rightarrow {\text{U}}(1)}$${\displaystyle A^{i}}$

${\displaystyle n={\frac {ig^{3}}{24\pi ^{2}}}\int d^{3}r\ {\text{Tr}}(\epsilon _{ijk}A^{i}A^{j}A^{k}),}$

ここで は結合定数です。異なる巻き数を持つ異なるクラスの真空状態は、トポロジカル真空と呼ばれます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle |n\rangle }$

位相的真空は、大ゲージ変換の固有状態ではなく、ゲージ不変ではないため、ヤン＝ミルズ理論の候補真空状態ではありません。代わりに、巻き数を持つ大ゲージ変換を状態に作用させると、別の位相的真空にマッピングされます。真の真空は、小ゲージ変換と大ゲージ変換の両方の固有状態でなければなりません。ブロッホの定理に従って周期的ポテンシャルで固有状態がとる形と同様に、真空状態は位相的真空の一貫した和です。 ${\displaystyle |n\rangle }$${\displaystyle \Omega _{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Omega _{m}|n\rangle =|n+m\rangle }$

${\displaystyle |\theta \rangle =\sum _{n}e^{in\theta }|n\rangle .}$

角度変数でインデックス付けされたこの状態セットは、 θ真空として知られています。現在 であるため、これらは両方のタイプのゲージ変換の固有状態です。純粋なヤン・ミルズでは、 の各値は、励起状態が構築される異なる基底状態を与え、異なる物理現象をもたらします。言い換えると、の場合、 2つの異なるθ真空間のゲージ不変演算子の期待値がゼロになるため、ヒルベルト空間は超選択セクターに分解されます。^[6]${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$${\displaystyle \Omega _{m}|\theta \rangle =e^{-i\theta m}|\theta \rangle }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \langle \theta |{\mathcal {O}}|\theta '\rangle =0}$${\displaystyle \theta \neq \theta '}$

ヤン＝ミルズ理論は、インスタントンと呼ばれる運動方程式の有限作用解を示す。これらは異なる位相的真空間のトンネル効果を担い、巻数 を持つインスタントンは位相的真空からへのトンネル効果を担う。^[7]を持つインスタントンはBPST インスタントンとして知られている。トンネル効果がなければ、異なるθ真空は縮退しているが、インスタントンは縮退を解除し、さまざまな異なるθ真空を互いに物理的に区別できるようにする。さまざまな真空の基底状態エネルギーは の形に分割され、比例定数はインスタントンのトンネル効果の強さによって決まる。 ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle |n_{-}\rangle }$${\displaystyle |n_{+}\rangle =|n_{-}+\nu \rangle }$${\displaystyle \nu =\pm 1}$${\displaystyle E(\theta )\propto \cos \theta }$

θ真空の複雑な構造は、経路積分形式における真空-真空遷移を考慮することによってヤン・ミルズラグランジアンに直接組み込むことができる^[8]

${\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }\langle \theta |e^{-iHT}|\theta \rangle =\int {\mathcal {D}}Ae^{iS+i\int d^{4}x{\mathcal {L}}_{\theta }}.}$

ここで、はハミルトニアン、ヤン・ミルズ作用、はラグランジアンへのCPを破る新しい寄与であるθ項 である。${\displaystyle H}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\theta }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\theta }=\theta {\frac {g^{2}}{32\pi ^{2}}}{\text{Tr}}[F^{\mu \nu }{\tilde {F}}_{\mu \nu }],}$

ここで は双対場強度テンソルであり、トレースは群生成子上にあります。この項は全微分であり、 の形式で書くことができます。ラグランジアンに加えることができる他の全微分とは対照的に、この項はゲージ不変ではないため、非摂動物理学において物理的な影響を及ぼします。量子色力学では、この項の存在は強い CP 問題につながります。これは、この項によって、まだ観測されていない中性子電気双極子モーメントが生じるため、 ^[9]を非常に小さく微調整する必要があるためです。 ${\displaystyle {\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\theta }=\partial _{\mu }K^{\mu }}$${\displaystyle K^{\mu }}$${\displaystyle \theta }$

理論に質量のないフェルミオンが存在する場合、フェルミオンが位相真空間のインスタントントンネル効果を抑制するため、真空角は観測されなくなる。^[10]これは、単一の質量のないフェルミオンを含むヤン・ミルズ理論を考えればわかる。経路積分形式では、2つの位相真空間のインスタントンによるトンネル効果は次の形式をとる。 ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle n|n+\nu \rangle &\sim \int {\mathcal {D}}A{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}\exp {\bigg (}-\int d^{4}x{\frac {1}{2g^{2}}}{\text{tr}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}{D\!\!\!/}\psi {\bigg )}\\&\sim \int {\mathcal {D}}A\det(i{D\!\!\!/})\exp {\bigg (}-\int d^{4}x{\frac {1}{2g^{2}}}{\text{tr}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }{\bigg )}.\end{aligned}}}$

これは、フェルミオン場を積分した後に得られるフェルミオンの行列式によって、純粋なヤン＝ミルズの結果と異なる。行列式が消えるのは、質量のないフェルミオンを持つディラック演算子が、どのインスタントン構成に対しても少なくとも 1 つのゼロの固有値を持つためである。^{[11]インスタントンはもはやトポロジカル真空間のトンネル効果には寄与しないが、代わりに}軸電荷を破る役割を果たし、その結果カイラル凝縮が生じる。代わりに理論が非常に軽いフェルミオンを持つ場合、θ項は依然として存在するが、その効果はフェルミオンの質量に比例する必要があるため大幅に抑制される。

• インスタントン
• 強いCP問題